Der Satz vom primitiven Element ist ein mathematischer Satz aus der Algebra der hinreichende Bedingungen dafur angibt dass eine Korpererweiterung eine einfache Korpererweiterung ist Sind K L displaystyle K subseteq L Korper dann wird die Korpererweiterung einfach genannt wenn sie durch Adjunktion eines einzelnen Elements erzeugt werden kann Ein solches im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmtes Element a L displaystyle a in L mit L K a displaystyle L K a wird primitives Element genannt Der Satz vom primitiven Element wurde von Galois vollstandig bewiesen und findet sich in einer Publikation 1 von Abel aus dem Jahre 1829 auf die sich Evariste Galois in seinem Memoire sur les conditions neben Arbeiten von Lagrange und Gauss gestutzt hat 2 Inhaltsverzeichnis 1 Satz 2 Bedeutung 3 Beispiele 4 Weblinks 5 Literatur 6 EinzelnachweiseSatz BearbeitenEs gibt zwei Satze die als Satz vom primitiven Element bezeichnet werden wobei der zweite Satz eine Folgerung aus dem ersten ist 3 4 Eine Korpererweiterung L K displaystyle L K nbsp ist einfach wenn L displaystyle L nbsp von der Form L K a c 1 c 2 c n displaystyle L K a c 1 c 2 ldots c n nbsp mit einem uber K displaystyle K nbsp algebraischen Element a displaystyle a nbsp und uber K displaystyle K nbsp separablen Elementen c 1 c 2 c n displaystyle c 1 c 2 ldots c n nbsp ist Jede endliche separable Korpererweiterung ist einfach Bedeutung BearbeitenInsbesondere sind endliche Galois Erweiterungen von dieser Form und daher einfach Ist L K a displaystyle L K a nbsp eine solche Erweiterung so ist ein Element der Galoisgruppe das heisst ein K displaystyle K nbsp Automorphismus s displaystyle sigma nbsp von L displaystyle L nbsp bereits eindeutig durch den Wert s a displaystyle sigma a nbsp bestimmt Mit Hilfe eines primitiven Elementes kann auch die Galoisgruppe eines Polynoms bzw einer Korpererweiterung bestimmt werden Darin liegt die Bedeutung dieses Satzes fur die Galoistheorie 5 Beispiele BearbeitenQ 2 3 displaystyle textstyle mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 nbsp ist eine Korpererweiterung uber Q displaystyle textstyle mathbb Q nbsp Ein mogliches primitives Element t Q 2 3 displaystyle textstyle t in mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 nbsp istt 2 3 displaystyle t sqrt 2 sqrt 3 nbsp dd denn mitt 2 5 2 6 displaystyle t 2 5 2 sqrt 6 nbsp t 3 11 2 9 3 displaystyle quad t 3 11 sqrt 2 9 sqrt 3 quad nbsp und t 4 49 20 6 displaystyle quad t 4 49 20 sqrt 6 nbsp dd ergibt sich dass t Nullstelle des Polynoms x 4 10 x 2 1 displaystyle textstyle x 4 10x 2 1 nbsp und damit algebraisch uber Q displaystyle textstyle mathbb Q nbsp ist Ausserdem erhalt man die Gleichungen t 3 9 t 2 2 displaystyle t 3 9t 2 sqrt 2 quad nbsp und t 3 11 t 2 3 displaystyle quad t 3 11t 2 sqrt 3 nbsp dd Damit lassen sich 2 displaystyle textstyle sqrt 2 nbsp und 3 displaystyle textstyle sqrt 3 nbsp durch Polynome mit der Variablen t ersetzen 2 1 2 t 3 9 t displaystyle sqrt 2 tfrac 1 2 t 3 9t nbsp und 3 1 2 t 3 11 t displaystyle sqrt 3 tfrac 1 2 t 3 11t nbsp dd Also istQ 2 3 Q 2 3 displaystyle mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 nbsp dd und 1 t t2 t3 eine Basis von Q 2 3 displaystyle textstyle mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 nbsp als Vektorraum uber Q displaystyle textstyle mathbb Q nbsp Eine andere mogliche Basis ist 1 2 3 6 displaystyle textstyle 1 sqrt 2 sqrt 3 sqrt 6 nbsp d h Q 2 3 a b 2 c 3 d 6 a b c d Q displaystyle mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 a b sqrt 2 c sqrt 3 d sqrt 6 mid a b c d in mathbb Q nbsp dd Es handelt sich also um eine algebraische Korpererweiterung vom Grad vier Das Polynom x 4 5 x 2 6 x 2 2 x 2 3 displaystyle textstyle x 4 5x 2 6 x 2 2 x 2 3 nbsp hat die Nullstellen x 1 2 x 2 2 x 3 3 x 4 3 displaystyle textstyle x 1 sqrt 2 quad x 2 sqrt 2 quad x 3 sqrt 3 quad x 4 sqrt 3 nbsp und hat somit Q 2 3 displaystyle textstyle mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 nbsp als Zerfallungskorper Wie oben gezeigt ist t 1 2 3 displaystyle textstyle t 1 sqrt 2 sqrt 3 nbsp ein primitives Element und die vier Nullstellen konnen somit als Polynome p1 p2 p3 p4 mit der Variablen t1 dargestellt werden x 1 p 1 t 1 1 2 t 1 3 9 t 1 displaystyle x 1 p 1 t 1 tfrac 1 2 t 1 3 9t 1 nbsp x 2 p 2 t 1 1 2 t 1 3 9 t 1 displaystyle x 2 p 2 t 1 tfrac 1 2 t 1 3 9t 1 nbsp x 3 p 3 t 1 1 2 t 1 3 11 t 1 displaystyle x 3 p 3 t 1 tfrac 1 2 t 1 3 11t 1 nbsp x 4 p 4 t 1 1 2 t 1 3 11 t 1 displaystyle x 4 p 4 t 1 tfrac 1 2 t 1 3 11t 1 nbsp dd Das primitive Element t1 ist wie oben berechnet Nullstelle des uber Q displaystyle textstyle mathbb Q nbsp irreduziblen Polynoms x 4 10 x 2 1 x 2 5 2 24 displaystyle textstyle x 4 10x 2 1 left x 2 5 right 2 24 nbsp Die anderen Nullstellen dieses Polynoms erhalt man durch zweimaliges Wurzelziehen zusammen mit der Beziehung 5 2 6 2 3 2 displaystyle 5 pm 2 sqrt 6 sqrt 2 pm sqrt 3 2 nbsp t 2 2 3 t 3 2 3 t 4 2 3 displaystyle t 2 sqrt 2 sqrt 3 quad t 3 sqrt 2 sqrt 3 quad t 4 sqrt 2 sqrt 3 nbsp dd Ersetzt man nun in den Polynomen p1 p4 die Variable t1 durch t2 t3 oder t4 so ergeben sich wiederum die Nullstellen x1 x2 x3 x4 des Ausgangspolynoms allerdings in einer anderen Reihenfolge Diese Permutationen der Nullstellen entsprechen jeweils einer Operation eines Elementes der Galoisgruppe auf diesen Nullstellen 6 Einsetzen von t1 liefert die Identitat die ubrigen Beziehungen ergeben sich durch Nachrechnen p 1 t 1 x 1 p 2 t 1 x 2 p 3 t 1 x 3 p 4 t 1 x 4 s 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 displaystyle p 1 t 1 x 1 quad p 2 t 1 x 2 quad p 3 t 1 x 3 quad p 4 t 1 x 4 quad Longrightarrow quad sigma 1 left x 1 x 2 x 3 x 4 right mapsto left x 1 x 2 x 3 x 4 right nbsp p 1 t 2 x 2 p 2 t 2 x 1 p 3 t 2 x 3 p 4 t 2 x 4 s 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 2 x 1 x 3 x 4 displaystyle p 1 t 2 x 2 quad p 2 t 2 x 1 quad p 3 t 2 x 3 quad p 4 t 2 x 4 quad Longrightarrow quad sigma 2 left x 1 x 2 x 3 x 4 right mapsto left x 2 x 1 x 3 x 4 right nbsp p 1 t 3 x 1 p 2 t 3 x 2 p 3 t 3 x 4 p 4 t 3 x 3 s 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 4 x 3 displaystyle p 1 t 3 x 1 quad p 2 t 3 x 2 quad p 3 t 3 x 4 quad p 4 t 3 x 3 quad Longrightarrow quad sigma 3 left x 1 x 2 x 3 x 4 right mapsto left x 1 x 2 x 4 x 3 right nbsp p 1 t 4 x 2 p 2 t 4 x 1 p 3 t 4 x 4 p 4 t 4 x 3 s 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 2 x 1 x 4 x 3 displaystyle p 1 t 4 x 2 quad p 2 t 4 x 1 quad p 3 t 4 x 4 quad p 4 t 4 x 3 quad Longrightarrow quad sigma 4 left x 1 x 2 x 3 x 4 right mapsto left x 2 x 1 x 4 x 3 right nbsp dd s 1 s 2 s 3 s 4 displaystyle textstyle sigma 1 sigma 2 sigma 3 sigma 4 nbsp ist die Galoisgruppe als Permutationsgruppe der Nullstellen als Gruppe der Korperautomorphismen ergibt sie sich wie folgt Unter s 2 displaystyle textstyle sigma 2 nbsp werden 2 displaystyle textstyle sqrt 2 nbsp und 2 displaystyle sqrt 2 nbsp vertauscht werden entsprechendes gilt bei s 3 displaystyle textstyle sigma 3 nbsp fur 3 displaystyle textstyle sqrt 3 nbsp und 3 displaystyle textstyle sqrt 3 nbsp Unter s 4 displaystyle textstyle sigma 4 nbsp andert sich bei beiden Wurzeln das Vorzeichen Die Elemente der Galoisgruppe als Korperautomorphismen sind somit s 1 a b 2 c 3 d 6 a b 2 c 3 d 6 displaystyle sigma 1 a b sqrt 2 c sqrt 3 d sqrt 6 mapsto a b sqrt 2 c sqrt 3 d sqrt 6 nbsp s 2 a b 2 c 3 d 6 a b 2 c 3 d 6 displaystyle sigma 2 a b sqrt 2 c sqrt 3 d sqrt 6 mapsto a b sqrt 2 c sqrt 3 d sqrt 6 nbsp s 3 a b 2 c 3 d 6 a b 2 c 3 d 6 displaystyle sigma 3 a b sqrt 2 c sqrt 3 d sqrt 6 mapsto a b sqrt 2 c sqrt 3 d sqrt 6 nbsp s 4 a b 2 c 3 d 6 a b 2 c 3 d 6 displaystyle sigma 4 a b sqrt 2 c sqrt 3 d sqrt 6 mapsto a b sqrt 2 c sqrt 3 d sqrt 6 nbsp dd Man sieht dass unter s 2 displaystyle textstyle sigma 2 nbsp neben dem Grundkorper Q displaystyle textstyle mathbb Q nbsp der Korper Q 3 displaystyle textstyle mathbb Q sqrt 3 nbsp elementweise fest bleibt Bei s 3 displaystyle textstyle sigma 3 nbsp und s 4 displaystyle textstyle sigma 4 nbsp sind die Fixkorper Q 2 displaystyle textstyle mathbb Q sqrt 2 nbsp bzw Q 6 displaystyle textstyle mathbb Q sqrt 6 nbsp Weil das Ausgangspolynom x 4 5 x 2 6 x 2 2 x 2 3 displaystyle textstyle x 4 5x 2 6 x 2 2 x 2 3 nbsp nicht irreduzibel uber Q displaystyle mathbb Q nbsp ist operiert die Galoisgruppe nicht transitiv auf der Menge der Nullstellen dieses Polynoms es gibt zum Beispiel kein Element der Galoisgruppe das die Nullstelle 2 displaystyle sqrt 2 nbsp auf die Nullstelle 3 displaystyle sqrt 3 nbsp abbildet Die algebraisch Konjugierten des primitiven Elementes t 1 2 3 displaystyle t 1 sqrt 2 sqrt 3 nbsp also die Nullstellent 2 2 3 displaystyle t 2 sqrt 2 sqrt 3 nbsp t 3 2 3 displaystyle t 3 sqrt 2 sqrt 3 nbsp und t 4 2 3 displaystyle t 4 sqrt 2 sqrt 3 nbsp dd sind ebenfalls primitive Elemente d h es gilt Q 2 3 Q 2 3 Q 2 3 Q 2 3 Q 2 3 displaystyle mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 nbsp 7 dd Weblinks Bearbeiten nbsp Wikiversity Ein Beweis des Satzes KursmaterialienLiteratur BearbeitenNiels Henrik Abel Memoire sur une classe particuliere d equations resolubles algebriquement PDF 41 9 MB In J reine angew Math Band 4 1829 S 131 156 abgerufen am 25 Oktober 2022 franzosisch Evariste Galois Memoire sur les conditions de resolubilite des equations par radicaux 1831 Erst 1846 veroffentlicht durch Joseph Liouville in J math pures appl vol 11 1846 Seiten 417 433 Helmut Koch Einfuhrung in die klassische Mathematik I Springer Verlag ISBN 3 540 16665 3 Kurt Meyberg Algebra II Carl Hanser Verlag 1976 ISBN 3 446 12172 2 Christian Karpfinger Kurt Meyberg Algebra Gruppen Ringe Korper Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009 ISBN 978 3 8274 2018 3 Marc Nieper Wisskirchen Galoissche Theorie Eine Einfuhrung in die Algebra PDF 2 4 MB Universitat Augsburg 10 Dezember 2013 abgerufen am 25 Oktober 2022 Direkter Link zum PDF Helmut Hasse Hohere Algebra II Gleichungen hoheren Grades Walter de Gruyter amp Co Berlin 1967 Sammlung Goschen Band 932 Erstauflage 1926 27 Einzelnachweise Bearbeiten Niels Henrik Abel Memoire sur une classe particuliere d equations resolubles algebriquement J reine angew Math Band 4 1829 Seiten 131 156 Helmut Koch Einfuhrung in die klassische Mathematik I Springer Verlag ISBN 3 540 16665 3 Seiten 64 f Kapitel 7 4 Das Galoissche Memoire zur Gleichungstheorie und Kap 7 5 Der Satz vom primitiven Element Christian Karpfinger Kurt Meyberg Algebra Gruppen Ringe Korper Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009 ISBN 978 3 8274 2018 3 S 259 260 Kurt Meyberg Algebra II Carl Hanser Verlag 1976 ISBN 3 446 12172 2 Satz 6 9 17 Kurt Meyberg Algebra II Carl Hanser Verlag 1976 ISBN 3 446 12172 2 Kapitel 7 2 Bestimmung einiger Galois Gruppen Nieper Wisskirchen Galoissche Theorie Universitat Augsburg S 126 Proposition 4 8 PDF Memento vom 15 Juli 2019 im Internet Archive Nieper Wisskirchen Galoissche Theorie Universitat Augsburg 2013 S 119 Proposition 4 4 PDF Memento vom 15 Juli 2019 im Internet Archive Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz vom primitiven Element amp oldid 234208909
