Algebraisch konjugiert nennt man Elemente eines Korpers wenn sie bezuglich eines Unterkorpers dasselbe Minimalpolynom haben Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 LiteraturDefinition BearbeitenSeien L K displaystyle L K nbsp eine Korpererweiterung und K x displaystyle K x nbsp der Polynomring zu K displaystyle K nbsp mit der Unbestimmten x displaystyle x nbsp Die Elemente a b L displaystyle a b in L nbsp seien algebraisch uber K displaystyle K nbsp das heisst es existieren 0 q x p x K x displaystyle 0 neq q x p x in K x nbsp mit p a q b 0 displaystyle p a q b 0 nbsp Dann heissen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp algebraisch konjugiert uber K displaystyle K nbsp wenn a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp dasselbe Minimalpolynom uber K displaystyle K nbsp haben Ist der Zusammenhang klar spricht man auch kurzer nur von konjugiert Eigenschaften Bearbeitena displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp sind genau dann konjugiert uber dem Korper K displaystyle K nbsp wenn fur alle p x K x displaystyle p x in K x nbsp gilt dass p a 0 p b 0 displaystyle p a 0 Leftrightarrow p b 0 nbsp Sei L K displaystyle L K nbsp eine endliche Korpererweiterung mit L K b displaystyle L K b nbsp fur ein b L K displaystyle b in L setminus K nbsp Dann sind a b L displaystyle a b in L nbsp genau dann konjugiert uber dem Korper K displaystyle K nbsp wenn es ein Element f displaystyle varphi nbsp in der Galoisgruppe G a l L K displaystyle mathrm Gal L K nbsp gibt mit f a b displaystyle varphi a b nbsp Beispiele BearbeitenDie komplexen Zahlen i displaystyle i nbsp und i displaystyle i nbsp haben uber R displaystyle mathbb R nbsp beide das Minimalpolynom x 2 1 displaystyle textstyle x 2 1 nbsp und sind daher algebraisch konjugiert uber R displaystyle mathbb R nbsp Uber C displaystyle mathbb C nbsp haben sie naturlich die Minimalpolynome x i displaystyle x i nbsp bzw x i displaystyle x i nbsp und sind nicht konjugiert Allgemeiner gilt Zwei komplexe Zahlen a b i displaystyle a bi nbsp und c d i displaystyle c di nbsp mit b d 0 displaystyle b d neq 0 nbsp sind genau dann algebraisch konjugiert uber R displaystyle mathbb R nbsp wenn sie durch komplexe Konjugation auseinander hervorgehen also a c b d displaystyle a c b d nbsp gilt Das gemeinsame Minimalpolynom ist in diesem Fall x 2 2 a x a 2 b 2 displaystyle x 2 2ax a 2 b 2 nbsp Die Goldene Zahl F displaystyle Phi nbsp und ihr negativer Kehrwert sind konjugiert uber dem Korper Q displaystyle mathbb Q nbsp Sie sind Losungen des Minimalpolynoms x 2 x 1 displaystyle textstyle x 2 x 1 nbsp Die zu x 1 2 3 displaystyle x 1 sqrt 2 sqrt 3 nbsp algebraisch Konjugierten erhalt man wie folgt Ausx 1 2 5 2 6 displaystyle x 1 2 5 2 sqrt 6 nbsp x 1 3 11 2 9 3 displaystyle quad x 1 3 11 sqrt 2 9 sqrt 3 quad nbsp und x 1 4 49 20 6 displaystyle quad x 1 4 49 20 sqrt 6 nbsp dd ergibt sich das Minimalpolynomx 4 10 x 2 1 x 2 5 2 24 displaystyle x 4 10x 2 1 left x 2 5 right 2 24 nbsp dd Durch zweifaches Wurzelziehen erhalt man zusammen mit der Beziehung 5 2 6 2 3 2 displaystyle 5 pm 2 sqrt 6 sqrt 2 pm sqrt 3 2 nbsp die weiteren Nullstellen x 2 2 3 displaystyle x 2 sqrt 2 sqrt 3 nbsp x 3 2 3 displaystyle quad x 3 sqrt 2 sqrt 3 nbsp x 4 2 3 displaystyle quad x 4 sqrt 2 sqrt 3 nbsp dd Literatur BearbeitenChr Karpfinger K Meyberg Algebra Gruppe Ringe Korper Springer Spektrum Berlin 2017 ISBN 978 3 662 54721 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Algebraisch konjugiert amp oldid 219247798
