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Komplement Verbandstheorie Inhaltsverzeichnis 1 Komplementäre Elemente 2 Relative Komplemente 3 Pseudokomplemente 3 1 Ei

Komplement (Verbandstheorie)

Komplementäre Elemente Bearbeiten

In einem beschränkten Verband nennt man ein Element ein Komplement von , wenn

gilt.

Ein beschränkter Verband, in dem jedes Element (mindestens) ein Komplement hat, heißt komplementärer Verband.

Im Allgemeinen kann es zu einem Elemente mehrere komplementäre Elemente geben. Ist das Komplement von eindeutig, dann werden verschiedene Bezeichnungen verwendet: bei Teilmengenverbänden ist üblich, bei Anwendungen in der Logik , bei Schaltalgebren .
Es gilt

In einem distributiven beschränkten Verband kann jedes Element höchstens ein Komplement haben
Falls ein Komplement hat, dann hat auch ein Komplement, nämlich

Ein distributiver komplementärer Verband heißt boolescher Verband oder boolesche Algebra.

Relative Komplemente Bearbeiten

Der nicht-modulare Verband ist komplementär: und sind beide Komplemente von .
Er ist nicht relativ-komplementär, denn im Intervall hat kein Komplement.

Sind Elemente eines Verbandes, dann heißt die Menge das durch a und b bestimmte Intervall.
Die Definition stimmt auf geordneten Mengen mit der eines abgeschlossenen Intervalls überein und es wird die gleiche Notation verwendet.

Sind , dann heißt relatives Komplement von bezüglich , wenn

Auch hier gilt, dass es in mehrere zu komplementäre Elemente geben kann und dass aus dem Distributivgesetz die Eindeutigkeit folgt.

Ein Verband heißt relativkomplementär, wenn es in jedem Intervall zu jedem Element ein relatives Komplement gibt.

Ein relativkomplementärer Verband ist ein komplementärer Verband genau dann, wenn er beschränkt ist. Umgekehrt muss ein komplementärer Verband nicht relativkomplementär sein. Jedoch ist ein modularer komplementärer Verband relativkomplementär.

Relative Komplemente können zur Charakterisierung von distributiven Verbänden dienen. Ein Verband ist genau dann distributiv, wenn jedes Element in jedem Intervall höchstens ein relatives Komplement besitzt.

Pseudokomplemente Bearbeiten

Regeln für Pseudokomplemente: und können vorkommen

Sind zwei Elemente eines Verbandes, dann nennt man ein größtes Element , für das gilt, ein relatives Pseudokomplement von bezüglich .

Ein relatives Pseudokomplement von bezüglich heißt Pseudokomplement von .

Ein Verband, in dem für jedes Element ein Pseudokomplement existiert, heißt pseudokomplementärer Verband.

Die Bezeichnung für Pseudokomplemente ist nicht einheitlich.

Eigenschaften Bearbeiten

Wenn (relative) Pseudokomplemente existieren, dann sind sie eindeutig bestimmt.

In einem distributiven Verband bildet ein Ideal. Daher ist die Existenz von Pseudokomplementen in endlichen distributivenVerbänden gesichert. Die Distributivität ist wesentlich: ist nicht pseudokomplementär.

Für Pseudokomplemente muss nicht gelten, auch wenn der Verband distributiv ist. Es ist aber immer

Für Pseudokomplemente gilt eins der De Morganschen Gesetzen:

Für die duale Form gilt lediglich:

Ein distributiver relativ-komplementärer Verband heißt Heyting-Algebra.

Orthokomplemente Bearbeiten

In einem Verband wird eine Funktion als Orthogonalisierung bezeichnet, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

  • und
  • ,

Der Verband (mit dieser Abbildung) wird als orthokomplementärer Verband bezeichnet. heißt Orthokomplement von (zu dieser Orthogonalisierung).

Wenn ein distributiver komplementärer Verband ist, dann ist das Komplement von auch sein einzig mögliches Orthokomplement. Im Allgemeinen kann man aber auch in einem distributiven Verband mehrere verschiedene Orthogonalisierungen haben.

Beispiele zu Orthokomplementen Bearbeiten

  • Ist ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum, dann bilden die zu orthogonalen Vektoren einen Vektorraum . und sind Orthokomplemente im (modularen) Verband der Unterräume von .
  • Das Beispiel der euklidischen Vektorräume kann zu beliebigen Vektorräumen mit einem inneren Produkt verallgemeinert werden. Verschiedene innere Produkte liefern dabei i. A. verschiedene Orthokomplemente im Verband der Unterräume von .

Dies sind typische Beispiele, die auch zur Namensgebung führten.

Beispiele für Orthokomplemente
Dieser Verband lässt 3 verschiedene Orthogonalisierungen zu.
: Das normale Komplement ist jeweils das einzig mögliche Orthokomplement.
Für diesen Verband gibt es genau eine Orthogonalisierung.
Es gibt keine Orthogonalisierung für .

Literatur Bearbeiten

  • Gericke Helmuth: Theorie der Verbände. 2. Auflage. BI, Mannheim 1967.
  • Grätzer George: Lattice Theory. First concepts and distributive lattices. W.H.Freeman and Company, 1971, ISBN 978-0-486-47173-0.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Dies folgt aus der Kürzungsregel
  2. G. Grätzer, Lattice theory, S. 20. In H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 72 wird abweichend die Bezeichnung eingeführt.
  3. G. Grätzer, Lattice theory, S. 96.
  4. Die Beweisidee ist, dass in und jeweils die Kürzungsregel nicht gilt, vgl. H.Gericke, Theorie der Verbände, S. 113f
  5. G. Grätzer verwendet a* für das Pseudokomplement und a * b für das relative Pseudokomplement (G. Grätzer, Lattice Theory: Foundation, p 99). Gericke verwendet ein gespiegeltes -Symbol für die Bezeichnung. (H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 119) Auch oder kommen vor.
  6. H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 120 f. Wegen dieser Eigenschaften können Pseudokomplemente zur Modellierung der intuitionistischen Logik verwendet werden.
  7. H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 106; für die Funktion wird hier jedoch eine deutlichere Bezeichnung verwendet
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Inhaltsverzeichnis 1 Komplementare Elemente 2 Relative Komplemente 3 Pseudokomplemente 3 1 Eigenschaften 4 Orthokomplemente 4 1 Beispiele zu Orthokomplementen 5 Literatur 6 EinzelnachweiseKomplementare Elemente BearbeitenIn einem beschrankten Verband nennt man ein Element b displaystyle b nbsp ein Komplement von a displaystyle a nbsp wenn a b 0 displaystyle a wedge b 0 nbsp und a b 1 displaystyle a vee b 1 nbsp gilt Ein beschrankter Verband in dem jedes Element mindestens ein Komplement hat heisst komplementarer Verband Im Allgemeinen kann es zu einem Elemente mehrere komplementare Elemente geben Ist das Komplement von a displaystyle a nbsp eindeutig dann werden verschiedene Bezeichnungen verwendet bei Teilmengenverbanden ist a displaystyle a complement nbsp ublich bei Anwendungen in der Logik a displaystyle neg a nbsp bei Schaltalgebren a displaystyle bar a nbsp Es gilt 0 1 1 0 displaystyle neg 0 1 neg 1 0 nbsp In einem distributiven beschrankten Verband kann jedes Element hochstens ein Komplement haben 1 Falls a displaystyle a nbsp ein Komplement a displaystyle neg a nbsp hat dann hat auch a displaystyle neg a nbsp ein Komplement namlich a a displaystyle neg neg a a nbsp Ein distributiver komplementarer Verband heisst boolescher Verband oder boolesche Algebra Hauptartikel Boolesche AlgebraRelative Komplemente Bearbeiten nbsp Der nicht modulare Verband N 5 displaystyle N 5 nbsp ist komplementar b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp sind beide Komplemente von a displaystyle a nbsp Er ist nicht relativ komplementar denn im Intervall 0 c displaystyle 0 c nbsp hat b displaystyle b nbsp kein Komplement Sind a b displaystyle a b nbsp Elemente eines Verbandes dann heisst die Menge x V a x x b displaystyle left x in V mid a leq x land x leq b right nbsp das durch a und b bestimmte Intervall Die Definition stimmt auf geordneten Mengen mit der eines abgeschlossenen Intervalls uberein und es wird die gleiche Notation a b displaystyle a b nbsp verwendet 2 Sind c d a b displaystyle c d in a b nbsp dann heisst d displaystyle d nbsp relatives Komplement von c displaystyle c nbsp bezuglich a b displaystyle a b nbsp wenn c d a displaystyle c wedge d a nbsp und c d b displaystyle c vee d b nbsp gilt Auch hier gilt dass es in a b displaystyle a b nbsp mehrere zu c displaystyle c nbsp komplementare Elemente geben kann und dass aus dem Distributivgesetz die Eindeutigkeit folgt Ein Verband heisst relativkomplementar wenn es in jedem Intervall zu jedem Element ein relatives Komplement gibt Ein relativkomplementarer Verband ist ein komplementarer Verband genau dann wenn er beschrankt ist Umgekehrt muss ein komplementarer Verband nicht relativkomplementar sein Jedoch ist ein modularer komplementarer Verband relativkomplementar 3 Relative Komplemente konnen zur Charakterisierung von distributiven Verbanden dienen Ein Verband ist genau dann distributiv wenn jedes Element in jedem Intervall hochstens ein relatives Komplement besitzt 4 Pseudokomplemente Bearbeiten nbsp Regeln fur Pseudokomplemente a lt a displaystyle a lt neg neg a nbsp und a b lt a b displaystyle neg a vee neg b lt neg a wedge b nbsp konnen vorkommenSind a b displaystyle a b nbsp zwei Elemente eines Verbandes dann nennt man ein grosstes Element c displaystyle c nbsp fur das a c b displaystyle a wedge c leq b nbsp gilt ein relatives Pseudokomplement von a displaystyle a nbsp bezuglich b displaystyle b nbsp Ein relatives Pseudokomplement von a displaystyle a nbsp bezuglich 0 displaystyle 0 nbsp heisst Pseudokomplement von a displaystyle a nbsp Ein Verband in dem fur jedes Element a displaystyle a nbsp ein Pseudokomplement existiert heisst pseudokomplementarer Verband Die Bezeichnung fur Pseudokomplemente ist nicht einheitlich 5 Eigenschaften Bearbeiten Wenn relative Pseudokomplemente existieren dann sind sie eindeutig bestimmt In einem distributiven Verband bildet x a x 0 displaystyle x mid a wedge x 0 nbsp ein Ideal Daher ist die Existenz von Pseudokomplementen in endlichen distributivenVerbanden gesichert Die Distributivitat ist wesentlich M 3 displaystyle M 3 nbsp ist nicht pseudokomplementar Fur Pseudokomplemente muss nicht a a displaystyle neg neg a a nbsp gelten auch wenn der Verband distributiv ist Es ist aber immer a a displaystyle a leq neg neg a nbsp und a a displaystyle neg neg neg a neg a nbsp Fur Pseudokomplemente gilt eins der De Morganschen Gesetzen a b a b displaystyle neg a vee b neg a wedge neg b nbsp Fur die duale Form gilt lediglich a b a b displaystyle neg a vee neg b leq neg a wedge b nbsp 6 Ein distributiver relativ komplementarer Verband heisst Heyting Algebra Hauptartikel Heyting AlgebraOrthokomplemente BearbeitenIn einem Verband wird eine Funktion k V V displaystyle k colon V to V nbsp als Orthogonalisierung bezeichnet wenn sie folgende Bedingungen erfullt a a k 1 displaystyle a vee a k 1 nbsp und a a k 0 displaystyle a wedge a k 0 nbsp a k k a displaystyle a k k a nbsp a b b k a k displaystyle a leq b implies b k leq a k nbsp Der Verband mit dieser Abbildung wird als orthokomplementarer Verband bezeichnet a k displaystyle textstyle a k nbsp heisst Orthokomplement von a displaystyle a nbsp zu dieser Orthogonalisierung 7 Wenn V displaystyle V nbsp ein distributiver komplementarer Verband ist dann ist das Komplement von a displaystyle a nbsp auch sein einzig mogliches Orthokomplement Im Allgemeinen kann man aber auch in einem distributiven Verband mehrere verschiedene Orthogonalisierungen haben Beispiele zu Orthokomplementen Bearbeiten Ist V displaystyle V nbsp ein euklidischer Vektorraum und U 1 displaystyle U 1 nbsp ein Untervektorraum dann bilden die zu U displaystyle U nbsp orthogonalen Vektoren einen Vektorraum U 2 displaystyle U 2 nbsp U 1 displaystyle U 1 nbsp und U 2 displaystyle U 2 nbsp sind Orthokomplemente im modularen Verband der Unterraume von V displaystyle V nbsp Das Beispiel der euklidischen Vektorraume kann zu beliebigen Vektorraumen mit einem inneren Produkt verallgemeinert werden Verschiedene innere Produkte liefern dabei i A verschiedene Orthokomplemente im Verband der Unterraume von V displaystyle V nbsp Dies sind typische Beispiele die auch zur Namensgebung fuhrten Beispiele fur Orthokomplemente nbsp Dieser Verband lasst 3 verschiedene Orthogonalisierungen zu nbsp T 30 displaystyle T 30 nbsp Das normale Komplement a 30 a displaystyle textstyle a complement frac 30 a nbsp ist jeweils das einzig mogliche Orthokomplement nbsp Fur diesen Verband gibt es genau eine Orthogonalisierung nbsp Es gibt keine Orthogonalisierung fur M 3 displaystyle M 3 nbsp Literatur BearbeitenGericke Helmuth Theorie der Verbande 2 Auflage BI Mannheim 1967 Gratzer George Lattice Theory First concepts and distributive lattices W H Freeman and Company 1971 ISBN 978 0 486 47173 0 Einzelnachweise Bearbeiten Dies folgt aus der Kurzungsregel G Gratzer Lattice theory S 20 In H Gericke Theorie der Verbande S 72 wird abweichend die Bezeichnung b a displaystyle b a nbsp eingefuhrt G Gratzer Lattice theory S 96 Die Beweisidee ist dass in N 5 displaystyle N 5 nbsp und M 5 displaystyle M 5 nbsp jeweils die Kurzungsregel nicht gilt vgl H Gericke Theorie der Verbande S 113f G Gratzer verwendet a fur das Pseudokomplement und a b fur das relative Pseudokomplement G Gratzer Lattice Theory Foundation p 99 Gericke verwendet ein gespiegeltes displaystyle neg nbsp Symbol fur die Bezeichnung H Gericke Theorie der Verbande S 119 Auch a b displaystyle a rightarrow b nbsp oder a b displaystyle a Rightarrow b nbsp kommen vor H Gericke Theorie der Verbande S 120 f Wegen dieser Eigenschaften konnen Pseudokomplemente zur Modellierung der intuitionistischen Logik verwendet werden H Gericke Theorie der Verbande S 106 fur die Funktion wird hier jedoch eine deutlichere Bezeichnung verwendet Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Komplement Verbandstheorie amp oldid 208357003 Pseudokomplemente