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Projektive Mannigfaltigkeit Dieser Artikel behandelt eine Klasse von lokal homogenen Räumen Der Begriff en wird gelegent

Projektive Mannigfaltigkeit

In der Mathematik lassen sich projektive Mannigfaltigkeiten lokal durch projektive Koordinaten beschreiben. Zu den projektiven Mannigfaltigkeiten gehören unter anderem flache Mannigfaltigkeiten und hyperbolische Mannigfaltigkeiten und zahlreiche weitere in Differentialgeometrie und Topologie vorkommende Beispiele.

Definition Bearbeiten

Der projektive Raum ist der Raum der 1-dimensionalen Untervektorräume des . Die projektive lineare Gruppe wirkt als Gruppe der invertierbaren projektiven Abbildungen auf .

Eine projektive Struktur auf einer Mannigfaltigkeit ist ein Atlas mit Karten-Abbildungen in den projektiven Raum und projektiven Abbildungen als Kartenübergängen.

Genauer: Die n-dimensionale Mannigfaltigkeit hat eine offene Überdeckung mit Homöomorphismen

so dass für alle

die Einschränkung einer Abbildung aus ist.

Analog kann man komplex projektive Mannigfaltigkeiten definieren, hier gehen die Kartenabbildungen in den komplex-projektiven Raum und die Kartenübergänge sind Einschränkungen von Abbildungen in .

Konvex projektive Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Eine projektive Mannigfaltigkeit heißt konvex projektiv, wenn sie von der Form für eine konvexe Teilmenge und eine diskrete Untergruppe ist.

Beispiele Bearbeiten

Hyperbolische Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Hyperbolische Mannigfaltigkeiten sind konvex projektiv: das Beltrami-Klein-Modell des hyperbolischen Raumes ist eine konvexe Teilmenge des projektiven Raumes, seine Isometriegruppe ist .

Flache Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Flache Mannigfaltigkeiten sind konvex projektiv: der euklidische Raum ist eine konvexe Teilmenge des projektiven Raumes, seine Isometriegruppe ist eine Untergruppe von .

2-dimensionale projektive Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Reell projektive Strukturen Bearbeiten

Reell projektive Strukturen auf Flächen wurden von Choi und Goldman klassifiziert. Der Raum der Äquivalenzklassen reell projektiver Strukturen auf einer geschlossenen orientierbaren Fläche vom Geschlecht g ist eine abzählbare Vereinigung (16g-16)-dimensionaler offener Zellen.

Der Modulraum der konvex projektiven Strukturen ist eine Zusammenhangskomponente - die Hitchin-Komponente - in der Darstellungsvarietät der Flächengruppe .

Komplex projektive Strukturen Bearbeiten

Alle komplex projektiven Strukturen auf Flächen lassen sich durch "Grafting" entlang gemessener Laminierungen aus hyperbolischen Strukturen konstruieren.

3-dimensionale projektive Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Satz: Sei eine 3-Mannigfaltigkeit mit einer der 8 Thurston-Geometrien. Dann ist entweder eine nicht-orientierbare Seifert-Faserung (und es gibt eine 2-fache Überlagerung mit einer reell projektiven Struktur) oder die Mannigfaltigkeit besitzt eine eindeutige, der Thurston-Geometrie zugrundeliegende, reell projektive Struktur.

Dieser Satz folgt aus der Darstellbarkeit der Thurston-Geometrien in mit der Ausnahme, dass im Fall der Produkt-Geometrien und die Gruppe durch die Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien ersetzt werden muss, die eine Untergruppe vom Index 2 ist.

Im Fall nicht-orientierbarer Seifert-Faserungen gibt es reell projektive Strukturen, die nicht von einer projektiven Darstellung ihrer Thurston-Geometrie kommen (Guichard-Wienhard). Es gibt reell projektive Strukturen auch auf nicht-geometrischen 3-Mannigfaltigkeiten (Benoist), andererseits kann die zusammenhängende Summe keine reell projektive Struktur haben (Cooper-Goldman).

Literatur Bearbeiten

  • Choi, Suhyoung; Goldman, William M.: The classification of real projective structures on compact surfaces. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 34 (1997), no. 2, 161–171.
  • Cooper, Daryl; Goldman, William M.: A 3-manifold with no real projective structure. http://arxiv.org/abs/1207.2007
  • Goldman, William M. What is… a projective structure? Notices Amer. Math. Soc. 54 (2007), no. 1, 30–33. pdf

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Choi, Suhyoung; Goldman, William M. Convex real projective structures on closed surfaces are closed. Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), no. 2, 657–661.
  2. Kamishima, Yoshinobu; Tan, Ser P. Deformation spaces on geometric structures. Aspects of low-dimensional manifolds, 263–299, Adv. Stud. Pure Math., 20, Kinokuniya, Tokyo, 1992.
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Dieser Artikel behandelt eine Klasse von lokal homogenen Raumen Der Begriff Projektive Mannigfaltigkeiten wird gelegentlich auch fur projektive Varietaten verwendet diese sind im Allgemeinen keine projektiven Mannigfaltigkeiten im Sinne dieses Artikels In der Mathematik lassen sich projektive Mannigfaltigkeiten lokal durch projektive Koordinaten beschreiben Zu den projektiven Mannigfaltigkeiten gehoren unter anderem flache Mannigfaltigkeiten und hyperbolische Mannigfaltigkeiten und zahlreiche weitere in Differentialgeometrie und Topologie vorkommende Beispiele Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Konvex projektive Mannigfaltigkeiten 3 Beispiele 3 1 Hyperbolische Mannigfaltigkeiten 3 2 Flache Mannigfaltigkeiten 4 2 dimensionale projektive Mannigfaltigkeiten 4 1 Reell projektive Strukturen 4 2 Komplex projektive Strukturen 5 3 dimensionale projektive Mannigfaltigkeiten 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDer projektive Raum R P n displaystyle mathbb R P n nbsp ist der Raum der 1 dimensionalen Untervektorraume des R n 1 displaystyle mathbb R n 1 nbsp Die projektive lineare Gruppe P G L n 1 R displaystyle PGL n 1 mathbb R nbsp wirkt als Gruppe der invertierbaren projektiven Abbildungen auf R P n displaystyle mathbb R P n nbsp Eine projektive Struktur auf einer Mannigfaltigkeit ist ein Atlas mit Karten Abbildungen in den projektiven Raum und projektiven Abbildungen als Kartenubergangen Genauer Die n dimensionale Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp hat eine offene Uberdeckung M i I U i displaystyle M cup i in I U i nbsp mit Homoomorphismen ϕ i U i V i R P n displaystyle phi i U i rightarrow V i subset mathbb R P n nbsp so dass fur alle i j I displaystyle i j in I nbsp ϕ i ϕ j 1 ϕ j U i U j ϕ i U i U j displaystyle phi i phi j 1 phi j U i cap U j rightarrow phi i U i cap U j nbsp die Einschrankung einer Abbildung aus P G L n 1 R displaystyle PGL n 1 mathbb R nbsp ist Analog kann man komplex projektive Mannigfaltigkeiten definieren hier gehen die Kartenabbildungen in den komplex projektiven Raum C P n displaystyle mathbb C P n nbsp und die Kartenubergange sind Einschrankungen von Abbildungen in P G L n 1 C displaystyle PGL n 1 mathbb C nbsp Konvex projektive Mannigfaltigkeiten BearbeitenEine projektive Mannigfaltigkeit heisst konvex projektiv wenn sie von der Form M G W displaystyle M Gamma backslash Omega nbsp fur eine konvexe Teilmenge W R P n displaystyle Omega in mathbb R P n nbsp und eine diskrete Untergruppe G P G L n 1 R displaystyle Gamma subset PGL n 1 mathbb R nbsp ist Beispiele BearbeitenHyperbolische Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Hyperbolische Mannigfaltigkeiten sind konvex projektiv das Beltrami Klein Modell des hyperbolischen Raumes ist eine konvexe Teilmenge des projektiven Raumes seine Isometriegruppe ist P S O n 1 P G L n 1 R displaystyle PSO n 1 subset PGL n 1 mathbb R nbsp Flache Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Flache Mannigfaltigkeiten sind konvex projektiv der euklidische Raum ist eine konvexe Teilmenge des projektiven Raumes seine Isometriegruppe ist eine Untergruppe von P G L n 1 R displaystyle PGL n 1 mathbb R nbsp 2 dimensionale projektive Mannigfaltigkeiten BearbeitenReell projektive Strukturen Bearbeiten Reell projektive Strukturen auf Flachen wurden von Choi und Goldman klassifiziert Der Raum der Aquivalenzklassen reell projektiver Strukturen auf einer geschlossenen orientierbaren Flache S g displaystyle Sigma g nbsp vom Geschlecht g ist eine abzahlbare Vereinigung 16g 16 dimensionaler offener Zellen Der Modulraum der konvex projektiven Strukturen ist eine Zusammenhangskomponente die Hitchin Komponente in der Darstellungsvarietat H o m p 1 S g P G L 3 R displaystyle Hom pi 1 Sigma g PGL 3 mathbb R nbsp der Flachengruppe p 1 S g displaystyle pi 1 Sigma g nbsp 1 Komplex projektive Strukturen Bearbeiten Alle komplex projektiven Strukturen auf Flachen lassen sich durch Grafting entlang gemessener Laminierungen aus hyperbolischen Strukturen konstruieren 2 3 dimensionale projektive Mannigfaltigkeiten BearbeitenSatz Sei M displaystyle M nbsp eine 3 Mannigfaltigkeit mit einer der 8 Thurston Geometrien Dann ist M displaystyle M nbsp entweder eine nicht orientierbare Seifert Faserung und es gibt eine 2 fache Uberlagerung mit einer reell projektiven Struktur oder die Mannigfaltigkeit besitzt eine eindeutige der Thurston Geometrie zugrundeliegende reell projektive Struktur Dieser Satz folgt aus der Darstellbarkeit der Thurston Geometrien X G displaystyle X G nbsp in R P 3 P G L 4 R displaystyle mathbb R P 3 PGL 4 mathbb R nbsp mit der Ausnahme dass im Fall der Produkt Geometrien S 2 R displaystyle S 2 times mathbb R nbsp und H 2 R displaystyle H 2 times mathbb R nbsp die Gruppe G I s o m X displaystyle G Isom X nbsp durch die Gruppe I s o m X displaystyle Isom X nbsp der orientierungserhaltenden Isometrien ersetzt werden muss die eine Untergruppe vom Index 2 ist Im Fall nicht orientierbarer Seifert Faserungen gibt es reell projektive Strukturen die nicht von einer projektiven Darstellung ihrer Thurston Geometrie kommen Guichard Wienhard Es gibt reell projektive Strukturen auch auf nicht geometrischen 3 Mannigfaltigkeiten Benoist andererseits kann die zusammenhangende Summe R P 3 R P 3 displaystyle mathbb R P 3 sharp mathbb R P 3 nbsp keine reell projektive Struktur haben Cooper Goldman Literatur BearbeitenChoi Suhyoung Goldman William M The classification of real projective structures on compact surfaces Bull Amer Math Soc N S 34 1997 no 2 161 171 Cooper Daryl Goldman William M A 3 manifold with no real projective structure http arxiv org abs 1207 2007 Goldman William M What is a projective structure Notices Amer Math Soc 54 2007 no 1 30 33 pdfWeblinks BearbeitenSam Ballas Flexibility and rigidity of 3 dimensional convex projective structuresEinzelnachweise Bearbeiten Choi Suhyoung Goldman William M Convex real projective structures on closed surfaces are closed Proc Amer Math Soc 118 1993 no 2 657 661 Kamishima Yoshinobu Tan Ser P Deformation spaces on geometric structures Aspects of low dimensional manifolds 263 299 Adv Stud Pure Math 20 Kinokuniya Tokyo 1992 Normdaten Sachbegriff GND 4175888 2 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Projektive Mannigfaltigkeit amp oldid 229018060