In der Algebra ist ein Polynom vierten Grades ein Polynom der Form f x a x 4 b x 3 c x 2 d x e displaystyle f x ax 4 bx 3 cx 2 dx e mit a displaystyle a ungleich Null Eine quartische Funktion ist die diesem Polynom entsprechende Abbildung f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R Eine biquadratische Funktion ist eine quartische Funktion mit b 0 displaystyle b 0 und d 0 displaystyle d 0 1 Eine quartische Gleichung oder Gleichung vierten Grades ist eine Gleichung der Form a x 4 b x 3 c x 2 d x e 0 displaystyle ax 4 bx 3 cx 2 dx e 0 mit a 0 displaystyle a not 0 Entsprechend spricht man auch von biquadratischen Gleichungen Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften quartischer Funktionen 1 1 Verhalten im Unendlichen 1 2 Nullstellen 1 3 Lokale Extrema 1 4 Wendepunkte 2 Polynome vierten Grades 3 Losung der Gleichung vierten Grades durch Radikale Wurzelausdrucke 3 1 Natur der Losungen 3 2 Allgemeine Formeln fur die Wurzeln 3 2 1 Spezialfalle der Formel 4 Siehe auch 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseEigenschaften quartischer Funktionen BearbeitenIm Folgenden sei f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp eine durch f x a x 4 b x 3 c x 2 d x e displaystyle f x ax 4 bx 3 cx 2 dx e nbsp mit a 0 displaystyle a not 0 nbsp definierte quartische Funktion Verhalten im Unendlichen Bearbeiten Wie bei allen ganzrationalen Funktionen von geradem Grad gilt lim x f x displaystyle lim limits x to infty f x infty nbsp lim x f x displaystyle lim limits x to infty f x infty nbsp falls der fuhrende Koeffizient a displaystyle a nbsp positiv ist und lim x f x displaystyle lim limits x to infty f x infty nbsp lim x f x displaystyle lim limits x to infty f x infty nbsp falls a displaystyle a nbsp negativ ist Nullstellen Bearbeiten Ein Polynom vierten Grades hat hochstens vier Nullstellen kann aber auch keine reellen Nullstellen haben Es hat wenn Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezahlt werden genau vier komplexe Nullstellen Falls alle Nullstellen reell sind ist die Diskriminante nichtnegativ Die Umkehrung gilt nicht das Polynom x 4 4 displaystyle x 4 4 nbsp hat positive Diskriminante aber keine reellen Nullstellen Fur die komplexen Nullstellen gibt es eine Losungsformel siehe Quartische Gleichung Das numerische Auffinden reeller Nullstellen ist beispielsweise mit dem Newton Verfahren moglich Lokale Extrema Bearbeiten Als Polynomfunktion ist f displaystyle f nbsp beliebig oft differenzierbar fur ihre 1 Ableitung f displaystyle f nbsp ergibt sich die kubische Funktion f x 4 a x 3 3 b x 2 2 c x d displaystyle f x 4ax 3 3bx 2 2cx d nbsp Ist deren Diskriminante positiv so besitzt f displaystyle f nbsp genau drei lokale Extrema namlich fur a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp ein lokales Maximum und zwei lokale Minima oder fur a lt 0 displaystyle a lt 0 nbsp zwei lokale Maxima und ein lokales Minimum Wendepunkte Bearbeiten Eine quartische Funktion f displaystyle f nbsp besitzt hochstens zwei Wendepunkte x W f x W displaystyle x W f x W nbsp Die Wendestellen x W displaystyle x W nbsp sind die Nullstellen der 2 Ableitung f x 12 a x 2 6 b x 2 c displaystyle f x 12ax 2 6bx 2c nbsp Polynome vierten Grades BearbeitenSei R displaystyle R nbsp ein beliebiger Ring Als Polynome vierten Grades uber R displaystyle R nbsp bezeichnet man Ausdrucke der Form a x 4 b x 3 c x 2 d x e R x displaystyle ax 4 bx 3 cx 2 dx e in R x nbsp mit a b c d e R displaystyle a b c d e in R nbsp und a 0 displaystyle a not 0 nbsp Formal handelt es sich um Elemente des Polynomringes vom Grad 4 sie definieren Abbildungen von R displaystyle R nbsp nach R displaystyle R nbsp Fur R R displaystyle R mathbb R nbsp handelt es sich im obigen Sinne um quartische Funktionen Falls R displaystyle R nbsp ein algebraisch abgeschlossener Korper ist zerfallt jedes Polynom vierten Grades als Produkt vierer Linearfaktoren Allgemeiner sind quartische Polynome in n displaystyle n nbsp Variablen Ausdrucke der Form i j k l 1 n a i j k l x i x j x k x l i j k 1 n b i j k x i x j x k i j 1 n c i j x i x j i 1 n d i x i e R x 1 x n displaystyle sum i j k l 1 n a i j k l x i x j x k x l sum i j k 1 n b i j k x i x j x k sum i j 1 n c i j x i x j sum i 1 n d i x i e in R x 1 ldots x n nbsp wobei nicht alle a i j k l displaystyle a i j k l nbsp Null sein sollen Diese Polynome definieren Abbildungen von R n displaystyle R n nbsp nach R displaystyle R nbsp Ihre Nullstellenmengen im R n displaystyle R n nbsp werden fur n 2 displaystyle n 2 nbsp als quartische Kurven und fur n 3 displaystyle n 3 nbsp als quartische Flachen bezeichnet Losung der Gleichung vierten Grades durch Radikale Wurzelausdrucke Bearbeiten Hauptartikel Quartische Gleichung Natur der Losungen Bearbeiten Fur die quartische Gleichung a x 4 b x 3 c x 2 d x e 0 displaystyle ax 4 bx 3 cx 2 dx e 0 nbsp mit reellen Koeffizienten a b c d e displaystyle a b c d e nbsp und a 0 displaystyle a neq 0 nbsp ist die Natur der Wurzeln der Losungen im Wesentlichen gegeben durch das Vorzeichen der sogenannten Diskriminante D 256 a 3 e 3 192 a 2 b d e 2 128 a 2 c 2 e 2 144 a 2 c d 2 e 27 a 2 d 4 144 a b 2 c e 2 6 a b 2 d 2 e 80 a b c 2 d e 18 a b c d 3 16 a c 4 e 4 a c 3 d 2 27 b 4 e 2 18 b 3 c d e 4 b 3 d 3 4 b 2 c 3 e b 2 c 2 d 2 displaystyle begin aligned Delta amp 256a 3 e 3 192a 2 bde 2 128a 2 c 2 e 2 144a 2 cd 2 e 27a 2 d 4 amp 144ab 2 ce 2 6ab 2 d 2 e 80abc 2 de 18abcd 3 16ac 4 e amp 4ac 3 d 2 27b 4 e 2 18b 3 cde 4b 3 d 3 4b 2 c 3 e b 2 c 2 d 2 end aligned nbsp Zusatzlich muss man noch vier weitere Polynome betrachten Man erhalt daraus die Information wie viele Nullstellen reell und wie viele echt komplex sind Allgemeine Formeln fur die Wurzeln Bearbeiten nbsp Volle Losungsformel Zu kompliziert um wirklich nutzlich zu sein 2 Die vier Wurzeln x 1 displaystyle x 1 nbsp x 2 displaystyle x 2 nbsp x 3 displaystyle x 3 nbsp und x 4 displaystyle x 4 nbsp der allgemeinen quartischen Gleichung a x 4 b x 3 c x 2 d x e 0 displaystyle ax 4 bx 3 cx 2 dx e 0 nbsp mit a 0 ergeben sich aus der folgenden Formel x 1 2 b 4 a S 1 2 4 S 2 2 p q S x 3 4 b 4 a S 1 2 4 S 2 2 p q S displaystyle begin aligned x 1 2 amp frac b 4a S pm frac 1 2 sqrt 4S 2 2p frac q S x 3 4 amp frac b 4a S pm frac 1 2 sqrt 4S 2 2p frac q S end aligned nbsp mit p und q wie folgt p 8 a c 3 b 2 8 a 2 q b 3 4 a b c 8 a 2 d 8 a 3 displaystyle begin aligned p amp frac 8ac 3b 2 8a 2 q amp frac b 3 4abc 8a 2 d 8a 3 end aligned nbsp wobei S 1 2 2 3 p 1 3 a Q D 0 Q Q D 1 D 1 2 4 D 0 3 2 3 displaystyle begin aligned S amp frac 1 2 sqrt frac 2 3 p frac 1 3a left Q frac Delta 0 Q right Q amp sqrt 3 frac Delta 1 sqrt Delta 1 2 4 Delta 0 3 2 end aligned nbsp falls S 0 displaystyle S 0 nbsp oder Q 0 displaystyle Q 0 nbsp siehe unter Spezialfalle der Formel unten hierbei ist D 0 c 2 3 b d 12 a e D 1 2 c 3 9 b c d 27 b 2 e 27 a d 2 72 a c e displaystyle begin aligned Delta 0 amp c 2 3bd 12ae Delta 1 amp 2c 3 9bcd 27b 2 e 27ad 2 72ace end aligned nbsp und D 1 2 4 D 0 3 27 D displaystyle Delta 1 2 4 Delta 0 3 27 Delta nbsp wobei D displaystyle Delta nbsp die oben genannte Diskriminante ist Fur die in Q displaystyle Q nbsp auftretende dritte Wurzel kann jede beliebige der komplexen dritten Wurzeln genutzt werden Spezialfalle der Formel Bearbeiten Falls D 0 displaystyle Delta neq 0 nbsp und D 0 0 displaystyle Delta 0 0 nbsp muss das Vorzeichen von D 1 2 4 D 0 3 D 1 2 displaystyle sqrt Delta 1 2 4 Delta 0 3 sqrt Delta 1 2 nbsp so gewahlt werden dass Q 0 displaystyle Q neq 0 nbsp Falls S 0 displaystyle S 0 nbsp muss die Wahl der dritten Wurzel in der Definition von Q displaystyle Q nbsp so geandert werden dass S 0 displaystyle S neq 0 nbsp Dies ist immer moglich ausser wenn das Polynom vierten Grades als x b 4 a 4 displaystyle left x tfrac b 4a right 4 nbsp faktorisiert werden kann wodurch die Losungen gegeben sind Siehe auch BearbeitenLineare Funktion Quadratische Funktion Kubische Funktion BiquadratLiteratur BearbeitenW Carpenter On the solution of the real quartic In Mathematics Magazine 39 Jahrgang 1966 S 28 30 doi 10 2307 2688990 S L Shmakov A Universal Method of Solving Quartic Equations In International Journal of Pure and Applied Mathematics 71 Jahrgang 2011 S 251 259 ijpam eu PDF Weblinks BearbeitenQuartic formula as four single equations In PlanetMath englisch Ferrari s achievementEinzelnachweise Bearbeiten Arnfried Kemnitz Mathematik zum Studienbeginn Grundlagenwissen fur alle technischen mathematisch naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengange 12 Auflage Springer 2019 ISBN 978 3 658 26603 5 S 97 Quartic formula as four single equations In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Polynom vierten Grades amp oldid 234221153
