www.wikidata.de-de.nina.az

Pol und Polare sind ein Begriffspaar in der ebenen Geometrie der Kegelschnitte Jedem Punkt der Ebene wird eine Gerade um

Pol und Polare

Pol und Polare sind ein Begriffspaar in der ebenen Geometrie der Kegelschnitte: Jedem Punkt der Ebene wird eine Gerade umkehrbar eindeutig zugeordnet. Vermittelndes Element ist ein Kegelschnitt. Die Gerade heißt Polare des Punktes, der Punkt Pol der Geraden. Die durch die Zuordnung Pol↔Polare gegebene Abbildung wird als Polarität, genauer als hyperbolische projektive Polarität bezeichnet. Zum allgemeineren Begriff Polarität siehe den Artikel Korrelation (Projektive Geometrie), dort wird auch die Koordinatendarstellung von Polaritäten (als Abbildungen) erläutert.

Außen liegender Pol Bearbeiten

Pol (rot) außerhalb des Kreises mit Polare (rot)
harmonische Teilung:

Zu einem Punkt , der im Äußeren eines nicht entarteten Kegelschnitts (im Bild: eines Kreises) liegt, gibt es stets zwei Tangenten und , die durch gehen. Berühren diese den Kegelschnitt in den Punkten und , so heißt die Gerade „die Polare zu (bezüglich des gegebenen Kegelschnitts)“.

Umgekehrt kann man sagen:

Schneidet eine Gerade (die Polare) einen Kegelschnitt in zwei Punkten und , so heißt der Schnittpunkt der beiden Tangenten in und der Pol zu (bezüglich des Kegelschnittes).

Harmonische Teilung und endgültige Definition Bearbeiten

Zeichnet man durch den Pol eine Sekante, die den Kegelschnitt in und und die Polare in schneidet, so teilen die Punkte und die Strecke harmonisch (siehe Zeichnung). Dies erlaubt es, die Polare auch folgendermaßen zu definieren:

„Zeichnet man durch einen Punkt (den Pol) die Sekanten zu einem nicht entarteten Kegelschnitt, so liegen die vierten harmonischen Punkte, die (zusammen mit ) die ausgeschnittenen Sehnen harmonisch teilen, auf einer Geraden. Diese Gerade heißt die Polare zu (bezüglich des Kegelschnitts).“

Bei dieser Definition wird nicht mehr vorausgesetzt, dass im Äußeren des Kegelschnitts liegt. Auch zu jedem Punkt im Innern gibt es danach eine wohl definierte Polare.

Innen liegender Pol Bearbeiten

Pol (rot) innerhalb des Kreises mit Polare (rot)
harmonische Teilung:

Geometrisch erhält man die Polare zu einem Punkt im Innern eines Kegelschnitts, indem man (mindestens zwei) Sekanten durch zeichnet (im Bild und ) und an den Endpunkten ihrer Sehnen jeweils die Tangenten konstruiert. Die Schnittpunkte dieser Tangenten (im Bild und ) liegen auf der Polaren.

Umgekehrt kann man auch sagen:

Ist die Polare Passante des Kegelschnitts, so schneiden sich die Polaren aller auf ihr liegenden Punkte im Pol der Geraden.

Sonderfälle Bearbeiten

  • Liegt der Pol auf der Kegelschnittlinie, so ist die Polare die Tangente in diesem Punkt. (Oder umgekehrt: Ist die Polare Tangente an den Kegelschnitt, so ist ihr Pol der Berührpunkt.)
  • Die Polare des Mittelpunkts ist die unendlich ferne Gerade.
  • Pol zu einem Durchmesser ist ein unendlich ferner Punkt, und zwar der, dessen Richtung die (parallelen!) Tangenten am Ende des Durchmessers angeben.

Zusammenhang mit der Kreisspiegelung Bearbeiten

Die Polare zu einem Punkt bezüglich eines Kreises lässt sich, falls der Punkt nicht Mittelpunkt des Kreises ist, auch durch eine Kreisspiegelung bestimmen.

Die Zuordnung zwischen einem Pol und seiner Polaren bezüglich eines Kreises um weist dem Punkt () die Gerade zu, die durch den Spiegelpunkt bei der Kreisspiegelung an geht und auf der Verbindungsgerade senkrecht steht. Vergleiche dazu die Abbildung rechts unten.

Höhere Dimensionen Bearbeiten

Im dreidimensionalen Raum tritt an die Stelle des Kegelschnitts als vermittelndes Element eine Fläche zweiter Ordnung, im einfachsten Fall also eine Kugel. Ist der Pol ein äußerer Punkt, so gibt es von ihm aus nicht nur zwei Tangenten, sondern im Allgemeinen eine ganze Schar von Tangenten, die einen Kegel (nicht notwendig einen Kreiskegel!) bilden. Dieser berührt die Fläche zweiter Ordnung in einer Linie (genauer: in einem Kegelschnitt – bei der Kugel in einem Kreis), und diese Linie ist die Schnittlinie der Fläche zweiter Ordnung mit einer Ebene – eben der Polarebene. Dieser Begriff ersetzt hier also den Begriff Polare.

Durch den Pol verlaufende Sekanten erzeugen auch hier eine harmonische Teilung, und man kann, auch für Punkte im Innern der Fläche zweiter Ordnung, ganz analog zum zweidimensionalen Fall definieren:

„Zeichnet man durch einen Punkt (den Pol) die Sekanten zu einer nicht entarteten Fläche zweiter Ordnung, so liegen die vierten harmonischen Punkte, die (zusammen mit ) die ausgeschnittenen Sehnen harmonisch teilen, auf einer Ebene. Diese Ebene heißt die Polebene zu (bezüglich der Fläche zweiter Ordnung).“

Auch die Sonderfälle verhalten sich analog.

Entsprechende Begriffsbildungen sind auch für Räume mit mehr als drei Dimensionen möglich.

Pol-Polare-Beziehung bei Kegelschnitten Bearbeiten

Kegelschnitt Gleichung Polare des Punktes
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Parabel


Kegelschnitt Gleichung Pol der Gerade u x + v y = w
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Parabel

Literatur Bearbeiten

  • Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie. 2. durchgesehene Auflage. Band 1. Vieweg, Braunschweig 1976, ISBN 3-528-03056-9, S. 224 ff.
  • Karl Rohn, Erwin Papperitz: Lehrbuch der Darstellenden Geometrie. 1. Auflage. Band 1. Salzwasser Verlag, Paderborn 2011, ISBN 978-3-86195-888-8, S. 184 ff.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Poles and polars – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. Bei einer Parabel oder Hyperbel liegt der Punkt im „Äußeren“, wenn sich die Kurve von ihm wegkrümmt, wenn sie also von dem Punkt aus gesehen konvex ist.
  2. Schaal (1974).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Pol und Polare sind ein Begriffspaar in der ebenen Geometrie der Kegelschnitte Jedem Punkt der Ebene wird eine Gerade umkehrbar eindeutig zugeordnet Vermittelndes Element ist ein Kegelschnitt Die Gerade heisst Polare des Punktes der Punkt Pol der Geraden Die durch die Zuordnung Pol Polare gegebene Abbildung wird als Polaritat genauer als hyperbolische projektive Polaritat bezeichnet Zum allgemeineren Begriff Polaritat siehe den Artikel Korrelation Projektive Geometrie dort wird auch die Koordinatendarstellung von Polaritaten als Abbildungen erlautert Inhaltsverzeichnis 1 Aussen liegender Pol 2 Harmonische Teilung und endgultige Definition 3 Innen liegender Pol 4 Sonderfalle 5 Zusammenhang mit der Kreisspiegelung 6 Hohere Dimensionen 7 Pol Polare Beziehung bei Kegelschnitten 8 Literatur 9 Weblinks 10 Einzelnachweise und AnmerkungenAussen liegender Pol Bearbeiten nbsp Pol P displaystyle P nbsp rot ausserhalb des Kreises mit Polare p displaystyle p nbsp rot harmonische Teilung A S B S A P B P displaystyle frac AS BS frac AP BP nbsp Zu einem Punkt P displaystyle P nbsp der im Ausseren 1 eines nicht entarteten Kegelschnitts im Bild eines Kreises liegt gibt es stets zwei Tangenten t 1 displaystyle t 1 nbsp und t 2 displaystyle t 2 nbsp die durch P displaystyle P nbsp gehen Beruhren diese den Kegelschnitt in den Punkten T 1 displaystyle T 1 nbsp und T 2 displaystyle T 2 nbsp so heisst die Gerade p T 1 T 2 displaystyle p T 1 T 2 nbsp die Polare zu P displaystyle P nbsp bezuglich des gegebenen Kegelschnitts Umgekehrt kann man sagen Schneidet eine Gerade p displaystyle p nbsp die Polare einen Kegelschnitt in zwei Punkten T 1 displaystyle T 1 nbsp und T 2 displaystyle T 2 nbsp so heisst der Schnittpunkt der beiden Tangenten in T 1 displaystyle T 1 nbsp und T 2 displaystyle T 2 nbsp der Pol zu p displaystyle p nbsp bezuglich des Kegelschnittes Harmonische Teilung und endgultige Definition BearbeitenZeichnet man durch den Pol P displaystyle P nbsp eine Sekante die den Kegelschnitt in A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp und die Polare in S displaystyle S nbsp schneidet so teilen die Punkte S displaystyle S nbsp und P displaystyle P nbsp die Strecke A B displaystyle left AB right nbsp harmonisch siehe Zeichnung Dies erlaubt es die Polare auch folgendermassen zu definieren Zeichnet man durch einen Punkt P displaystyle P nbsp den Pol die Sekanten zu einem nicht entarteten Kegelschnitt so liegen die vierten harmonischen Punkte die zusammen mit P displaystyle P nbsp die ausgeschnittenen Sehnen harmonisch teilen auf einer Geraden Diese Gerade heisst die Polare zu P displaystyle P nbsp bezuglich des Kegelschnitts Bei dieser Definition wird nicht mehr vorausgesetzt dass P displaystyle P nbsp im Ausseren des Kegelschnitts liegt Auch zu jedem Punkt im Innern gibt es danach eine wohl definierte Polare Innen liegender Pol Bearbeiten nbsp Pol P displaystyle P nbsp rot innerhalb des Kreises mit Polare p displaystyle p nbsp rot harmonische Teilung A S B S A P B P displaystyle frac AS BS frac AP BP nbsp Geometrisch erhalt man die Polare zu einem Punkt P displaystyle P nbsp im Innern eines Kegelschnitts indem man mindestens zwei Sekanten durch P displaystyle P nbsp zeichnet im Bild s 1 displaystyle s 1 nbsp und s 2 displaystyle s 2 nbsp und an den Endpunkten ihrer Sehnen jeweils die Tangenten konstruiert Die Schnittpunkte dieser Tangenten im Bild Q displaystyle Q nbsp und R displaystyle R nbsp liegen auf der Polaren Umgekehrt kann man auch sagen Ist die Polare Passante des Kegelschnitts so schneiden sich die Polaren aller auf ihr liegenden Punkte im Pol der Geraden Sonderfalle BearbeitenLiegt der Pol auf der Kegelschnittlinie so ist die Polare die Tangente in diesem Punkt Oder umgekehrt Ist die Polare Tangente an den Kegelschnitt so ist ihr Pol der Beruhrpunkt Die Polare des Mittelpunkts ist die unendlich ferne Gerade Pol zu einem Durchmesser ist ein unendlich ferner Punkt und zwar der dessen Richtung die parallelen Tangenten am Ende des Durchmessers angeben Zusammenhang mit der Kreisspiegelung Bearbeiten nbsp Die Polare zu einem Punkt Q displaystyle Q nbsp bezuglich eines Kreises lasst sich falls der Punkt Q displaystyle Q nbsp nicht Mittelpunkt des Kreises ist auch durch eine Kreisspiegelung bestimmen Die Zuordnung zwischen einem Pol Q displaystyle Q nbsp und seiner Polaren q displaystyle q nbsp bezuglich eines Kreises k displaystyle k nbsp um O displaystyle O nbsp weist dem Punkt Q displaystyle Q nbsp Q O displaystyle Q neq O nbsp die Gerade q displaystyle q nbsp zu die durch den Spiegelpunkt P s Q displaystyle P sigma Q nbsp bei der Kreisspiegelung s displaystyle sigma nbsp an k displaystyle k nbsp geht und auf der Verbindungsgerade O P displaystyle OP nbsp senkrecht steht Vergleiche dazu die Abbildung rechts unten Hohere Dimensionen BearbeitenIm dreidimensionalen Raum tritt an die Stelle des Kegelschnitts als vermittelndes Element eine Flache zweiter Ordnung im einfachsten Fall also eine Kugel Ist der Pol ein ausserer Punkt so gibt es von ihm aus nicht nur zwei Tangenten sondern im Allgemeinen eine ganze Schar von Tangenten die einen Kegel nicht notwendig einen Kreiskegel bilden Dieser beruhrt die Flache zweiter Ordnung in einer Linie genauer in einem Kegelschnitt bei der Kugel in einem Kreis und diese Linie ist die Schnittlinie der Flache zweiter Ordnung mit einer Ebene eben der Polarebene Dieser Begriff ersetzt hier also den Begriff Polare Durch den Pol verlaufende Sekanten erzeugen auch hier eine harmonische Teilung und man kann auch fur Punkte im Innern der Flache zweiter Ordnung ganz analog zum zweidimensionalen Fall definieren Zeichnet man durch einen Punkt P displaystyle P nbsp den Pol die Sekanten zu einer nicht entarteten Flache zweiter Ordnung so liegen die vierten harmonischen Punkte die zusammen mit P displaystyle P nbsp die ausgeschnittenen Sehnen harmonisch teilen auf einer Ebene Diese Ebene heisst die Polebene zu P displaystyle P nbsp bezuglich der Flache zweiter Ordnung 2 Auch die Sonderfalle verhalten sich analog Entsprechende Begriffsbildungen sind auch fur Raume mit mehr als drei Dimensionen moglich Pol Polare Beziehung bei Kegelschnitten BearbeitenPol Polare Beziehung einer Ellipse Pol Polare Beziehung einer Hyperbel Pol Polare Beziehung einer ParabelKegelschnitt Gleichung Polare des Punktes P x 0 y 0 displaystyle P x 0 y 0 nbsp Kreis x 2 y 2 r 2 displaystyle x 2 y 2 r 2 nbsp x 0 x y 0 y r 2 displaystyle x 0 x y 0 y r 2 nbsp Ellipse x a 2 y b 2 1 displaystyle left frac x a right 2 left frac y b right 2 1 nbsp x 0 x a 2 y 0 y b 2 1 displaystyle frac x 0 x a 2 frac y 0 y b 2 1 nbsp Hyperbel x a 2 y b 2 1 displaystyle left frac x a right 2 left frac y b right 2 1 nbsp x 0 x a 2 y 0 y b 2 1 displaystyle frac x 0 x a 2 frac y 0 y b 2 1 nbsp Parabel y a x 2 displaystyle y ax 2 nbsp y y 0 2 a x 0 x displaystyle y y 0 2ax 0 x nbsp Kegelschnitt Gleichung Pol der Gerade u x v y wKreis x 2 y 2 r 2 displaystyle x 2 y 2 r 2 nbsp r 2 u w r 2 v w displaystyle frac r 2 u w frac r 2 v w nbsp Ellipse x a 2 y b 2 1 displaystyle left frac x a right 2 left frac y b right 2 1 nbsp a 2 u w b 2 v w displaystyle frac a 2 u w frac b 2 v w nbsp Hyperbel x a 2 y b 2 1 displaystyle left frac x a right 2 left frac y b right 2 1 nbsp a 2 u w b 2 v w displaystyle frac a 2 u w frac b 2 v w nbsp Parabel y a x 2 displaystyle y ax 2 nbsp u 2 a v w v displaystyle frac u 2av frac w v nbsp Literatur BearbeitenHermann Schaal Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 durchgesehene Auflage Band 1 Vieweg Braunschweig 1976 ISBN 3 528 03056 9 S 224 ff Karl Rohn Erwin Papperitz Lehrbuch der Darstellenden Geometrie 1 Auflage Band 1 Salzwasser Verlag Paderborn 2011 ISBN 978 3 86195 888 8 S 184 ff Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Poles and polars Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien cut the knot org Eric W Weisstein Polar In MathWorld englisch Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Bei einer Parabel oder Hyperbel liegt der Punkt im Ausseren wenn sich die Kurve von ihm wegkrummt wenn sie also von dem Punkt aus gesehen konvex ist Schaal 1974 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pol und Polare amp oldid 215937416