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Plasma Randschicht Als Randschicht oder Debyeschicht wird der übergangsbereich eines Plasmas zu einer begrenzenden Wand

Plasma-Randschicht

Als Randschicht oder Debyeschicht wird der Übergangsbereich eines Plasmas zu einer begrenzenden Wand bezeichnet. Die Elektronen in einem Plasma haben meist eine ähnliche oder höhere Temperatur als die Ionen und sind um ein Vielfaches leichter. Das bedeutet, dass sie mindestens um den Faktor schneller sind und daher schneller an der Wand verloren gehen:

Um das Prinzip der Quasineutralität innerhalb des Plasmas nicht zu verletzen, baut sich in der Randschicht ein negatives Potential auf, welches die Elektronen reflektiert und die Ionen zur Wand hin beschleunigt. So kann nur ein kleiner Bruchteil der Elektronen die Potentialbarriere der Randschicht durchdringen. Dies ist als ambipolare Diffusion bekannt.

Randschichten haben typische Dicken in der Größenordnung einiger Debye-Längen. Sie selbst sind gekennzeichnet durch eine klare Verletzung des Prinzips der Quasineutralität, d. h., sie weisen einen Überschuss positiver Raumladung auf. In (quasi-)stationären Plasmen (z. B. kapazitiv gekoppelte RF-Plasmen) stellt sich der Potentialunterschied über der Randschicht so ein, dass im Mittel gleich viele Elektronen und Ionen die Randschicht durchlaufen.

Geschichte Bearbeiten

Randschichten wurden das erste Mal 1923 vom amerikanischen Physiker Irving Langmuir beschrieben:

Mathematische Behandlung Bearbeiten

Teilchendichte n und elektrostatisches Potential V
in einer Randschicht (sheath) und der Vorrandschicht (presheath)

Die eindimensionale Gleichung Bearbeiten

Die Physik der Randschicht wird durch vier Phänomene bestimmt:

  • Energieerhaltung der Ionen: Wenn wir zur Vereinfachung kalte Ionen der Masse annehmen, welche mit der Geschwindigkeit in die Randschicht eintreten, so gilt aufgrund der Energieerhaltung:
  • Ionenzahl-Erhaltung: In einem stationären Plasma werden keine Ionen gebildet oder vernichtet, weshalb der Fluss überall derselbe ist:

Kombiniert man diese Gleichungen und ersetzt Potential , Position und Ionengeschwindigkeit durch die dimensionslosen Größen

so erhält man die Gleichung für die Randschicht:

Das Bohm-sheath-Kriterium Bearbeiten

Die Randschichtgleichung kann integriert werden, wenn sie mit multipliziert wird:

An der Grenze der Randschicht zum Plasma () wird das Potential gleich Null gesetzt () und das elektrische Feld wird ebenfalls als Null angenommen (). Mit diesen Randbedingungen ergibt die Integration:

Dieses Integral kann einfach in geschlossener Form geschrieben werden, obwohl es nur numerisch gelöst werden kann. Dennoch können daraus wichtige analytische Schlüsse gezogen werden: da die linke Seite ein quadratischer Ausdruck ist, muss die rechte Seite ebenfalls für jeden Wert von einen positiven Wert annehmen, insbesondere für kleine Werte. Mit einer Taylor-Entwicklung um findet man, dass der erste Term, der nicht verschwindet, der quadratische ist. Wir können also voraussetzen, dass

Diese Ungleichung ist bekannt als das Bohm-sheath-Kriterium, benannt nach seinem Entdecker David Bohm. Wenn die Ionen zu langsam in die Randschicht eindringen, dehnt sich das Randschichtpotential ins Plasma aus, um diese zu beschleunigen. Letztendlich formt sich eine sogenannte Vorrandschicht (pre-sheath) mit einem Spannungsabfall in der Größenordnung von und einer Ausdehnung, welche von der Ionenquelle bestimmt ist (oft so groß wie das Plasma selbst).

Fußnoten Bearbeiten

  1. Langmuir, Irving: Positive Ion Currents from the Positive Column of Mercury Arcs (1923) Science, Volume 58, Issue 1502, pp. 290–291 bibcode:1923Sci....58..290L
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Als Randschicht oder Debyeschicht wird der Ubergangsbereich eines Plasmas zu einer begrenzenden Wand bezeichnet Die Elektronen in einem Plasma haben meist eine ahnliche oder hohere Temperatur als die Ionen und sind um ein Vielfaches leichter Das bedeutet dass sie mindestens um den Faktor m i m e displaystyle sqrt m mathrm i m mathrm e schneller sind und daher schneller an der Wand verloren gehen E k i n e E k i n i 1 2 m e v e 2 1 2 m i v i 2 v e 2 v i 2 m i m e v e v i m i m e gt 1 displaystyle begin aligned E mathrm kin e amp geq E mathrm kin i Leftrightarrow frac 1 2 m e v e 2 amp geq frac 1 2 m i v i 2 Leftrightarrow frac v e 2 v i 2 amp geq frac m i m e Leftrightarrow frac v e v i amp geq sqrt frac m i m e gt 1 end aligned Um das Prinzip der Quasineutralitat innerhalb des Plasmas nicht zu verletzen baut sich in der Randschicht ein negatives Potential V displaystyle V auf welches die Elektronen reflektiert und die Ionen zur Wand hin beschleunigt So kann nur ein kleiner Bruchteil 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nur positive Ionen und neutrale Atome enthalt Elektronen werden von der Aussenhulle der Randschicht reflektiert wahrend alle positiven Ionen welche die Randschicht erreichen von der Elektrode angezogen werden daraus folgt dass es keine Anderung gibt im positiven Ionenstrom welcher die Elektrode erreicht Die Elektrode ist durch die Randschicht perfekt von der Entladung abgeschirmt und weder ihr Potential noch der Strom zur Elektrode werden von Phanomenen in der Entladung beeinflusst 1 Mathematische Behandlung Bearbeiten nbsp Teilchendichte n und elektrostatisches Potential Vin einer Randschicht sheath und der Vorrandschicht presheath Die eindimensionale Gleichung Bearbeiten Die Physik der Randschicht wird durch vier Phanomene bestimmt Energieerhaltung der Ionen Wenn wir zur Vereinfachung kalte Ionen der Masse m i displaystyle m mathrm i nbsp annehmen welche mit der Geschwindigkeit u s displaystyle u mathrm s nbsp in die Randschicht eintreten so gilt aufgrund der Energieerhaltung 1 2 m i u 2 1 2 m i u s 2 e V x displaystyle frac 1 2 m mathrm i u 2 frac 1 2 m mathrm i u mathrm s 2 e V x nbsp dd mit der Elementarladung e displaystyle e nbsp Ionenzahl Erhaltung In einem stationaren Plasma werden keine Ionen gebildet oder vernichtet weshalb der Fluss uberall derselbe ist n s u s n i x u x displaystyle n mathrm s u mathrm s n mathrm i x u x nbsp dd Boltzmann Gleichung fur die Elektronen Da die meisten Elektronen reflektiert werden ist ihre Teilchendichte gegeben durch n e x n s exp e V k B T e displaystyle n mathrm e x n mathrm s exp e V k mathrm B T mathrm e nbsp dd mit der Boltzmann Konstanten k B displaystyle k mathrm B nbsp Poisson Gleichung Die Krummung des elektrostatischen Potentials steht wie folgt in Bezug zur Netto Ladungsdichte d 2 V d x 2 1 e 0 q n e n i displaystyle frac d 2 V dx 2 frac 1 varepsilon 0 q n mathrm e n mathrm i nbsp dd mit der elektrischen Feldkonstanten e 0 displaystyle varepsilon 0 nbsp Kombiniert man diese Gleichungen und ersetzt Potential V displaystyle V nbsp Position x displaystyle x nbsp und Ionengeschwindigkeit u s displaystyle u mathrm s nbsp durch die dimensionslosen Grossen x e V k B T e V x k B T e e displaystyle chi frac e V k mathrm B T mathrm e quad Leftrightarrow quad V frac chi k mathrm B T mathrm e e nbsp dd 3 x l D x 3 l D displaystyle xi frac x lambda mathrm D quad Leftrightarrow quad x xi lambda mathrm D nbsp mit der Debye Lange l D displaystyle lambda mathrm D nbsp dd M u s k B T e m i u s M k B T e m i displaystyle mathfrak M frac u mathrm s sqrt k mathrm B T mathrm e m mathrm i quad Leftrightarrow quad u mathrm s mathfrak M sqrt k mathrm B T mathrm e m mathrm i nbsp dd so erhalt man die Gleichung fur die Randschicht x 1 2 x M 2 1 2 e x displaystyle Rightarrow chi left 1 frac 2 chi mathfrak M 2 right 1 2 e chi nbsp Das Bohm sheath Kriterium Bearbeiten Die Randschichtgleichung kann integriert werden wenn sie mit x displaystyle chi nbsp multipliziert wird 0 3 x x d 3 1 0 3 1 2 x M 2 1 2 x d 3 1 0 3 e x x d 3 1 displaystyle int 0 xi chi chi d xi 1 int 0 xi left 1 frac 2 chi mathfrak M 2 right 1 2 chi d xi 1 int 0 xi e chi chi d xi 1 nbsp An der Grenze der Randschicht zum Plasma 3 0 displaystyle xi 0 nbsp wird das Potential gleich Null gesetzt x 0 displaystyle chi 0 nbsp und das elektrische Feld wird ebenfalls als Null angenommen x 0 displaystyle chi 0 nbsp Mit diesen Randbedingungen ergibt die Integration 1 2 x 2 M 2 1 2 x M 2 1 2 1 e x 1 displaystyle frac 1 2 chi 2 mathfrak M 2 left left 1 frac 2 chi mathfrak M 2 right 1 2 1 right e chi 1 nbsp Dieses Integral kann einfach in geschlossener Form geschrieben werden obwohl es nur numerisch gelost werden kann Dennoch konnen daraus wichtige analytische Schlusse gezogen werden da die linke Seite ein quadratischer Ausdruck ist muss die rechte Seite ebenfalls fur jeden Wert von x displaystyle chi nbsp einen positiven Wert annehmen insbesondere fur kleine Werte Mit einer Taylor Entwicklung um x 0 displaystyle chi 0 nbsp findet man dass der erste Term der nicht verschwindet der quadratische ist Wir konnen also voraussetzen dass 1 2 x 2 1 M 2 1 0 M 2 1 u s k B T e m i displaystyle begin aligned frac 1 2 chi 2 left frac 1 mathfrak M 2 1 right amp geq 0 Leftrightarrow mathfrak M 2 amp geq 1 Rightarrow u mathrm s amp geq sqrt k mathrm B T mathrm e m mathrm i end aligned nbsp Diese Ungleichung ist bekannt als das Bohm sheath Kriterium benannt nach seinem Entdecker David Bohm Wenn die Ionen zu langsam in die Randschicht eindringen dehnt sich das Randschichtpotential ins Plasma aus um diese zu beschleunigen Letztendlich formt sich eine sogenannte Vorrandschicht pre sheath mit einem Spannungsabfall in der Grossenordnung von k B T e 2 e displaystyle k mathrm B T mathrm e 2e nbsp und einer Ausdehnung welche von der Ionenquelle bestimmt ist oft so gross wie das Plasma selbst Fussnoten Bearbeiten Langmuir Irving Positive Ion Currents from the Positive Column of Mercury Arcs 1923 Science Volume 58 Issue 1502 pp 290 291 bibcode 1923Sci 58 290L Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Plasma Randschicht amp oldid 225793177