www.wikidata.de-de.nina.az

Pick Matrix ist ein mathematischer Begriff der in dem mathematischen Teilgebiet der Analysis Verwendung findet Hier beze

Pick–Matrix

Pick–Matrix ist ein mathematischer Begriff, der in dem mathematischen Teilgebiet der Analysis Verwendung findet. Hier bezeichnet man eine quadratische Matrix als Pick–Matrix, wenn eine positive natürliche Zahl und dazu paarweise verschiedene komplexe Zahlen und weiter komplexe Zahlen gegeben sind, so dass das jeweilige –Element von die Form

hat.

Der Begriff spielt eine wesentliche Rolle im Zusammenhang mit dem sogenannten Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna.

Interpolationsproblem Bearbeiten

Das Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna – oder auch Nevanlinna–Pick–Interpolationsproblem (englisch Nevanlinna–Pick interpolation problem) – geht auf wissenschaftliche Publikationen der beiden Mathematiker Georg Pick und Rolf Nevanlinna aus den Jahren 1916 bzw. 1919 zurück. Es behandelt die folgende Fragestellung:

Interpolationssatz Bearbeiten

Es gilt zu dem genannten Problem der folgende Interpolationssatz von Pick und Nevanlinna:

Andere Definition Bearbeiten

In einer im Jahre 1974 erschienenen Monographie von William F. Donoghue, Jr., wird der Begriff der Pick–Matrix in einer anderen Weise definiert. Hier bezeichnet man eine quadratische Matrix als Pick–Matrix, wenn eine positive natürliche Zahl sowie komplexe Zahlen und weiter eine Funktion vorliegen, so dass das jeweilige –Element von die Form

hat.

Erläuterungen Bearbeiten

  1. ist die offene Einheitskreisscheibe.
  2. ist die Einheitskreislinie (oder auch Kreisgruppe).
  3. ist der zu den beschränkten holomorphen Funktionen gehörige Hardy-Raum.
  4. ist die (offene) obere Halbebene.
  5. Der Interpolationssatz von Pick und Nevanlinna lässt sich auf mehreren Wegen herleiten. So gab etwa Donald E. Marshall im Jahre 1975 einen elementaren konstruktiven Beweis. Zuvor war im Jahre 1967 schon von Donald Erik Sarason gezeigt worden, dass der Pick–Nevanlinna'sche Interpolationssatz sich auch als Folgerung aus einem von Sarason vorgelegten – grundlegenden! – Theorem im Rahmen der Theorie der beschränkten Operatoren auf Hardy-Räumen ergibt.

Literatur Bearbeiten

  • Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1 (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Birkhäuser Verlag, Basel 1979, ISBN 978-3-0348-9376-3.
  • William F. Donoghue, Jr.: Monotone Matrix Functions and Analytic Continuation (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 207). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1974, ISBN 978-3-642-65757-3, doi:10.1007/978-3-642-65755-9 (MR0486556).
  • Donald E. Marshall: An elementary proof of the Pick-Nevanlinna interpolation theorem. In: Michigan Mathematical Journal. Band 21, 1975, S. 219–223 (MR0364649).
  • R. Nevanlinna: Über beschränkte Funktionen, die in gegebenen Punkten vorgeschriebene Werte annehmen. In: Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Series A. Band 13, 1919.
  • G. Pick: Über die Beschränkungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bewirkt werden. In: Mathematische Annalen. Band 77, 1916, S. 7–23.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Yutaka Yamamoto: From Vector Spaces to Function Spaces 2012, S. 196 ff.
  2. Yamamoto, op. cit., S. 198
  3. ↑ Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1. 1979, S. 215
  4. William F. Donoghue, Jr.: Monotone Matrix Functions and Analytic Continuation 1974, S. 34 ff.

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Yutaka Yamamoto, geboren am 29. März 1950 ist ein japanischer Mathematiker, der der vor allem auf den Gebieten der Systemtheorie und Kontrolltheorie arbeitet.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Pick Matrix ist ein mathematischer Begriff der in dem mathematischen Teilgebiet der Analysis Verwendung findet Hier bezeichnet man eine quadratische Matrix P p i j i 1 n j 1 n C n n displaystyle P p ij i 1 dotsc n j 1 dotsc n in mathbb C n times n als Pick Matrix wenn eine positive naturliche Zahl n displaystyle n und dazu n displaystyle n paarweise verschiedene komplexe Zahlen a i D i 1 n displaystyle a i in mathbb D i 1 dotsc n und weiter n displaystyle n komplexe Zahlen b i C i 1 n displaystyle b i in mathbb C i 1 dotsc n gegeben sind so dass das jeweilige i j displaystyle ij Element von P displaystyle P die Form p i j 1 b i b j 1 a i a j displaystyle p ij frac 1 overline b i b j 1 overline a i a j hat Der Begriff spielt eine wesentliche Rolle im Zusammenhang mit dem sogenannten Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna 1 Inhaltsverzeichnis 1 Interpolationsproblem 1 1 Interpolationssatz 2 Andere Definition 3 Erlauterungen 4 Literatur 5 Einzelnachweise 6 AnmerkungenInterpolationsproblem BearbeitenDas Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna oder auch Nevanlinna Pick Interpolationsproblem englisch Nevanlinna Pick interpolation problem geht auf wissenschaftliche Publikationen der beiden Mathematiker Georg Pick und Rolf Nevanlinna aus den Jahren 1916 bzw 1919 zuruck Es behandelt die folgende Fragestellung 2 3 Gegeben seien n displaystyle n nbsp paarweise verschiedene komplexe Zahlen a i D i 1 n displaystyle a i in mathbb D i 1 dotsc n nbsp und weiter n displaystyle n nbsp komplexe Zahlen b i C i 1 n displaystyle b i in mathbb C i 1 dotsc n nbsp Zu diesen Zahlen wird eine Funktion f H D displaystyle f in H infty mathbb D nbsp gesucht welche die folgenden beiden Nebenbedingungen erfullen soll i f a i b i i 1 n displaystyle f a i b i i 1 dotsc n nbsp ii f 1 displaystyle f infty leq 1 nbsp dd Interpolationssatz Bearbeiten Es gilt zu dem genannten Problem der folgende Interpolationssatz von Pick und Nevanlinna 1 3 Das Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna ist losbar genau dann wenn die zu diesen a i i 1 n displaystyle a i i 1 dotsc n nbsp und b i i 1 n displaystyle b i i 1 dotsc n nbsp gehorige Pick Matrix nichtnegativ definit ist Andere Definition BearbeitenIn einer im Jahre 1974 erschienenen Monographie von William F Donoghue Jr wird der Begriff der Pick Matrix in einer anderen Weise definiert 4 Hier bezeichnet man eine quadratische Matrix P p i j i 1 n j 1 n C n n displaystyle P p ij i 1 dotsc n j 1 dotsc n in mathbb C n times n nbsp als Pick Matrix wenn eine positive naturliche Zahl n displaystyle n nbsp sowie n displaystyle n nbsp komplexe Zahlen z i H i 1 n displaystyle z i in mathbb H i 1 dotsc n nbsp und weiter eine Funktion ϕ H C displaystyle phi colon mathbb H to mathbb C nbsp vorliegen so dass das jeweilige i j displaystyle ij nbsp Element von P displaystyle P nbsp die Form p i j ϕ z i ϕ z j z i z j displaystyle p ij frac phi z i overline phi z j z i overline z j nbsp hat Erlauterungen BearbeitenD z C z lt 1 displaystyle mathbb D z in mathbb C z lt 1 nbsp ist die offene Einheitskreisscheibe T z C z 1 displaystyle mathbb T z in mathbb C z 1 nbsp ist die Einheitskreislinie oder auch Kreisgruppe H D displaystyle H infty mathbb D nbsp ist der zu den beschrankten holomorphen Funktionen f D C displaystyle f colon mathbb D to mathbb C nbsp gehorige Hardy Raum H x i y C y gt 0 displaystyle mathbb H x iy in mathbb C y gt 0 nbsp ist die offene obere Halbebene Der Interpolationssatz von Pick und Nevanlinna lasst sich auf mehreren Wegen herleiten So gab etwa Donald E Marshall im Jahre 1975 einen elementaren konstruktiven Beweis Zuvor war im Jahre 1967 schon von Donald Erik Sarason gezeigt worden dass der Pick Nevanlinna sche Interpolationssatz sich auch als Folgerung aus einem von Sarason vorgelegten grundlegenden Theorem im Rahmen der Theorie der beschrankten Operatoren auf Hardy Raumen ergibt 3 Literatur BearbeitenRobert B Burckel An Introduction to Classical Complex Analysis Vol 1 Lehrbucher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften Mathematische Reihe Band 64 Birkhauser Verlag Basel 1979 ISBN 978 3 0348 9376 3 William F Donoghue Jr Monotone Matrix Functions and Analytic Continuation Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen Band 207 Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1974 ISBN 978 3 642 65757 3 doi 10 1007 978 3 642 65755 9 MR0486556 Donald E Marshall An elementary proof of the Pick Nevanlinna interpolation theorem In Michigan Mathematical Journal Band 21 1975 S 219 223 MR0364649 R Nevanlinna Uber beschrankte Funktionen die in gegebenen Punkten vorgeschriebene Werte annehmen In Annales Academiae Scientiarum Fennicae Series A Band 13 1919 G Pick Uber die Beschrankungen analytischer Funktionen welche durch vorgegebene Funktionswerte bewirkt werden In Mathematische Annalen Band 77 1916 S 7 23 Donald Sarason Generalized interpolation in H In Transactions of the American Mathematical Society Band 127 1967 S 179 203 Yutaka Yamamoto A 1 From Vector Spaces to Function Spaces Introduction to Functional Analysis with Applications Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia PA 2012 ISBN 978 1 61197 230 6 MR2985156 Einzelnachweise Bearbeiten a b Yutaka Yamamoto From Vector Spaces to Function Spaces 2012 S 196 ff Yamamoto op cit S 198 a b c Robert B Burckel An Introduction to Classical Complex Analysis Vol 1 1979 S 215 William F Donoghue Jr Monotone Matrix Functions and Analytic Continuation 1974 S 34 ff Anmerkungen Bearbeiten Yutaka Yamamoto geboren am 29 Marz 1950 ist ein japanischer Mathematiker der der vor allem auf den Gebieten der Systemtheorie und Kontrolltheorie arbeitet Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pick Matrix amp oldid 236930853