In der Mathematik ist die Pfeilschreibweise eine Methode die Donald E Knuth 1976 entwickelte um sehr grosse Zahlen zu schreiben Sie ist eng verwandt mit der Ackermannfunktion Die Idee basiert auf wiederholter Exponentiation ebenso wie Exponentiation eine wiederholte Multiplikation ist und die Multiplikation eine wiederholte Addition ist Inhaltsverzeichnis 1 Einfuhrung 2 Notation 3 Definition 4 Siehe auch 5 Literatur 6 WeblinksEinfuhrung BearbeitenDie Multiplikation einer naturlichen Zahl kann als wiederholte Addition definiert werden a b b b b a Kopien von b displaystyle begin matrix a cdot b amp amp underbrace b b dotsb b amp amp a mbox Kopien von b end matrix nbsp Zum Beispiel 3 2 2 2 2 6 3 Kopien von 2 displaystyle begin matrix 3 cdot 2 amp amp underbrace 2 2 2 amp amp 6 amp amp 3 mbox Kopien von 2 end matrix nbsp Eine naturliche Zahl als Exponent b displaystyle b nbsp kann als wiederholte Multiplikation definiert werden a b a b a a a b Kopien von a displaystyle begin matrix a uparrow b a b amp underbrace a cdot a cdot dotsm cdot a amp b mbox Kopien von a end matrix nbsp Zum Beispiel 3 2 3 2 3 3 9 2 Kopien von 3 displaystyle begin matrix 3 uparrow 2 3 2 amp underbrace 3 cdot 3 amp amp 9 amp 2 mbox Kopien von 3 end matrix nbsp Dies inspirierte Knuth dazu einen Doppelpfeil Operator fur wiederholte Exponenten zu definieren a b b a a a a a a a b Kopien von a b Kopien von a displaystyle begin matrix a uparrow uparrow b amp b a amp underbrace a a a amp amp underbrace a uparrow a uparrow dots uparrow a amp amp b mbox Kopien von a amp amp b mbox Kopien von a end matrix nbsp Zum Beispiel 3 2 2 3 3 3 3 3 27 2 Kopien von 3 2 Kopien von 3 displaystyle begin matrix 3 uparrow uparrow 2 amp 2 3 amp underbrace 3 3 amp amp underbrace 3 uparrow 3 amp amp 27 amp amp 2 mbox Kopien von 3 amp amp 2 mbox Kopien von 3 end matrix nbsp Dieser Operator ist rechtsassoziativ das heisst er wird von rechts nach links ausgewertet Nach dieser Definition ist 3 2 3 3 27 displaystyle 3 uparrow uparrow 2 3 3 27 nbsp 3 3 3 3 3 3 27 7 625 597 484 987 displaystyle 3 uparrow uparrow 3 3 3 3 3 27 7 625 597 484 987 nbsp 3 4 3 3 3 3 3 7 625 597 484 987 displaystyle 3 uparrow uparrow 4 3 3 3 3 3 7 625 597 484 987 nbsp um diese Zahl vollstandig als Binarzahl darzustellen wurden ungefahr 1 37 Tebibyte bzw 1 51 Terabyte benotigt werden namlich 7 625 597 484 987 log 3 log 2 displaystyle 7 625 597 484 987 cdot tfrac log 3 log 2 nbsp bits 3 5 3 3 3 3 3 3 3 7 625 597 484 987 displaystyle 3 uparrow uparrow 5 3 3 3 3 3 3 3 7 625 597 484 987 nbsp usw Dies fuhrt bereits zu einigen sehr grossen Zahlen aber Knuth erweiterte seine Notation noch Er fuhrte einen Dreifachpfeiloperator ein um wiederholte Anwendung des Doppelpfeils darzustellen a b a a a b Kopien von a displaystyle begin matrix a uparrow uparrow uparrow b amp underbrace a uparrow uparrow a uparrow uparrow dots uparrow uparrow a amp b mbox Kopien von a end matrix nbsp gefolgt von einem Vierfachpfeiloperator a b a a a b Kopien von a displaystyle begin matrix a uparrow uparrow uparrow uparrow b amp underbrace a uparrow uparrow uparrow a uparrow uparrow uparrow dots uparrow uparrow uparrow a amp b mbox Kopien von a end matrix nbsp und so weiter Die allgemeine Regel dazu lautet dass ein n displaystyle n nbsp fach Pfeiloperator zu einer b displaystyle b nbsp fachen Wiederholung eines n 1 displaystyle n 1 nbsp fachen Pfeiloperators wird a b a a a a a n n 1 n 1 n 1 b Kopien von a displaystyle begin matrix a underbrace uparrow uparrow dots uparrow b a underbrace uparrow dots uparrow a underbrace uparrow dots uparrow a dots a underbrace uparrow dots uparrow a quad n qquad underbrace quad n 1 quad n 1 qquad quad n 1 qquad qquad quad b mbox Kopien von a end matrix nbsp Beispiele 3 2 3 3 3 3 3 3 27 7 625 597 484 987 displaystyle 3 uparrow uparrow uparrow 2 3 uparrow uparrow 3 3 3 3 3 27 7 625 597 484 987 nbsp 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Kopien von 3 3 3 3 7 625 597 484 987 Kopien von 3 displaystyle begin matrix 3 uparrow uparrow uparrow 3 3 uparrow uparrow 3 uparrow uparrow 3 3 uparrow uparrow 3 uparrow 3 uparrow 3 amp underbrace 3 uparrow 3 uparrow dots uparrow 3 amp 3 uparrow 3 uparrow 3 mbox Kopien von 3 end matrix begin matrix amp underbrace 3 uparrow 3 uparrow dots uparrow 3 amp 7 625 597 484 987 mbox Kopien von 3 end matrix nbsp Notation BearbeitenIn Ausdrucken wie a b displaystyle a b nbsp wird in der Schreibweise der Exponent b displaystyle b nbsp fur gewohnlich hochgestellt gegenuber der Basis a displaystyle a nbsp Allerdings lassen viele Umgebungen beispielsweise Programmiersprachen und Klartexte wie E Mail solche zweidimensionalen Layouts nicht zu Man hat sich hier mit der Notation a b displaystyle a uparrow b nbsp beholfen Der Pfeil soll als Erhohung des Exponenten gelesen werden Lasst die Umgebung keinen Pfeil zu wird stattdessen der Zirkumflex genutzt Die hochgestellte Schreibweise a b displaystyle a b nbsp bietet sich nicht zu einer Verallgemeinerung an Deshalb hat Knuth die Pfeilnotation gewahlt die stattdessen in einer Zeile geschrieben werden kann In manchen Programmiersprachen wird das Zeichen fur einen anderen Operator verwendet beispielsweise in Python fur XOR Hier wird zuweilen als Alternative zum Pfeiloperator displaystyle uparrow nbsp genutzt wie dies auch in VHDL und Fortran der Fall ist Dabei kommt hier ebenfalls die wiederholte Schreibung zum Einsatz die eine wiederholte Anwendung des einzelnen Operators bedeuten soll Es ware also moglich als Aquivalent zum Doppelpfeil displaystyle uparrow uparrow nbsp zu nutzen dies ist allerdings nicht gebrauchlich Definition BearbeitenDie Pfeilnotation wird formal definiert durch a n b a b wenn n 0 a b wenn n 1 a wenn b 1 a n 1 a n b 1 sonst displaystyle a uparrow n b left begin matrix a cdot b amp mbox wenn n 0 a b amp mbox wenn n 1 a amp mbox wenn b 1 a uparrow n 1 a uparrow n b 1 amp mbox sonst end matrix right nbsp fur alle naturlichen Zahlen a b n displaystyle a b n nbsp fur die gilt b 1 n 0 displaystyle b geq 1 n geq 0 nbsp n displaystyle uparrow n nbsp bedeutet hier n displaystyle n nbsp nebeneinanderstehende Pfeile z B a 3 b a b displaystyle a uparrow 3 b a uparrow uparrow uparrow b nbsp Alle Pfeiloperatoren normale Exponentenschreibweise wird hierbei als a b displaystyle a uparrow b nbsp angesehen sind rechtsassoziative Operatoren das heisst bei mehreren Operatoren wird der Ausdruck von rechts nach links ausgewertet Zum Beispiel gilt allgemein a b c a b c displaystyle a uparrow b uparrow c a uparrow b uparrow c nbsp nicht a b c displaystyle a uparrow b uparrow c nbsp zum Beispiel3 3 3 3 3 displaystyle 3 uparrow uparrow 3 3 3 3 nbsp ist 3 3 3 3 27 7 625 597 484 987 displaystyle 3 3 3 3 27 7 625 597 484 987 nbsp nicht 3 3 3 27 3 19 683 displaystyle left 3 3 right 3 27 3 19 683 nbsp Fur diese Rechtsassoziativitat gibt es einen guten Grund Wurde von links nach rechts ausgewertet dann wurde a b displaystyle a uparrow uparrow b nbsp dasselbe ergeben wie a a b 1 displaystyle a uparrow a uparrow b 1 nbsp sodass displaystyle uparrow uparrow nbsp keinen neuen Operator ergeben wurde Siehe hierzu auch Potenzturm Die Definition kann auf wenige ganze Zahlen n lt 1 displaystyle n lt 1 nbsp erweitert werden So kann man zum Beispiel a 0 b a b displaystyle a uparrow 0 b a cdot b nbsp a 1 b a b displaystyle a uparrow 1 b a b nbsp und a 2 b b 1 displaystyle a uparrow 2 b b 1 nbsp setzen Vorsicht ist jedoch mit der Wahl der Anfangsbedingung fur b 1 displaystyle b 1 nbsp geboten denn es gilt dann anders als fur grossere n displaystyle n nbsp a 1 1 a 1 displaystyle a uparrow 1 1 a 1 nbsp und a 2 1 2 displaystyle a uparrow 2 1 2 nbsp Siehe auch BearbeitenSteinhaus Moser Notation Hyperoperator Verkettete Pfeilschreibweise Grahams ZahlLiteratur BearbeitenDonald E Knuth Coping With Finiteness In Science Band 194 Nr 4271 Dezember 1976 S 1235 1236 Guido Walz Red Pfeilnotation In Lexikon der Mathematik 4 Moo bis Sch Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2002 ISBN 3 8274 0436 3 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Knuth Up Arrow Notation In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pfeilschreibweise amp oldid 229422523
