Steinhaus Moser Notation Die ist eine Darstellungsweise für sehr große Zahlen Sie wurde 1950 1 von dem polnischen Mathem

Steinhaus-Moser-Notation

Die Steinhaus-Moser-Notation ist eine Darstellungsweise für sehr große Zahlen. Sie wurde 1950 von dem polnischen Mathematiker Hugo Steinhaus als Kreisnotation vorgeschlagen und später durch den Österreicher Leo Moser auf die Polygonnotation erweitert. Beide basieren auf der Notation hoher Potenzen durch geometrische Symbole.

Kreisnotation Bearbeiten

Das Symbol bezeichnet die Zahl . Dann steht für die Zahl „n in n ineinandergeschachtelten Dreiecken“ sowie für „n in n ineinandergeschachtelten Vierecken“.

Eine 2 im Viereck entspräche somit einer 2 in zwei ineinandergeschachtelten Dreiecken, also der Zahl

Doch bereits die Zahl ist mit dem gewöhnlichen Zahlensystem kaum mehr darstellbar, da die Exponenten der Zahl selbst ständig exponentiell anwachsen (jede neugebildete Zahl wird mit sich selbst potenziert, die hierdurch erzeugte Zahl wieder mit sich selbst und so weiter). Siehe hierzu auch den Abschnitt unten.

Polygonnotation Bearbeiten

Der Grundaufbau der Polygonnotation oder Vielecknotation ist derselbe wie der der Kreisnotation, nur folgt auf das Viereck nicht der Kreis als größtes Element, sondern es werden Fünf-, Sechs-, Siebenecke oder gar noch höhere angefügt. Damit sind noch deutlich größere Zahlen darstellbar. entspricht also n in n ineinandergeschachtelten Vierecken und ist äquivalent zu in der Kreisnotation.

Allgemein steht „ in einem -seitigen Polygon“ für „die Zahl n in n m-seitigen ineinandergeschachtelten Polygonen“.

Von Steinhaus und Moser benannte Zahlen Bearbeiten

ein Mega ist die Zahl, die einer 2 im Kreis (bzw. Fünfeck) entspricht ().
ein Megiston ist die Zahl, die einer 10 im Kreis (bzw. Fünfeck) entspricht ().
Mosers Zahl ist die Zahl, die einer 2 in einem Megagon, also einem Polygon mit Seiten, entspricht.

Alternative Notation Bearbeiten

sei die Zahl, die durch die Zahl n in m ineinandergeschachtelten p-seitigen Polygonen dargestellt wird. Damit gilt:

Mega Bearbeiten

entspricht einer Zwei in zwei Vierecken, also einer Zwei in zwei Dreiecken, die alle zusammen in einem Viereck sind. Das wiederum entspricht 256 in einem Viereck, also einer 256 in 256 ineinandergeschachtelten Dreiecken, also

Nach Auflösung des ersten Dreiecks ist mit der Zahl (in Worten: zweiunddreißig Billiarden Zentillionen) weiterzurechnen.

In Funktionenschreibweise könnte Mega wie folgt dargestellt werden:

Im Folgenden soll versucht werden, die Zahl Mega anzunähern:

Es ist anzumerken, dass nach den ersten Potenzierungsschritten der Wert von etwa gleich ist. Tatsächlich ist der Wert sogar ungefähr gleich . Es folgt:

Damit ist

Mosers Zahl Bearbeiten

Es konnte bewiesen werden, dass Mosers Zahl, obwohl sie selbst extrem groß ist, immer noch kleiner ist als Grahams Zahl.

Siehe auch Bearbeiten

Quellenangaben Bearbeiten

Steinhaus-Moser-Notation

Weblinks Bearbeiten

Über große Zahlen (englisch)
Sehr große Zahlen (englische Wikipedia)
Knuths Pfeilschreibweise (englische Wikipedia)

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 20:48 pm

Die Steinhaus Moser Notation ist eine Darstellungsweise fur sehr grosse Zahlen Sie wurde 1950 1 von dem polnischen Mathematiker Hugo Steinhaus als Kreisnotation vorgeschlagen und spater durch den Osterreicher Leo Moser auf die Polygonnotation erweitert Beide basieren auf der Notation hoher Potenzen durch geometrische Symbole Inhaltsverzeichnis 1 Kreisnotation 2 Polygonnotation 3 Von Steinhaus und Moser benannte Zahlen 4 Alternative Notation 5 Mega 6 Mosers Zahl 7 Siehe auch 8 Quellenangaben 9 WeblinksKreisnotation BearbeitenDas Symbol nbsp bezeichnet die Zahl n n displaystyle n n nbsp Dann steht nbsp fur die Zahl n in n ineinandergeschachtelten Dreiecken sowie nbsp fur n in n ineinandergeschachtelten Vierecken Eine 2 im Viereck entsprache somit einer 2 in zwei ineinandergeschachtelten Dreiecken also der Zahl 2 2 2 2 4 4 256 displaystyle left 2 2 right left 2 2 right 4 4 256 nbsp Doch bereits die Zahl nbsp ist mit dem gewohnlichen Zahlensystem kaum mehr darstellbar da die Exponenten der Zahl selbst standig exponentiell anwachsen jede neugebildete Zahl wird mit sich selbst potenziert die hierdurch erzeugte Zahl wieder mit sich selbst und so weiter Siehe hierzu auch den Abschnitt unten Polygonnotation BearbeitenDer Grundaufbau der Polygonnotation oder Vielecknotation ist derselbe wie der der Kreisnotation nur folgt auf das Viereck nicht der Kreis als grosstes Element sondern es werden Funf Sechs Siebenecke oder gar noch hohere angefugt Damit sind noch deutlich grossere Zahlen darstellbar nbsp entspricht also n in n ineinandergeschachtelten Vierecken und ist aquivalent zu nbsp in der Kreisnotation Allgemein steht n displaystyle n nbsp in einem m 1 displaystyle m 1 nbsp seitigen Polygon fur die Zahl n in n m seitigen ineinandergeschachtelten Polygonen Von Steinhaus und Moser benannte Zahlen Bearbeitenein Mega ist die Zahl die einer 2 im Kreis bzw Funfeck entspricht nbsp ein Megiston ist die Zahl die einer 10 im Kreis bzw Funfeck entspricht nbsp Mosers Zahl ist die Zahl die einer 2 in einem Megagon also einem Polygon mit nbsp Seiten entspricht Alternative Notation BearbeitenM n m p displaystyle M n m p nbsp sei die Zahl die durch die Zahl n in m ineinandergeschachtelten p seitigen Polygonen dargestellt wird Damit gilt M n 1 3 n n displaystyle M n 1 3 n n nbsp M n 1 p 1 M n n p displaystyle M n 1 p 1 M n n p nbsp M n m 1 p M M n 1 p m p displaystyle M n m 1 p M M n 1 p m p nbsp M e g a M 2 1 5 M 256 256 3 displaystyle mathrm Mega M 2 1 5 M 256 256 3 nbsp M o s e r M 2 1 M 2 1 5 displaystyle mathrm Moser M 2 1 M 2 1 5 nbsp Mega Bearbeiten nbsp entspricht einer Zwei in zwei Vierecken also einer Zwei in zwei Dreiecken die alle zusammen in einem Viereck sind Das wiederum entspricht 256 in einem Viereck also einer 256 in 256 ineinandergeschachtelten Dreiecken also 256 256 256 256 256 256 256 256 256 256 256 256 256 256 256 256 displaystyle left left left 256 256 right left 256 256 right right left left 256 256 right left 256 256 right right right left left left 256 256 right left 256 256 right right left left 256 256 right left 256 256 right right right ldots nbsp Dies ist erst die Darstellung nach Auflosung des vierten der 256 Dreiecke Nach Auflosung des ersten Dreiecks ist mit der Zahl 3 2 10 616 displaystyle 3 2 cdot 10 616 nbsp in Worten zweiunddreissig Billiarden Zentillionen weiterzurechnen In Funktionenschreibweise konnte Mega wie folgt dargestellt werden f x x x displaystyle f x x x nbsp M e g a f 256 256 f 258 2 displaystyle mathrm Mega f 256 256 f 258 2 nbsp Die hochgestellten Zahlen stehen fur die Komposition von Abbildungen f wird 256 mal mit sich selbst verknupft Im Folgenden soll versucht werden die Zahl Mega anzunahern Es ist anzumerken dass nach den ersten Potenzierungsschritten der Wert von n n displaystyle n n nbsp etwa gleich 256 n displaystyle 256 n nbsp ist Tatsachlich ist der Wert sogar ungefahr gleich 10 n displaystyle 10 n nbsp Es folgt M 256 1 3 3 23 10 616 displaystyle M 256 1 3 approx 3 23 cdot 10 616 nbsp M 256 2 3 10 1 99 10 619 displaystyle M 256 2 3 approx 10 1 99 cdot 10 619 nbsp log 10 616 displaystyle log 10 616 nbsp wird zu den 616 hinzugefugt M 256 3 3 10 10 1 99 10 619 displaystyle M 256 3 3 approx 10 10 1 99 cdot 10 619 nbsp 619 displaystyle 619 nbsp wird der 1 99 10 619 displaystyle 1 99 cdot 10 619 nbsp hinzugefugt und ist vernachlassigbar Dafur wird eine 10 an der Basis hinzugefugt M 256 4 3 10 10 10 1 99 10 619 displaystyle M 256 4 3 approx 10 10 10 1 99 cdot 10 619 nbsp M e g a M 256 256 3 10 255 1 99 10 619 displaystyle mathrm Mega M 256 256 3 approx 10 uparrow 255 1 99 cdot 10 619 nbsp wobei 10 255 displaystyle 10 uparrow 255 nbsp fur eine Komposition der Funktion f n 10 n displaystyle f n 10 n nbsp steht Damit ist 10 257 lt M e g a lt 10 258 displaystyle 10 uparrow uparrow 257 lt mathrm Mega lt 10 uparrow uparrow 258 nbsp Mosers Zahl BearbeitenEs konnte bewiesen werden dass Mosers Zahl obwohl sie selbst extrem gross ist immer noch kleiner ist als Grahams Zahl Siehe auch BearbeitenZahlennamen Ackermannfunktion Pfeilschreibweise Verkettete PfeilschreibweiseQuellenangaben Bearbeiten Steinhaus Moser NotationWeblinks BearbeitenUber grosse Zahlen englisch Sehr grosse Zahlen englische Wikipedia Knuths Pfeilschreibweise englische Wikipedia Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Steinhaus Moser Notation amp oldid 198391946