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Pfadordnung ist eine in der theoretischen Physik gebräuchliche mathematische Operation gekennzeichnet durch den soperato

Pfadordnung

Pfadordnung ist eine in der theoretischen Physik gebräuchliche mathematische Operation, gekennzeichnet durch den Pfadordnungsoperator . Pfadordnung erlaubt die Verallgemeinerung bestimmter Reihenentwicklungen auf nichtkommutative algebraische Strukturen, wie sie in der Quantentheorie und Quantenfeldtheorie auftreten. Grob gesprochen entsteht durch die fehlende Vertauschbarkeit der Operatoren in Produkten eine natürliche „Ordnung“, die kompakt durch Pfadordnung ausgedrückt werden kann.

In nichtrelativistischen Theorien ist insbesondere Zeitordnung, d. h. Pfadordnung nach dem Parameter Zeit, von Bedeutung. Diese wird durch den Zeitordnungsoperator oder gekennzeichnet.

Der Pfadordnungsoperator (und damit auch der Zeitordnungsoperator) ist kein linearer Operator und wird deshalb manchmal auch als „Meta-Operator“ oder „Symbol“ bezeichnet.

Definition Bearbeiten

Für ein Produkt von linearen Operatoren , die von einem Parameter abhängen, ist das pfadgeordnete Produkt als jene Permutation der Faktoren definiert

sodass die Operatoren nach dem Wert der Parameter geordnet auftreten:

Tritt ein Parameterwert mehrfach auf, so ist die Pfadordnung nicht definiert. Da bei pfadgeordneten Produkten aber in der Regel über den Parameter integriert wird, verschwindet das Maß solcher Punkte. Das Vorzeichen ist für Bosonen immer +1, für Fermionen gleich dem Vorzeichen der Permutation (+1 falls die Anzahl an Vertauschungen gerade ist, ansonsten −1).

Beispiel: Kausale Greensche Funktion Bearbeiten

In der theoretischen Festkörperphysik ist die kausale Greensche Funktion von Bedeutung, die die Propagation eines Elektrons bzw. eines Loches in der Zeit angibt. In zweiter Quantisierung lässt sich diese Funktion mit Hilfe der Zeitordnung kompakt anschreiben:

Pfadgeordnetes Exponential Bearbeiten

Häufig tritt Zeitordnung innerhalb einer Reihenentwicklung auf. Hier hat sich die zeitgeordnete Exponentialfunktion eingebürgert:

Dies lässt sich auf beliebige Funktionen des Operators verallgemeinern.

Referenzen Bearbeiten

  • Alexandre M. Zagoskin: Quantum Theory of Many-Body Systems. In: Graduate Texts in Contemporary Physics. Springer, New York, NY 1998, ISBN 978-1-4612-6831-4, S. 24.
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Pfadordnung ist eine in der theoretischen Physik gebrauchliche mathematische Operation gekennzeichnet durch den Pfadordnungsoperator P displaystyle mathcal P Pfadordnung erlaubt die Verallgemeinerung bestimmter Reihenentwicklungen auf nichtkommutative algebraische Strukturen wie sie in der Quantentheorie und Quantenfeldtheorie auftreten Grob gesprochen entsteht durch die fehlende Vertauschbarkeit der Operatoren in Produkten eine naturliche Ordnung die kompakt durch Pfadordnung ausgedruckt werden kann In nichtrelativistischen Theorien ist insbesondere Zeitordnung d h Pfadordnung nach dem Parameter Zeit von Bedeutung Diese wird durch den Zeitordnungsoperator T displaystyle mathcal T oder T displaystyle T gekennzeichnet Der Pfadordnungsoperator und damit auch der Zeitordnungsoperator ist kein linearer Operator und wird deshalb manchmal auch als Meta Operator oder Symbol bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Beispiel Kausale Greensche Funktion 2 Pfadgeordnetes Exponential 3 ReferenzenDefinition BearbeitenFur ein Produkt von linearen Operatoren O i x i displaystyle O i x i nbsp die von einem Parameter x displaystyle x nbsp abhangen ist das pfadgeordnete Produkt als jene Permutation p displaystyle pi nbsp der Faktoren definiert P O 1 O 2 O n 1 p O p 1 O p 2 O p n displaystyle mathcal P O 1 O 2 cdots O n pm 1 pi O pi 1 O pi 2 cdots O pi n nbsp sodass die Operatoren nach dem Wert der Parameter geordnet auftreten x p 1 gt x p 2 gt gt x p n displaystyle x pi 1 gt x pi 2 gt cdots gt x pi n nbsp Tritt ein Parameterwert mehrfach auf so ist die Pfadordnung nicht definiert Da bei pfadgeordneten Produkten aber in der Regel uber den Parameter integriert wird verschwindet das Mass solcher Punkte Das Vorzeichen ist fur Bosonen immer 1 fur Fermionen gleich dem Vorzeichen der Permutation 1 falls die Anzahl an Vertauschungen gerade ist ansonsten 1 Beispiel Kausale Greensche Funktion Bearbeiten In der theoretischen Festkorperphysik ist die kausale Greensche Funktion G t t displaystyle G t t prime nbsp von Bedeutung die die Propagation eines Elektrons t gt t displaystyle t gt t prime nbsp bzw eines Loches t lt t displaystyle t lt t prime nbsp in der Zeit angibt In zweiter Quantisierung lasst sich diese Funktion mit Hilfe der Zeitordnung kompakt anschreiben G t t i T ps t ps t i ps t ps t t gt t i ps t ps t t lt t displaystyle G t t prime mathrm i left langle mathcal T psi t psi dagger t prime right rangle begin cases mathrm i left langle psi t psi dagger t prime right rangle amp t gt t prime mathrm i left langle psi dagger t prime psi t right rangle amp t lt t prime end cases nbsp Pfadgeordnetes Exponential BearbeitenHaufig tritt Zeitordnung innerhalb einer Reihenentwicklung auf Hier hat sich die zeitgeordnete Exponentialfunktion eingeburgert T exp 0 t d t A t n 0 1 n 0 t d n t T A t 1 A t 2 A t n n 0 0 t d t 1 0 t 1 d t 2 0 t n 1 d t n A t 1 A t 2 A t n displaystyle begin aligned mathcal T exp left int 0 t d tau A tau right amp sum n 0 infty frac 1 n iint cdots int 0 t d n tau mathcal T left A tau 1 A tau 2 cdots A tau n right amp sum n 0 infty int 0 t d tau 1 int 0 tau 1 d tau 2 cdots int 0 tau n 1 d tau n A tau 1 A tau 2 cdots A tau n end aligned nbsp Dies lasst sich auf beliebige Funktionen des Operators verallgemeinern Referenzen BearbeitenAlexandre M Zagoskin Quantum Theory of Many Body Systems In Graduate Texts in Contemporary Physics Springer New York NY 1998 ISBN 978 1 4612 6831 4 S 24 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pfadordnung amp oldid 183544130