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Ortsgröße Die kann durch verschiedene Charakteristika bestimmt werden Fläche Anzahl Gebäude etc In der Regel jedoch wird

Ortsgröße

Die Ortsgröße kann durch verschiedene Charakteristika bestimmt werden (Fläche, Anzahl Gebäude etc.). In der Regel jedoch wird nach Einwohnerzahl unterschieden und in Deutschland nach Städten und Gemeinden differenziert.

Mathematische Modellierung

Für die mathematische Modellierung der Ortsgröße sei die Einwohnerzahl des k-ten Ortes als bezeichnet. Der Anteil der Einwohnerzahl des Ortes an der Gesamteinwohnerzahl eines Landes ist gegeben durch:

Die Größe eines Ortes hängt davon ab, wie stark der Anteil im Laufe der Zeit wächst. Das Wachstum eines Ortes wird im Wesentlichen durch zwei Prozesse bestimmt. Einerseits verändert sich die Ortsgröße durch die Geburt und den Tod von Einwohnern. Andererseits kann sie durch Ereignisse, wie den Zuzug und Wegzug von Einwohnern variieren. Betrachtet man diese Ereignisse als zufällig, so ist die Anzahl von Geburts- oder Todesereignissen pro Zeitspanne umso höher, je größer ein Ort ist. Gleichfalls gilt, dass in erster Näherung auch die Anzahl von Zu- und die Abwanderungsereignissen eines Ortes proportional zu dessen Größe ist (Die Entstehung eines neuen Ortes wird als seltenes Ereignis betrachtet und hier nicht explizit berücksichtigt). Das Wachstum der Einwohnerzahl des k-ten Ortes kann daher als

geschrieben werden, wobei die Wachstumsrate der Einwohnerzahl des k-ten Ortes ist. Die gleichen Prozesse, die zum Wachstum eines Ortes führen, bestimmen auch das Wachstum der Gesamteinwohnerzahl eines Landes. Die Gesamteinwohnerzahl wächst mit

wobei die mittlere Wachstumsrate der Einwohnerzahl eines Landes ist. Sie wird durch die anteilige Summe über alle Orte bestimmt:

Berechnet man nun die zeitliche Ableitung des Anteils eines Ortes an der Gesamteinwohnerzahl (erste Gleichung), so ergibt sich:

Durch Einsetzen der obigen Gleichungen für und erhält man:

Dies ist eine sogenannte Replikatorgleichung. Sie bestimmt die zeitliche Entwicklung der Ortsgröße und besagt, dass sich Orte in Konkurrenz um Einwohner befinden. Die Wachstumsrate (sogenannte Fitness) bestimmt den Wachstumserfolg. Eine hohe Fitness ist generell daran gekoppelt, dass mehr Einwohner geboren werden als sterben und mehr Menschen in einen Ort ziehen als davon weg.

Die Verteilung der Ortsgröße

Die Wachstumsrate eines Ortes hängt von vielen Faktoren ab, die sich zeitlich ändern können. Um eine hohe Wachstumsrate zu erzielen, kann ein Ort beispielsweise dafür sorgen, dass gute Bedingungen für das Aufziehen von Kindern geschaffen werden. Wesentlich für den Zuzug (Wegzug) von Einwohnern sind wirtschaftliche, kulturelle und soziale Faktoren, dessen zeitliche Veränderungen zu Fluktuationen der Wachstumsrate führen. Die Replikatorgleichung besagt jedoch, dass Nachteile im Wachstum eines Ortes Vorteile für andere Orte bedeuten können. Zwar kann die Größe eines Ortes im Laufe der Zeit variieren, die Verteilung der Ortsgröße bleibt jedoch relativ stabil. Um diese zu ermitteln, sei die Differenz aus den Replikatorgleichungen der Stadt mit der höchsten mittleren Wachstumsrate und dem Anteil , und einem beliebigen Ort mit dem Index gebildet:

mit . Um die zeitlichen Änderungen der Wachstumsraten zu berücksichtigen kann man als eine fluktuierende Größe der Form

schreiben. In dieser Gleichung ist die mittlere Differenz der Wachstumsraten der Orte in Bezug auf die größte Wachstumsrate über den betrachteten Zeitraum und eine im Mittel verschwindende fluktuierende Größe, die durch zufällige voneinander unabhängige Ereignisse bestimmt ist. Damit lässt sich die obige Gleichung umformen zu:

wobei zur Vereinfachung der Schreibweise der Index weggelassen wird. Es sei berücksichtigt, dass die Differenz in der Regel sehr klein ist, also mit . Das charakteristische Wachstum eines Ortes hängt damit wesentlich von der Größe ab. Für kleine Orte mit einem Anteil kann nämlich der erste Term in der obigen Gleichung vernachlässigt werden, denn er ist sehr klein von der Größenordnung . Die Replikatorgleichung reduziert sich für kleine Orte auf

Dies ist eine sogenannte Langevin-Gleichung, die ein multiplikatives Wachstum der Einwohnerzahl beschreibt (Gibrat’s Gesetz). Unter der Annahme, dass durch weißes Rauschen beschrieben werden kann, ist die Größenverteilung kleiner Orte aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes durch eine Lognormalverteilung gegeben:

mit den freien Parametern und . Für große Orte muss man jedoch den Term mitberücksichtigen. Um die daraus folgende Veränderung der Größenverteilung zu bestimmen, führt man neue Variable ein. Es sei:

und

Durch Einsetzen erhält man:

Diese Form einer Langevingleichung ist aus der Diffusion Brownscher Teilchen bekannt. Sie beschreibt eine fluktuierende Größe in einem Potential . Die Verteilungsfunktion wird über einen längeren Zeitraum durch eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung beschrieben:

Dabei ist die Rauschamplitude der stochastischen Funktion und

Durch Einsetzen der ursprünglichen Variablen erhält man:

Die Integration liefert schließlich eine Pareto-Verteilung (power-law-Verteilung) der Form

mit dem Pareto-Exponenten . Die Verteilung großer Orte mit wird also nach genügend langer Zeit durch ein Potenzgesetz beschrieben. Für große Städte ist bekannt, dass sie in eine Zipf-Verteilung mit übergeht.

Die Verteilung der Ortsgröße ist daher eine Lognormalverteilung für kleine Orte und einer Pareto-Verteilung für große Orte (Städte), wie sie auch in empirischen Untersuchungen gefunden wird. Die Theorie besagt, dass große Orte einen Wachstumsvorteil allein durch ihre Größe haben. Dieser sogenannte Skaleneffekt kommt zustande, weil große Orte mehr vom Wachstum der Einwohnerzahl eines Landes profitieren können als kleine Orte. Kleine Orte laufen dagegen Gefahr, bereits durch minimale Fluktuationen (aufgrund geringer Geburtenzahlen und schlechter wirtschaftlicher Bedingungen) komplett zu verschwinden.

Orte nach Größe

Siehe auch die Liste der Groß- und Mittelstädte in Deutschland.

Literatur

  • X. Gabaix, Y. Ioannides: The evolution of city size distributions in: Handbook of Regional and Urban Economics, V. Henderson and J. Thisse, Eds., vol. 4, North-Holland, Amsterdam 2004.
  • Empirische Verteilung der Ortsgrößen. J. Eeckhout, „Gibrat’s law for (all) cities“ The American Economic Review, vol. 94, no. 5, S. 1429–1451, 2004. Online
  • Joachim Kaldasch: Evolutionary Model of the City Size Distribution, ISRN Economics, Article ID 498125, 2014 Online.

Einzelnachweise

  1. Edwin L. Crow, Kunio Shimizu: Lognormal distributions : theory and applications. M. Dekker, New York 1988, ISBN 0-8247-7803-0.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Ortsgrosse kann durch verschiedene Charakteristika bestimmt werden Flache Anzahl Gebaude etc In der Regel jedoch wird nach Einwohnerzahl unterschieden und in Deutschland nach Stadten und Gemeinden differenziert Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Modellierung 2 Die Verteilung der Ortsgrosse 3 Orte nach Grosse 4 Literatur 5 EinzelnachweiseMathematische Modellierung BearbeitenFur die mathematische Modellierung der Ortsgrosse sei die Einwohnerzahl des k ten Ortes als N k displaystyle N k bezeichnet Der Anteil der Einwohnerzahl des Ortes an der Gesamteinwohnerzahl eines Landes N N ist gegeben durch m k N k N displaystyle begin aligned m k amp frac N k N end aligned Die Grosse eines Ortes hangt davon ab wie stark der Anteil m k m k im Laufe der Zeit wachst Das Wachstum eines Ortes wird im Wesentlichen durch zwei Prozesse bestimmt Einerseits verandert sich die Ortsgrosse durch die Geburt und den Tod von Einwohnern Andererseits kann sie durch Ereignisse wie den Zuzug und Wegzug von Einwohnern variieren Betrachtet man diese Ereignisse als zufallig so ist die Anzahl von Geburts oder Todesereignissen pro Zeitspanne umso hoher je grosser ein Ort ist Gleichfalls gilt dass in erster Naherung auch die Anzahl von Zu und die Abwanderungsereignissen eines Ortes proportional zu dessen Grosse ist Die Entstehung eines neuen Ortes wird als seltenes Ereignis betrachtet und hier nicht explizit berucksichtigt Das Wachstum der Einwohnerzahl des k ten Ortes kann daher als d N k d t a k N k displaystyle begin aligned frac dN k dt amp alpha k N k end aligned geschrieben werden wobei a k alpha k die Wachstumsrate der Einwohnerzahl des k ten Ortes ist Die gleichen Prozesse die zum Wachstum eines Ortes fuhren bestimmen auch das Wachstum der Gesamteinwohnerzahl eines Landes Die Gesamteinwohnerzahl wachst mit d N d t a N displaystyle begin aligned frac dN dt amp alpha N end aligned wobei a alpha die mittlere Wachstumsrate der Einwohnerzahl eines Landes ist Sie wird durch die anteilige Summe uber alle Orte bestimmt a S a k m k displaystyle begin aligned alpha amp Sigma alpha k m k end aligned Berechnet man nun die zeitliche Ableitung des Anteils eines Ortes an der Gesamteinwohnerzahl erste Gleichung so ergibt sich d m k d t 1 N d N k d t N k N 2 d N d t displaystyle begin aligned frac dm k dt amp frac 1 N frac dN k dt frac N k N 2 frac dN dt end aligned Durch Einsetzen der obigen Gleichungen fur d N k d t displaystyle tfrac dN k dt und d N d t displaystyle tfrac dN dt erhalt man d m k d t a k a m k displaystyle begin aligned frac dm k dt amp alpha k alpha m k end aligned Dies ist eine sogenannte Replikatorgleichung Sie bestimmt die zeitliche Entwicklung der Ortsgrosse und besagt dass sich Orte in Konkurrenz um Einwohner befinden Die Wachstumsrate a k displaystyle alpha k sogenannte Fitness bestimmt den Wachstumserfolg Eine hohe Fitness ist generell daran gekoppelt dass mehr Einwohner geboren werden als sterben und mehr Menschen in einen Ort ziehen als davon weg Die Verteilung der Ortsgrosse BearbeitenDie Wachstumsrate eines Ortes hangt von vielen Faktoren ab die sich zeitlich andern konnen Um eine hohe Wachstumsrate zu erzielen kann ein Ort beispielsweise dafur sorgen dass gute Bedingungen fur das Aufziehen von Kindern geschaffen werden Wesentlich fur den Zuzug Wegzug von Einwohnern sind wirtschaftliche kulturelle und soziale Faktoren dessen zeitliche Veranderungen zu Fluktuationen der Wachstumsrate a k displaystyle alpha k fuhren Die Replikatorgleichung besagt jedoch dass Nachteile im Wachstum eines Ortes Vorteile fur andere Orte bedeuten konnen Zwar kann die Grosse eines Ortes im Laufe der Zeit variieren die Verteilung der Ortsgrosse f m displaystyle f m bleibt jedoch relativ stabil Um diese zu ermitteln sei die Differenz aus den Replikatorgleichungen der Stadt mit der hochsten mittleren Wachstumsrate a 0 displaystyle alpha 0 und dem Anteil m 0 m 0 und einem beliebigen Ort mit dem Index k k gebildet d ln m k d t d ln m 0 d t a k a 0 D a k displaystyle begin aligned frac mathrm d ln m k mathrm d t frac mathrm d ln m 0 mathrm d t amp alpha k alpha 0 Delta alpha k end aligned mit D a k gt 0 displaystyle Delta alpha k gt 0 Um die zeitlichen Anderungen der Wachstumsraten zu berucksichtigen kann man D a k displaystyle Delta alpha k als eine fluktuierende Grosse der FormD a k D a x k displaystyle Delta alpha k Delta alpha chi k schreiben In dieser Gleichung ist D a displaystyle Delta alpha die mittlere Differenz der Wachstumsraten der Orte in Bezug auf die grosste Wachstumsrate uber den betrachteten Zeitraum und x k chi k eine im Mittel verschwindende fluktuierende Grosse die durch zufallige voneinander unabhangige Ereignisse bestimmt ist Damit lasst sich die obige Gleichung umformen zu d d t m m 0 D a x m m 0 displaystyle begin aligned frac d dt left frac m m 0 right amp Delta alpha chi frac m m 0 end aligned wobei zur Vereinfachung der Schreibweise der Index weggelassen wird Es sei berucksichtigt dass die Differenz D a displaystyle Delta alpha in der Regel sehr klein ist also D a ϵ displaystyle Delta alpha sim epsilon mit ϵ 1 displaystyle epsilon ll 1 Das charakteristische Wachstum eines Ortes hangt damit wesentlich von der Grosse ab Fur kleine Orte mit einem Anteil m m 0 lt ϵ displaystyle tfrac m m 0 lt epsilon kann namlich der erste Term in der obigen Gleichung vernachlassigt werden denn er ist sehr klein von der Grossenordnung ϵ 2 displaystyle epsilon 2 Die Replikatorgleichung reduziert sich fur kleine Orte auf d d t m m 0 x m m 0 displaystyle begin aligned frac d dt left frac m m 0 right amp chi frac m m 0 end aligned Dies ist eine sogenannte Langevin Gleichung die ein multiplikatives Wachstum der Einwohnerzahl beschreibt Gibrat s Gesetz 1 Unter der Annahme dass x chi durch weisses Rauschen beschrieben werden kann ist die Grossenverteilung kleiner Orte aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes durch eine Lognormalverteilung gegeben f m 1 2 p s m m 0 exp ln m m 0 m 2 2 s 2 m gt 0 0 m 0 displaystyle f 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ist daher eine Lognormalverteilung fur kleine Orte und einer Pareto Verteilung fur grosse Orte Stadte wie sie auch in empirischen Untersuchungen gefunden wird Die Theorie besagt dass grosse Orte einen Wachstumsvorteil allein durch ihre Grosse haben Dieser sogenannte Skaleneffekt kommt zustande weil grosse Orte mehr vom Wachstum der Einwohnerzahl eines Landes profitieren konnen als kleine Orte Kleine Orte laufen dagegen Gefahr bereits durch minimale Fluktuationen aufgrund geringer Geburtenzahlen und schlechter wirtschaftlicher Bedingungen komplett zu verschwinden Orte nach Grosse BearbeitenSiehe auch die Liste der Gross und Mittelstadte in Deutschland Literatur BearbeitenX Gabaix Y Ioannides The evolution of city size distributions in Handbook of Regional and Urban Economics V Henderson and J Thisse Eds vol 4 North Holland Amsterdam 2004 Empirische Verteilung der Ortsgrossen J Eeckhout Gibrat s law for all cities The American Economic Review vol 94 no 5 S 1429 1451 2004 Online Joachim Kaldasch Evolutionary Model of the City Size Distribution ISRN Economics Article ID 498125 2014 Online Einzelnachweise Bearbeiten Edwin L Crow Kunio Shimizu Lognormal distributions theory and applications M Dekker New York 1988 ISBN 0 8247 7803 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ortsgrosse amp oldid 234507961