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Replikatorgleichungen sind nichtlineare Differentialgleichungen zur Beschreibung der Dynamik einer Population in der sic

Replikatorgleichungen

Replikatorgleichungen sind nichtlineare Differentialgleichungen zur Beschreibung der Dynamik einer Population, in der sich erfolgreiche Individuen schneller vermehren als weniger erfolgreiche Individuen. Sie zählen zu den Grundgleichungen der Evolutionären Spieltheorie und werden in der Theoretischen Biologie sowie in der Evolutionären Psychologie verwendet, um z. B. Verhaltensmuster bei Tieren bzw. Menschen als eine Folge von Selektion zu erklären.

Das Konzept der Replikatorgleichungen wurde 1978 eingeführt, um die Dynamik zu modellieren, die zu einem evolutionär stabilen Zustand führt. Diese Gleichgewichtszustände der Replikatorgleichungen sind ähnlich, aber nicht identisch, mit dem Konzept der evolutionär stabilen Strategie (ESS). Das zugrundeliegende Modell ist eine Population unendlich vieler Individuen, welche sich auf verschiedene Typen verteilen. Wie schnell sich die Individuen eines Typs reproduzieren, hängt von der Fitness des Typs ab. Meist ist diese Fitness nicht konstant, sondern ergibt sich aus der Interaktion mit den anderen Individuen. Dabei wird davon ausgegangen, dass jedes Individuum mit jedem anderen Individuum interagiert (Mean-Field Näherung). Diese Näherung lässt sich dadurch rechtfertigen, dass Interaktion und Reproduktion in der Regel auf verschiedenen Zeitskalen stattfinden, das heißt, dass jedes Individuum mit vielen anderen interagiert, bevor es sich reproduziert.

Gleichungen Bearbeiten

In einer relativ allgemeinen Form sind stetige Replikatorgleichungen von der Form

mit der Anteil einer Replikatorspezies vom Typ in der Gesamtpopulation, Verteilungsvektor, Fitness von Replikatortyp und durchschnittliche Fitness .

Eine häufig zur Modellvereinfachung gemachte Annahme ist, dass die Fitness linear von der Zusammensetzung der Replikatorpopulation abhängt:

dabei enthält die Payoff-Matrix die Fitnessinformation für die Population: der zu erwartende Payoff kann geschrieben werden als und die mittlere Fitness der Gesamtpopulation als .

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Eine Verallgemeinerung der Replikatorgleichungen, die Mutationen berücksichtigt, stellen Replikator-Mutator-Gleichungen dar:

hier gibt die Matrix die mutationsbedingten Übergangswahrscheinlichkeiten der Replikatortypen nach an.

Literatur Bearbeiten

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  • I. M. Bomze: Lotka-Volterra equations and replicator dynamics: New issues in classification. In: Biol. Cybern. Band 72, 1995, S. 447–453.
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  • J. Hofbauer, K. Sigmund: Evolutionary game dynamics. In: Bull. Am. Math. Soc. Band 40, 2003, S. 479–519.
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  • M. Nowak, K. Page: Unifying Evolutionary Dynamics. In: Journal of Theoretical Biology. Band 219, 2002, S. 93–98.
  • M. Nowak: Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life Belknap Press, 2006.

Nachweise Bearbeiten

  1. P. Taylor, L. Jonker: Evolutionary stable strategies and game dynamics. In: Mathematical Biosciences. Band 40, Nr. 1-2, 1978, S. 145–156.
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Replikatorgleichungen sind nichtlineare Differentialgleichungen zur Beschreibung der Dynamik einer Population in der sich erfolgreiche Individuen schneller vermehren als weniger erfolgreiche Individuen Sie zahlen zu den Grundgleichungen der Evolutionaren Spieltheorie und werden in der Theoretischen Biologie sowie in der Evolutionaren Psychologie verwendet um z B Verhaltensmuster bei Tieren bzw Menschen als eine Folge von Selektion zu erklaren Das Konzept der Replikatorgleichungen wurde 1978 eingefuhrt 1 um die Dynamik zu modellieren die zu einem evolutionar stabilen Zustand fuhrt Diese Gleichgewichtszustande der Replikatorgleichungen sind ahnlich aber nicht identisch mit dem Konzept der evolutionar stabilen Strategie ESS Das zugrundeliegende Modell ist eine Population unendlich vieler Individuen welche sich auf verschiedene Typen verteilen Wie schnell sich die Individuen eines Typs reproduzieren hangt von der Fitness des Typs ab Meist ist diese Fitness nicht konstant sondern ergibt sich aus der Interaktion mit den anderen Individuen Dabei wird davon ausgegangen dass jedes Individuum mit jedem anderen Individuum interagiert Mean Field Naherung Diese Naherung lasst sich dadurch rechtfertigen dass Interaktion und Reproduktion in der Regel auf verschiedenen Zeitskalen stattfinden das heisst dass jedes Individuum mit vielen anderen interagiert bevor es sich reproduziert Inhaltsverzeichnis 1 Gleichungen 2 Verallgemeinerungen 3 Literatur 4 NachweiseGleichungen BearbeitenIn einer relativ allgemeinen Form sind stetige Replikatorgleichungen von der Form x i x i f i x ϕ x ϕ x i 1 n x i f i x displaystyle dot x i x i f i x phi x quad phi x sum i 1 n x i f i x nbsp mit x i displaystyle x i nbsp der Anteil einer Replikatorspezies vom Typ i displaystyle i nbsp in der Gesamtpopulation x x 1 x n displaystyle x x 1 ldots x n nbsp Verteilungsvektor f i x displaystyle f i x nbsp Fitness von Replikatortyp i displaystyle i nbsp und ϕ x displaystyle phi x nbsp durchschnittliche Fitness Eine haufig zur Modellvereinfachung gemachte Annahme ist dass die Fitness linear von der Zusammensetzung der Replikatorpopulation abhangt x i x i A x i x T A x displaystyle dot x i x i left left Ax right i x T Ax right nbsp dabei enthalt die Payoff Matrix A displaystyle A nbsp die Fitnessinformation fur die Population der zu erwartende Payoff kann geschrieben werden als A x i displaystyle left Ax right i nbsp und die mittlere Fitness der Gesamtpopulation als x T A x displaystyle x T Ax nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenEine Verallgemeinerung der Replikatorgleichungen die Mutationen berucksichtigt stellen Replikator Mutator Gleichungen dar x i j 1 n x j f j x Q j i ϕ x x i displaystyle dot x i sum j 1 n x j f j x Q ji phi x x i nbsp hier gibt die Matrix Q displaystyle Q nbsp die mutationsbedingten Ubergangswahrscheinlichkeiten der Replikatortypen j displaystyle j nbsp nach i displaystyle i nbsp an Literatur BearbeitenI M Bomze Lotka Volterra equations and replicator dynamics A two dimensional classification In Biol Cybern Band 48 1983 S 201 211 I M Bomze Lotka Volterra equations and replicator dynamics New issues in classification In Biol Cybern Band 72 1995 S 447 453 R Cressman Evolutionary Dynamics and Extensive Form Games The MIT Press 2003 J Hofbauer K Sigmund Evolutionary game dynamics In Bull Am Math Soc Band 40 2003 S 479 519 I Hussein An Individual Based Evolutionary Dynamics Model for Networked Social Behaviors In Proceedings of the American Control Conference St Louis MO To appear 2009 E Lieberman C Hauert M Nowak Evolutionary dynamics on graphs In Nature Band 433 Nr 7023 2005 S 312 316 M Nowak K Page Unifying Evolutionary Dynamics In Journal of Theoretical Biology Band 219 2002 S 93 98 M Nowak Evolutionary Dynamics Exploring the Equations of Life Belknap Press 2006 Nachweise Bearbeiten P Taylor L Jonker Evolutionary stable strategies and game dynamics In Mathematical Biosciences Band 40 Nr 1 2 1978 S 145 156 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Replikatorgleichungen amp oldid 224537085