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No Cloning Theorem Das ist ein bedeutsames Resultat der Quantenphysik Demnach ist es nicht möglich ein System zu bauen d

No-Cloning-Theorem

Das No-Cloning-Theorem ist ein bedeutsames Resultat der Quantenphysik. Demnach ist es nicht möglich, ein System zu bauen, das jedes beliebige Qubit perfekt auf ein anderes Qubit kopiert, ohne dabei das ursprüngliche zu verändern. Das Theorem kann einerseits als Konsequenz der Unitarität von quantenmechanischen Zeitentwicklungsoperatoren oder der Linearität von Operatoren gesehen werden.

Das No-Cloning-Theorem hat weitreichende Folgen für die Quanteninformatik. Zum einen können klassische Fehlerkorrekturcodes, die darauf beruhen, die zu übertragende Information zu kopieren, nicht angewandt werden. Zum anderen kann niemand eine entsprechende Informationsübertragung unbemerkt abhören, da er dazu eine Kopie der übertragenen Qubits anlegen müsste. Diese Eigenschaft bildet die Grundlage der Quantenkryptografie.

Zur Geschichte Bearbeiten

Auslöser der Entdeckung des No-Cloning-Theorems war 1982 eine Arbeit von Nick Herbert, nach der es möglich wäre, durch das Kopieren von Qubits eine überlichtschnelle Informationsübertragung zu realisieren. William Wootters und Wojciech Zurek und zeitgleich und unabhängig von ihnen Dennis Dieks veröffentlichten im gleichen Jahr das No-Cloning-Theorem und zeigten damit, dass auf diese Art und Weise keine überlichtschnelle Informationsübertragung erfolgen kann.

Wie Asher Peres anmerkt, wurde das No-Cloning-Theorem schon 1980 in einem unveröffentlichten Refereereport von Giancarlo Ghirardi bewiesen. Auf einen noch früheren Beweis durch James Park im Jahr 1970 wies später Juan Ortigoso hin.

Beweis Bearbeiten

Zum Beweis des No-Cloning-Theorems wird angenommen, dass ein quantenmechanisches Verfahren existiert, das beliebige Qubits perfekt kopieren kann. Diese Annahme wird anschließend zum Widerspruch geführt.

Es seien und zwei beliebige Zustände, die auf einen davon unabhängigen Zustand kopiert werden sollen. Da Skalarprodukte (und Wahrscheinlichkeiten) erhalten werden sollen, kann das dazu notwendige Verfahren nur durch eine unitäre Abbildung beschrieben werden. Diese muss zur Kopienbildung folgende Eigenschaften besitzen:

Für das Skalarprodukt lassen sich also folgende zwei Gleichungen angeben:

Die erste Gleichung folgt hierbei durch Einsetzen der obigen Gleichungen, während sich die zweite Gleichung ergibt, da unitäre Abbildungen das Skalarprodukt nicht verändern. Somit erhält man

sowie auf Grund der Verträglichkeit von Skalarprodukt und Tensorprodukt

Da folgt also

Diese Gleichung hat nur die Lösungen und . Das bedeutet, dass entweder ist (falls ) oder und orthogonal sind (falls ). Damit kann ein quantenmechanisches Verfahren, welches in der Lage ist, einen Zustand zu kopieren, bestenfalls noch zu und auch untereinander orthogonale Zustände kopieren. Von allen anderen Zuständen produziert das Verfahren nur fehlerhafte Kopien (mit Fidelität ).

Ein alternativer Beweis, welcher die Linearität von ausnutzt, lässt sich folgendermaßen formulieren:

Sei der zu Zustand, welcher auf kopiert werden soll. Wir entwickeln in eine beliebige Basis  :

mit beliebigen Entwicklungskoeffizienten . Mit dieser Entwicklung folgt bei der Anwendung von

Da einen beliebigen Zustand kopieren soll, muss auch für die einzelnen Basisvektoren gelten:

Dies impliziert jedoch für den Kopiervorgang von

wobei wir die Linearität von verwendet haben. Es gilt jedoch

was die Existenz eines solchen widerlegt.

Quellen Bearbeiten

  1. ↑ Asher Peres: How the no-cloning theorem got its name. In: Fortschritte der Physik. Band 51, Nr. 4–5, 2003, S. 458–461, doi:10.1002/prop.200310062, arxiv:quant-ph/0205076.
  2. N. Herbert: FLASH–A Superluminal Communicator Based upon a New Type of Quantum Measurement. In: Foundations of Physics. Band 12, 1982, S. 1171, doi:10.1007/BF00729622.
  3. W. Wootters, W. Zurek: A Single Quantum Cannot be Cloned. In: Nature. Band 299, 1982, S. 802–803, doi:10.1038/299802a0.
  4. Dennis Dieks: Communication by EPR devices. In: Phys. Letters A. Band 92, 22. November 1982, S. 271–272, doi:10.1016/0375-9601(82)90084-6.
  5. Dagmar Bruß: Quanteninformation. Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-596-15563-0, S. 35–40.
  6. später veröffentlicht in: GianCarlo Ghirardi: Entanglement, Nonlocality, Superluminal Signaling and Cloning. In: Paul Bracken (Hrsg.): Advances in Quantum Mechanics. 2013, doi:10.5772/56429, arxiv:1305.2305.
  7. James Park: The concept of transition in quantum mechanics. In: Foundations of Physics. Band 1, Nr. 1, 1970, S. 23–33, doi:10.1007/BF00708652.
  8. Juan Ortigoso: Twelve years before the quantum no-cloning theorem. In: American Journal of Physics. Vol. 86, Nr. 3, 2018, S. 201–205, doi:10.1119/1.5021356, arxiv:1707.06910 (englisch).
  9. Matthias Homeister: Quantum Computing verstehen. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-05921-4, S. 81–84. Online
  10. Moses Fayngold, Vadim Fayngold: Quantum Mechanics and Quantum Information. Wiley-VCH, ISBN 978-3-527-40647-0, S. 609–610.
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Veröffentlichungsdatum:
Das No Cloning Theorem ist ein bedeutsames Resultat der Quantenphysik Demnach ist es nicht moglich ein System zu bauen das jedes beliebige Qubit perfekt auf ein anderes Qubit kopiert ohne dabei das ursprungliche zu verandern Das Theorem kann einerseits als Konsequenz der Unitaritat von quantenmechanischen Zeitentwicklungsoperatoren oder der Linearitat von Operatoren gesehen werden Das No Cloning Theorem hat weitreichende Folgen fur die Quanteninformatik Zum einen konnen klassische Fehlerkorrekturcodes die darauf beruhen die zu ubertragende Information zu kopieren nicht angewandt werden Zum anderen kann niemand eine entsprechende Informationsubertragung unbemerkt abhoren da er dazu eine Kopie der ubertragenen Qubits anlegen musste Diese Eigenschaft bildet die Grundlage der Quantenkryptografie Zur Geschichte BearbeitenAusloser der Entdeckung des No Cloning Theorems war 1982 eine Arbeit von Nick Herbert 1 nach der es moglich ware durch das Kopieren von Qubits eine uberlichtschnelle Informationsubertragung zu realisieren 2 William Wootters und Wojciech Zurek und zeitgleich und unabhangig von ihnen Dennis Dieks veroffentlichten im gleichen Jahr das No Cloning Theorem 3 4 und zeigten damit dass auf diese Art und Weise keine uberlichtschnelle Informationsubertragung erfolgen kann 5 Wie Asher Peres anmerkt 1 wurde das No Cloning Theorem schon 1980 in einem unveroffentlichten Refereereport von Giancarlo Ghirardi bewiesen 6 Auf einen noch fruheren Beweis durch James Park im Jahr 1970 7 wies spater Juan Ortigoso hin 8 Beweis BearbeitenZum Beweis des No Cloning Theorems wird angenommen dass ein quantenmechanisches Verfahren existiert das beliebige Qubits perfekt kopieren kann Diese Annahme wird anschliessend zum Widerspruch gefuhrt 9 Es seien ϕ displaystyle phi rangle nbsp und ps displaystyle psi rangle nbsp zwei beliebige Zustande die auf einen davon unabhangigen Zustand k displaystyle k rangle nbsp kopiert werden sollen Da Skalarprodukte und Wahrscheinlichkeiten erhalten werden sollen kann das dazu notwendige Verfahren nur durch eine unitare Abbildung U displaystyle U nbsp beschrieben werden Diese muss zur Kopienbildung folgende Eigenschaften besitzen U ϕ k ϕ ϕ displaystyle U phi rangle otimes k rangle phi rangle otimes phi rangle nbsp U ps k ps ps displaystyle U psi rangle otimes k rangle psi rangle otimes psi rangle nbsp Fur das Skalarprodukt U ϕ k U ps k displaystyle langle U phi otimes k U psi otimes k rangle nbsp lassen sich also folgende zwei Gleichungen angeben U ϕ k U ps k ϕ ϕ ps ps displaystyle langle U phi otimes k U psi otimes k rangle langle phi otimes phi psi otimes psi rangle nbsp U ϕ k U ps k ϕ k ps k displaystyle langle U phi otimes k U psi otimes k rangle langle phi otimes k psi otimes k rangle nbsp Die erste Gleichung folgt hierbei durch Einsetzen der obigen Gleichungen wahrend sich die zweite Gleichung ergibt da unitare Abbildungen das Skalarprodukt nicht verandern Somit erhalt man ϕ ϕ ps ps ϕ k ps k displaystyle langle phi otimes phi psi otimes psi rangle langle phi otimes k psi otimes k rangle nbsp sowie auf Grund der Vertraglichkeit von Skalarprodukt und Tensorprodukt ϕ ps ϕ ps ϕ ps k k displaystyle langle phi psi rangle langle phi psi rangle langle phi psi rangle langle k k rangle nbsp Da k k 1 displaystyle langle k k rangle 1 nbsp folgt also ϕ ps 2 ϕ ps displaystyle langle phi psi rangle 2 langle phi psi rangle nbsp Diese Gleichung hat nur die Losungen ϕ ps 0 displaystyle langle phi psi rangle 0 nbsp und ϕ ps 1 displaystyle langle phi psi rangle 1 nbsp Das bedeutet dass entweder ϕ ps displaystyle phi psi nbsp ist falls ϕ ps 1 displaystyle langle phi psi rangle 1 nbsp oder ϕ displaystyle phi nbsp und ps displaystyle psi nbsp orthogonal sind falls ϕ ps 0 displaystyle langle phi psi rangle 0 nbsp Damit kann ein quantenmechanisches Verfahren welches in der Lage ist einen Zustand ps displaystyle psi nbsp zu kopieren bestenfalls noch zu ps displaystyle psi nbsp und auch untereinander orthogonale Zustande kopieren Von allen anderen Zustanden produziert das Verfahren nur fehlerhafte Kopien mit Fidelitat F lt 1 displaystyle F lt 1 nbsp Ein alternativer Beweis welcher die Linearitat von U displaystyle U nbsp ausnutzt lasst sich folgendermassen formulieren 10 Sei ϕ displaystyle phi rangle nbsp der zu Zustand welcher auf k displaystyle k rangle nbsp kopiert werden soll Wir entwickeln ϕ displaystyle phi rangle nbsp in eine beliebige Basis ϕ j displaystyle phi j rangle nbsp ϕ j a j ϕ j displaystyle phi rangle sum j a j phi j rangle nbsp mit beliebigen Entwicklungskoeffizienten a j displaystyle a j nbsp Mit dieser Entwicklung folgt bei der Anwendung von U displaystyle U nbsp U ϕ k ϕ ϕ j a j ϕ j j a j ϕ j displaystyle U phi rangle otimes k rangle phi rangle otimes phi rangle sum j a j phi j rangle otimes sum j a j phi j rangle nbsp Da U displaystyle U nbsp einen beliebigen Zustand kopieren soll muss auch fur die einzelnen Basisvektoren ϕ j displaystyle phi j nbsp gelten U ϕ j k ϕ j ϕ j displaystyle U phi j rangle otimes k rangle phi j rangle otimes phi j rangle nbsp Dies impliziert jedoch fur den Kopiervorgang von ϕ displaystyle phi rangle nbsp U ϕ k U j a j ϕ j k Lin j a j U ϕ j k j a j ϕ j ϕ j displaystyle U phi rangle otimes k rangle U left sum j a j phi j rangle otimes k rangle right stackrel text Lin sum j a j U phi j rangle otimes k rangle sum j a j phi j rangle otimes phi j rangle nbsp wobei wir die Linearitat von U displaystyle U nbsp verwendet haben Es gilt jedoch j a j ϕ j j a j ϕ j j a j ϕ j ϕ j displaystyle sum j a j phi j rangle otimes sum j a j phi j rangle neq sum j a j phi j rangle otimes phi j rangle nbsp was die Existenz eines solchen U displaystyle U nbsp widerlegt Quellen Bearbeiten a b Asher Peres How the no cloning theorem got its name In Fortschritte der Physik Band 51 Nr 4 5 2003 S 458 461 doi 10 1002 prop 200310062 arxiv quant ph 0205076 N Herbert FLASH A Superluminal Communicator Based upon a New Type of Quantum Measurement In Foundations of Physics Band 12 1982 S 1171 doi 10 1007 BF00729622 W Wootters W Zurek A Single Quantum Cannot be Cloned In Nature Band 299 1982 S 802 803 doi 10 1038 299802a0 Dennis Dieks Communication by EPR devices In Phys Letters A Band 92 22 November 1982 S 271 272 doi 10 1016 0375 9601 82 90084 6 Dagmar Bruss Quanteninformation Fischer Taschenbuch Verlag Frankfurt am Main 2003 ISBN 3 596 15563 0 S 35 40 spater veroffentlicht in GianCarlo Ghirardi Entanglement Nonlocality Superluminal Signaling and Cloning In Paul Bracken Hrsg Advances in Quantum Mechanics 2013 doi 10 5772 56429 arxiv 1305 2305 James Park The concept of transition in quantum mechanics In Foundations of Physics Band 1 Nr 1 1970 S 23 33 doi 10 1007 BF00708652 Juan Ortigoso Twelve years before the quantum no cloning theorem In American Journal of Physics Vol 86 Nr 3 2018 S 201 205 doi 10 1119 1 5021356 arxiv 1707 06910 englisch Matthias Homeister Quantum Computing verstehen Vieweg Wiesbaden 2005 ISBN 3 528 05921 4 S 81 84 Online Moses Fayngold Vadim Fayngold Quantum Mechanics and Quantum Information Wiley VCH ISBN 978 3 527 40647 0 S 609 610 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title No Cloning Theorem amp oldid 239295975