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Nichtlineares System Nichtlineare Systeme NL Systeme sind Systeme der Systemtheorie deren Ausgangssignal nicht immer pro

Nichtlineares System

Nichtlineare Systeme (NL-Systeme) sind Systeme der Systemtheorie, deren Ausgangssignal nicht immer proportional zum Eingangssignal (Systemreiz) ist. Sie können wesentlich komplexere Systeme sein als lineare Systeme.

Allgemeine Grundlagen Bearbeiten

Für nichtlineare Systeme gilt, im Gegensatz zu linearen Systemen, das Superpositionsprinzip nicht. Das heißt, man kann nicht von mehreren bekannten Systemreiz-Systemantwort-Paaren auf eine unbekannte Systemantwort zu gegebenem Systemreiz schließen. Ferner unterscheidet man die Nichtlinearität eines Systems in statische, dynamische, einwertige und mehrwertige Nichtlinearität. Da es zu nichtlinearen Systemen keine geschlossene mathematische Theorie gibt, gibt es auch keine allgemeine Methode zur Analyse unbekannter nichtlinearer Systeme.

Allgemein kann man ein mathematisches Modell eines nichtlinearen Systems mit innerem Zustand , äußeren Einflüssen und Beobachtungen darstellen als

wobei und die das System beschreibenden, nichtlinearen Funktionen sind.

Statische nichtlineare Systeme Bearbeiten

Veranschaulichung einer linearen (linkes Diagramm) gegenüber einer nichtlinearen (rechtes Diagramm) Kennlinie. Die gestrichelte Diagonale veranschaulicht die lineare bzw. nichtlineare Transformation, die schwarze Kurve ist das Eingangs-, die blaue das Ausgangssignal.

Unter statischen nichtlinearen Systemen versteht man solche, die ohne Zeitverzögerung auf einen Systemreiz reagieren. Zum Beispiel wird die Diode im Allgemeinen (Ausnahme etwa bei schnellen Schaltvorgängen) als statisches Bauteil angesehen. Ihre Spannung-Strom-Kennlinie folgt einer Exponentialfunktion; sie wird in verschiedenen Anwendungen idealisiert als stückweise linear behandelt, bleibt aber im systemtheoretischen Sinne nichtlinear. Statische Systeme können durch eine statische Kennlinie beschrieben werden, wie sie in den Abbildungen gezeigt werden.

Kennlinie eines Feldeffekttransistors
Oben (so etwa bei > 3 mA) fast linear: Ein sinusförmiger Verlauf einer Änderung ΔUGS erzeugt eine Änderung ΔID ohne sichtbare Abweichung vom Sinusverlauf.
Unten (so etwa bei < 3 mA) nicht linear: Ein sinusförmiger Verlauf einer Änderung ΔUGS erzeugt eine Änderung ΔID mit erkennbar nicht sinusförmigem Verlauf.

Dynamische nichtlineare Systeme Bearbeiten

Unter dynamischen nichtlinearen Systemen versteht man solche, die auch Speicherelemente und damit ein „Gedächtnis“ besitzen. Dadurch wird die Systemantwort nicht vom augenblicklichen Wert des Systemreizes allein bestimmt. Sie hängt auch von der Vorgeschichte, also von der Stärke der vorangehenden Erregung ab.

Charakterisierung bezüglich des Frequenzverhaltens Bearbeiten

Bei Erregung linearer Systeme mit einem Sinus-Signal erhält man am Ausgang wiederum ein sinusförmiges Signal derselben Frequenz, jedoch mit veränderter Phasenlage und Amplitude. Diese Eigenschaft weisen nichtlineare Systeme im Allgemeinen nicht auf. Nichtlineare Systeme können an ihrem Systemausgang Frequenzanteile aufweisen, welche im Eingangssignal nicht enthalten sind (Verzerrung).

Beispiele aus der Elektrotechnik sind:

  • Wenn ein nichtlinearer Verstärker mit einer einzigen Sinusspannung als Eingangsspannung gespeist wird, erzeugt er am Ausgang neben einer Sinusspannung zusätzlich Harmonische. Deren Anteile werden mit zunehmender Übersteuerung größer.
  • Wenn der Verstärker mit einer Überlagerung zweier oder mehrerer Sinusspannungen unterschiedlicher Frequenz gespeist wird, tritt zusätzlich Intermodulation auf, und es entstehen Kombinationsfrequenzen.
  • Sollen mehrere modulierte Wechselspannungen gleichzeitig verstärkt werden, kann es zu Kreuzmodulation kommen. Dann übernimmt eine Wechselspannung teilweise die Modulation der anderen (Luxemburgeffekt).

Literatur Bearbeiten

  • Mathukumalli Vidyasagar: Nonlinear systems analysis SIAMm Philadelphia 2008, ISBN 978-0-89871-526-2.
  • Muthuswamy Lakshmanan, et al.: Nonlinear dynamics - integrability, chaos, and patterns. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-43908-0.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Holk Cruse: Biologische Kybernetik. Verlag Chemie GmbH, Weinheim 1981, ISBN 3-527-25911-2.
  2. Dezsö Varjú: Systemtheorie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-08086-4.

Weblinks Bearbeiten

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Nichtlineare Systeme NL Systeme sind Systeme der Systemtheorie deren Ausgangssignal nicht immer proportional zum Eingangssignal Systemreiz ist Sie konnen wesentlich komplexere Systeme sein als lineare Systeme Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Grundlagen 2 Statische nichtlineare Systeme 3 Dynamische nichtlineare Systeme 4 Charakterisierung bezuglich des Frequenzverhaltens 5 Literatur 6 Einzelnachweise 7 WeblinksAllgemeine Grundlagen BearbeitenFur nichtlineare Systeme gilt im Gegensatz zu linearen Systemen das Superpositionsprinzip nicht Das heisst man kann nicht von mehreren bekannten Systemreiz Systemantwort Paaren auf eine unbekannte Systemantwort zu gegebenem Systemreiz schliessen Ferner unterscheidet man die Nichtlinearitat eines Systems in statische dynamische einwertige und mehrwertige Nichtlinearitat Da es zu nichtlinearen Systemen keine geschlossene mathematische Theorie gibt gibt es auch keine allgemeine Methode zur Analyse unbekannter nichtlinearer Systeme 1 Allgemein kann man ein mathematisches Modell eines nichtlinearen Systems mit innerem Zustand x t displaystyle x t nbsp ausseren Einflussen u t displaystyle u t nbsp und Beobachtungen y t displaystyle y t nbsp darstellen als x t A t x t u t y t C t x t u t displaystyle begin aligned dot x t amp A bigl t x t u t bigr y t amp C bigl t x t u t bigr end aligned nbsp wobei A displaystyle A nbsp und C displaystyle C nbsp die das System beschreibenden nichtlinearen Funktionen sind Statische nichtlineare Systeme Bearbeiten nbsp Veranschaulichung einer linearen linkes Diagramm gegenuber einer nichtlinearen rechtes Diagramm Kennlinie Die gestrichelte Diagonale veranschaulicht die lineare bzw nichtlineare Transformation die schwarze Kurve ist das Eingangs die blaue das Ausgangssignal Unter statischen nichtlinearen Systemen versteht man solche die ohne Zeitverzogerung auf einen Systemreiz reagieren Zum Beispiel wird die Diode im Allgemeinen Ausnahme etwa bei schnellen Schaltvorgangen als statisches Bauteil angesehen Ihre Spannung Strom Kennlinie folgt einer Exponentialfunktion sie wird in verschiedenen Anwendungen idealisiert als stuckweise linear behandelt bleibt aber im systemtheoretischen Sinne nichtlinear Statische Systeme konnen durch eine statische Kennlinie beschrieben werden wie sie in den Abbildungen gezeigt werden nbsp Kennlinie eines Feldeffekttransistors Oben so etwa bei gt 3 mA fast linear Ein sinusformiger Verlauf einer Anderung DUGS erzeugt eine Anderung DID ohne sichtbare Abweichung vom Sinusverlauf Unten so etwa bei lt 3 mA nicht linear Ein sinusformiger Verlauf einer Anderung DUGS erzeugt eine Anderung DID mit erkennbar nicht sinusformigem Verlauf Dynamische nichtlineare Systeme Bearbeiten Hauptartikel Dynamisches System Unter dynamischen nichtlinearen Systemen versteht man solche die auch Speicherelemente und damit ein Gedachtnis besitzen Dadurch wird die Systemantwort nicht vom augenblicklichen Wert des Systemreizes allein bestimmt Sie hangt auch von der Vorgeschichte also von der Starke der vorangehenden Erregung ab 2 Charakterisierung bezuglich des Frequenzverhaltens BearbeitenBei Erregung linearer Systeme mit einem Sinus Signal erhalt man am Ausgang wiederum ein sinusformiges Signal derselben Frequenz jedoch mit veranderter Phasenlage und Amplitude Diese Eigenschaft weisen nichtlineare Systeme im Allgemeinen nicht auf Nichtlineare Systeme konnen an ihrem Systemausgang Frequenzanteile aufweisen welche im Eingangssignal nicht enthalten sind Verzerrung Beispiele aus der Elektrotechnik sind Wenn ein nichtlinearer Verstarker mit einer einzigen Sinusspannung als Eingangsspannung gespeist wird erzeugt er am Ausgang neben einer Sinusspannung zusatzlich Harmonische Deren Anteile werden mit zunehmender Ubersteuerung grosser Wenn der Verstarker mit einer Uberlagerung zweier oder mehrerer Sinusspannungen unterschiedlicher Frequenz gespeist wird tritt zusatzlich Intermodulation auf und es entstehen Kombinationsfrequenzen Sollen mehrere modulierte Wechselspannungen gleichzeitig verstarkt werden kann es zu Kreuzmodulation kommen Dann ubernimmt eine Wechselspannung teilweise die Modulation der anderen Luxemburgeffekt Literatur BearbeitenMathukumalli Vidyasagar Nonlinear systems analysis SIAMm Philadelphia 2008 ISBN 978 0 89871 526 2 Muthuswamy Lakshmanan et al Nonlinear dynamics integrability chaos and patterns Springer Berlin 2003 ISBN 3 540 43908 0 Einzelnachweise Bearbeiten Holk Cruse Biologische Kybernetik Verlag Chemie GmbH Weinheim 1981 ISBN 3 527 25911 2 Dezso Varju Systemtheorie Springer Verlag Berlin Heidelberg 1977 ISBN 3 540 08086 4 Weblinks BearbeitenLiteratur uber Nichtlineares System im Katalog der Deutschen NationalbibliothekNormdaten Sachbegriff GND 4042110 7 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Nichtlineares System amp oldid 237498940