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Mathieusche Differentialgleichung Als wird eine spezielle lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung beze

Mathieusche Differentialgleichung

Als Mathieusche Differentialgleichung wird eine spezielle lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung bezeichnet. Die DGL ist nach dem Mathematiker Émile Léonard Mathieu benannt und ist ein Spezialfall der Hillschen Differentialgleichung mit der Parameterfunktion

Lösungen der Mathieuschen Differentialgleichung – meist in Normalform bzw. der unten angegebenen alternativen Darstellung – werden als Mathieu-Funktionen bezeichnet.

Normalform Bearbeiten

Die Gleichung wird in der Literatur in unterschiedlicher Form dargestellt. Eine als Normalform bezeichnete Gleichung hat die Gestalt

Ist eine Funktion der Zeit

so stehen die Abkürzungen und für

Alternative Darstellung Bearbeiten

Die DGL wird unter anderem auch folgendermaßen angegeben

oder

Lösungseigenschaften Bearbeiten

Die Mathieusche Differentialgleichung lässt sich als lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit zwei Gleichungen darstellen:

Die Koeffizientenmatrix ist hier -periodisch. Nach dem Satz von Floquet lässt sich die Fundamentalmatrix beschreiben als

Dabei ist und ebenfalls -periodisch. Durch die Berechnung der jordanschen Normalform der Matrix ergeben sich zwei Fälle:

  1. hat zwei verschiedene (komplexe) Eigenwerte : In diesem Fall sind die Lösungen von der Form und , wobei jeweils -periodisch sind.
  2. hat einen einzigen Eigenwert : Hier sind die Lösungen von der Gestalt und mit einer -periodischen Funktion .

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Kurt Magnus: Schwingungen: Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen. 8., überarb. Auflage, Vieweg+Teubner, 2008, Kapitel 4, ISBN 3-8351-0193-5.
  2. NIST Digital Library of Mathematical Functions: Mathieu Functions and Hill’s Equation (englisch)
  3. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. Springer, 2008, Kapitel 11.7, ISBN 3-540-79294-5.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Als Mathieusche Differentialgleichung wird eine spezielle lineare gewohnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung bezeichnet Die DGL ist nach dem Mathematiker Emile Leonard Mathieu benannt und ist ein Spezialfall der Hillschen Differentialgleichung mit der Parameterfunktion q x q o D q cos x displaystyle q x q o Delta q cdot cos x Losungen der Mathieuschen Differentialgleichung meist in Normalform bzw der unten angegebenen alternativen Darstellung werden als Mathieu Funktionen bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Normalform 2 Alternative Darstellung 3 Losungseigenschaften 4 Siehe auch 5 Einzelnachweise 6 WeblinksNormalform BearbeitenDie Gleichung wird in der Literatur in unterschiedlicher Form dargestellt Eine als Normalform bezeichnete Gleichung 1 hat die Gestalt y x l g cos x y x 0 displaystyle y x lambda gamma cos x cdot y x 0 nbsp Ist x displaystyle x nbsp eine Funktion der Zeit x x t W t displaystyle x stackrel x t Omega cdot t nbsp so stehen die Abkurzungen l displaystyle lambda nbsp und g displaystyle gamma nbsp fur l q 0 W 2 g D q W 2 displaystyle lambda q 0 Omega 2 gamma Delta q Omega 2 nbsp Alternative Darstellung BearbeitenDie DGL wird unter anderem auch folgendermassen angegeben 2 3 y x a 2 q cos 2 x y x 0 displaystyle y x a 2q cos 2x cdot y x 0 nbsp oder x t w 0 2 1 h cos W t x t 0 displaystyle ddot x t omega 0 2 1 h cos Omega t cdot x t 0 nbsp Losungseigenschaften BearbeitenDie Mathieusche Differentialgleichung lasst sich als lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit zwei Gleichungen darstellen 0 1 l g cos x 0 u x v x u x v x displaystyle begin pmatrix 0 amp 1 lambda gamma cos x amp 0 end pmatrix begin pmatrix u x v x end pmatrix begin pmatrix u x v x end pmatrix nbsp Die Koeffizientenmatrix ist hier 2 p displaystyle 2 pi nbsp periodisch Nach dem Satz von Floquet lasst sich die Fundamentalmatrix beschreiben als F x P x exp x R displaystyle Phi x P x exp xR nbsp Dabei ist R C 2 2 displaystyle R in mathbb C 2 times 2 nbsp und P R G L m C displaystyle P mathbb R rightarrow GL m mathbb C nbsp ebenfalls 2 p displaystyle 2 pi nbsp periodisch Durch die Berechnung der jordanschen Normalform der Matrix R displaystyle R nbsp ergeben sich zwei Falle R displaystyle R nbsp hat zwei verschiedene komplexe Eigenwerte g 1 g 2 displaystyle gamma 1 neq gamma 2 nbsp In diesem Fall sind die Losungen von der Form e g 1 x ϕ 1 x displaystyle e gamma 1 x phi 1 x nbsp und e g 2 x ϕ 2 x displaystyle e gamma 2 x phi 2 x nbsp wobei ϕ 1 ϕ 2 displaystyle phi 1 phi 2 nbsp jeweils 2 p displaystyle 2 pi nbsp periodisch sind R displaystyle R nbsp hat einen einzigen Eigenwert g displaystyle gamma nbsp Hier sind die Losungen von der Gestalt e g x ϕ x displaystyle e gamma x phi x nbsp und x e g x ϕ x displaystyle xe gamma x phi x nbsp mit einer 2 p displaystyle 2 pi nbsp periodischen Funktion ϕ displaystyle phi nbsp Siehe auch BearbeitenParametrischer Oszillator Paul Falle Quadrupol MassenspektrometerEinzelnachweise Bearbeiten Kurt Magnus Schwingungen Eine Einfuhrung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen 8 uberarb Auflage Vieweg Teubner 2008 Kapitel 4 ISBN 3 8351 0193 5 NIST Digital Library of Mathematical Functions Mathieu Functions and Hill s Equation englisch Wolfgang Demtroder Experimentalphysik 1 Mechanik und Warme Springer 2008 Kapitel 11 7 ISBN 3 540 79294 5 Weblinks BearbeitenList of equations and identities for Mathieu Functions functions wolfram com englisch E Mathieu Memoire sur Le Mouvement Vibratoire d une Membrane de forme Elliptique In Journal de Mathematiques Pures et Appliquees 1868 S 137 203 bnf fr PDF Mathieu sche Differentialgleichung in der Zustandsdarstellung Code Octave zur numerischen Berechnung eines Anfangswertproblems Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mathieusche Differentialgleichung amp oldid 220726402