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Martins Axiom ist in der Mengenlehre eine Aussage die in dem üblichen Zermelo Fraenkelschen System weder beweisbar noch

Martins Axiom

Martins Axiom ist in der Mengenlehre eine Aussage, die in dem üblichen Zermelo-Fraenkelschen System weder beweisbar noch widerlegbar ist. Es wurde 1970 von Donald A. Martin und Robert M. Solovay eingeführt.

Schreibe für die Kardinalität des Kontinuums.

Sei eine Halbordnung. Eine Menge heißt hier dicht, wenn jede Menge der Form trifft. Sei eine Menge von dichten Teilmengen von . Gesucht ist ein Filter auf , der alle Elemente aus trifft, d. h. nichtleer schneidet; heißt dann -generischer Filter. Das Lemma von Rasiowa-Sikorski besagt, dass es für abzählbare immer möglich ist, einen solchen Filter zu finden. Für überabzählbare Mengen ist die Situation anders: Wenn

gibt es im Allgemeinen keine -generischen Filter.

Martins Axiom für eine unendliche Kardinalzahl , kurz , ist die Aussage,

Damit ist beweisbar wahr und exakt die Aussage des Lemmas von Rasiowa-Sikorski. Für ist beweisbar falsch. Gilt die Kontinuumshypothese (CH), ist die Aussage damit für jede unendliche Kardinalzahl entschieden. Folglich ist Martins Axiom für eine unendliche Kardinalzahl nur in Modellen interessant, in denen die Kontinuumshypothese scheitert.

Mit dem Begriff Martins Axiom ohne Angabe einer Kardinalzahl, kurz , wird die Aussage bezeichnet, dass

Äquivalent ist die Formulierung „[…] für alle unendlichen “, da der Unterschied nur betrifft. Martins Axiom ohne die Formulierung für eine unendliche Kardinalzahl ist äquivalent dazu, dass es

Vorausgesetzt ZFC ist konsistent, lassen sich Modelle von ZFC + MA + ¬CH konstruieren, also in denen zwar Martins Axiom gilt, die Kontinuumshypothese aber nicht.

Anschaulich bedeutet Martins Axiom, dass die überabzählbaren Kardinalzahlen in einem gewissen Sinne klein gegenüber sind und sich ähnlich wie verhalten.

Literatur Bearbeiten

  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.
  • Martin, D. A.; Solovay, R. M. : Internal Cohen extensions, Ann. Math. Logic 2 (2) (1970): 143–178
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Martins Axiom ist in der Mengenlehre eine Aussage die in dem ublichen Zermelo Fraenkelschen System weder beweisbar noch widerlegbar ist Es wurde 1970 von Donald A Martin und Robert M Solovay eingefuhrt Schreibe c 2 ℵ 0 displaystyle mathfrak c 2 aleph 0 fur die Kardinalitat des Kontinuums Sei P P displaystyle langle P leq P rangle eine Halbordnung Eine Menge D P displaystyle D subseteq P heisst hier dicht wenn D displaystyle D jede Menge der Form P p q P q p displaystyle P leq p q in P mid q leq p trifft Sei D displaystyle mathcal D eine Menge von dichten Teilmengen von P displaystyle P Gesucht ist ein Filter F displaystyle F auf P displaystyle P der alle Elemente aus D displaystyle mathcal D trifft d h nichtleer schneidet F displaystyle F heisst dann D displaystyle mathcal D generischer Filter Das Lemma von Rasiowa Sikorski besagt dass es fur abzahlbare D displaystyle mathcal D immer moglich ist einen solchen Filter F displaystyle F zu finden Fur uberabzahlbare Mengen D displaystyle mathcal D ist die Situation anders Wenn D c displaystyle left mathcal D right mathfrak c oder P P displaystyle langle P leq P rangle uberabzahlbare Antiketten besitzt gibt es im Allgemeinen keine D displaystyle mathcal D generischen Filter Martins Axiom fur eine unendliche Kardinalzahl k displaystyle kappa kurz M A k displaystyle mathrm MA kappa ist die Aussage fur jede Halbordnung P P displaystyle langle P leq P rangle die nur abzahlbare Antiketten besitzt und jede Menge D displaystyle mathcal D dichter Teilmengen mit D k displaystyle left mathcal D right leq kappa gibt es einen D displaystyle mathcal D generischen Filter F displaystyle F Damit ist M A ℵ 0 displaystyle mathrm MA aleph 0 beweisbar wahr und exakt die Aussage des Lemmas von Rasiowa Sikorski Fur k c displaystyle kappa geq mathfrak c ist M A k displaystyle mathrm MA kappa beweisbar falsch Gilt die Kontinuumshypothese CH ist die Aussage damit fur jede unendliche Kardinalzahl entschieden Folglich ist Martins Axiom fur eine unendliche Kardinalzahl nur in Modellen interessant in denen die Kontinuumshypothese scheitert Mit dem Begriff Martins Axiom ohne Angabe einer Kardinalzahl kurz M A displaystyle mathrm MA wird die Aussage bezeichnet dass M A k displaystyle mathrm MA kappa fur alle uberabzahlbaren k lt c displaystyle kappa lt mathfrak c gilt Aquivalent ist die Formulierung fur alle unendlichen k lt c displaystyle kappa lt mathfrak c da der Unterschied nur M A ℵ 0 displaystyle mathrm MA aleph 0 betrifft Martins Axiom ohne die Formulierung fur eine unendliche Kardinalzahl ist aquivalent dazu dass es fur jede Halbordnung P P displaystyle langle P leq P rangle die nur abzahlbare Antiketten besitzt und jede Menge D displaystyle mathcal D dichter Teilmengen mit D lt c displaystyle left mathcal D right lt mathfrak c einen D displaystyle mathcal D generischen Filter F displaystyle F gibt Vorausgesetzt ZFC ist konsistent lassen sich Modelle von ZFC MA CH konstruieren also in denen zwar Martins Axiom gilt die Kontinuumshypothese aber nicht Anschaulich bedeutet Martins Axiom dass die uberabzahlbaren Kardinalzahlen k lt c displaystyle kappa lt mathfrak c in einem gewissen Sinne klein gegenuber c displaystyle mathfrak c sind und sich ahnlich wie ℵ 0 displaystyle aleph 0 verhalten Literatur BearbeitenJech Thomas Set Theory Springer Verlag Berlin Heidelberg 2006 ISBN 3 540 44085 2 Kunen Keneth Set Theory An Introduction to Independence Proofs North Holland 1980 ISBN 0 444 85401 0 Martin D A Solovay R M Internal Cohen extensions Ann Math Logic 2 2 1970 143 178 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Martins Axiom amp oldid 223935450