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Lemma von Rasiowa Sikorski Das benannt nach den polnischen Mathematikern Roman Sikorski und Helena Rasiowa ist in der Me

Lemma von Rasiowa-Sikorski

Das Lemma von Rasiowa-Sikorski, benannt nach den polnischen Mathematikern Roman Sikorski und Helena Rasiowa, ist in der Mengenlehre grundlegend für die Entwicklung der Forcing-Methode. Es sichert die Existenz von Filtern mit gewissen Eigenschaften.

Aussage Bearbeiten

Sei eine Quasiordnung, und eine höchstens abzählbare Menge von dichten Teilmengen von . Dann gibt es für jedes einen Filter mit den Eigenschaften:

  • , für alle .

Filter mit der letzten Eigenschaft werden auch -generisch genannt.

Beweis Bearbeiten

Sei eine Aufzählung der Mengen in und definiere für rekursiv:

"ein Element mit ".

Ein solches existiert aufgrund der Dichtheit von . Dann ist die Menge ein derartiger Filter.

Erweiterungen Bearbeiten

Es kann gezeigt werden, dass die Aussage im Allgemeinen falsch wird, wenn die Kardinalität hat. Die Frage, ob das Lemma für Kardinalzahlen mit gilt, führt zu Martins Axiom.

Literatur Bearbeiten

  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Lemma von Rasiowa Sikorski benannt nach den polnischen Mathematikern Roman Sikorski und Helena Rasiowa ist in der Mengenlehre grundlegend fur die Entwicklung der Forcing Methode Es sichert die Existenz von Filtern mit gewissen Eigenschaften Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beweis 3 Erweiterungen 4 LiteraturAussage BearbeitenSei P P displaystyle langle P leq P rangle nbsp eine Quasiordnung und D displaystyle mathcal D nbsp eine hochstens abzahlbare Menge von dichten Teilmengen von P displaystyle P nbsp Dann gibt es fur jedes p 0 P displaystyle p 0 in P nbsp einen Filter F P displaystyle F subseteq P nbsp mit den Eigenschaften p 0 F displaystyle p 0 in F nbsp D F displaystyle D cap F neq emptyset nbsp fur alle D D displaystyle D in mathcal D nbsp Filter mit der letzten Eigenschaft werden auch D displaystyle mathcal D nbsp generisch genannt Beweis BearbeitenSei D 1 D 2 displaystyle D 1 D 2 dots nbsp eine Aufzahlung der Mengen in D displaystyle mathcal D nbsp und definiere fur n 0 displaystyle n geq 0 nbsp rekursiv p n 1 displaystyle p n 1 nbsp ein Element p D n 1 displaystyle p in D n 1 nbsp mit p p n displaystyle p leq p n nbsp Ein solches p n 1 displaystyle p n 1 nbsp existiert aufgrund der Dichtheit von D n 1 displaystyle D n 1 nbsp Dann ist die Menge F p P n N p n p displaystyle F p in P mid exists n in mathbb N p n leq p nbsp ein derartiger Filter Erweiterungen BearbeitenEs kann gezeigt werden dass die Aussage im Allgemeinen falsch wird wenn D displaystyle mathcal D nbsp die Kardinalitat 2 ℵ 0 displaystyle 2 aleph 0 nbsp hat Die Frage ob das Lemma fur Kardinalzahlen k displaystyle kappa nbsp mit ℵ 0 lt k lt 2 ℵ 0 displaystyle aleph 0 lt kappa lt 2 aleph 0 nbsp gilt fuhrt zu Martins Axiom Literatur BearbeitenJech Thomas Set Theory Springer Verlag Berlin Heidelberg 2006 ISBN 3 540 44085 2 Kunen Keneth Set Theory An Introduction to Independence Proofs North Holland 1980 ISBN 0 444 85401 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lemma von Rasiowa Sikorski amp oldid 199854291