Eine Inellipse ist in der Geometrie eine Ellipse die die Seiten eines gegebenen Dreiecks beruhrt Das einfachste Beispiel ist der Inkreis Weitere wichtige Beispiele sind die Steiner Inellipse die die Dreiecksseiten in deren Mitte beruhrt die Mandart Inellipse und die Brocard Inellipse Sie spielen in der Dreiecksgeometrie eine Rolle Schrankt man die Ellipse nicht durch spezielle Anforderungen ein so gibt es zu einem Dreieck unendlich viele Inellipsen Beispiel einer InellipseDa ein nicht ausgearteter Kegelschnitt durch 5 Bestimmungsstucke Punkte Tangenten eindeutig bestimmt ist darf man fur eine Inellipse eines Dreiecks nur auf zwei Seiten auch die Beruhrpunkte vorgeben Der Beruhrpunkt auf der 3 Seite ist dann dadurch schon eindeutig bestimmt Inhaltsverzeichnis 1 Parameterdarstellungen Mittelpunkt konjugierte Halbmesser 2 Beispiele 2 1 Steiner Inellipse 2 2 Inkreis 2 3 Mandart Inellipse 2 4 Brocard Inellipse 3 Herleitungen 4 Inellipse mit maximalem Flacheninhalt 5 Inellipse und baryzentrische Koordinaten 6 Siehe auch 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseParameterdarstellungen Mittelpunkt konjugierte Halbmesser Bearbeiten nbsp Eine Inellipse ist durch das Dreieck und die Vorgabe der zwei Beruhrpunkte U V displaystyle U V nbsp eindeutig bestimmt M Mittelpunkt der Ellipse Die Inellipse des Dreiecks mit den Eckpunkten O 0 0 A a1 a2 B b1 b2 displaystyle O 0 0 A a 1 a 2 B b 1 b 2 nbsp und den zwei Beruhrpunkten U u1 u2 V v1 v2 displaystyle U u 1 u 2 V v 1 v 2 nbsp auf der Seite OA displaystyle OA nbsp bzw OB displaystyle OB nbsp lasst sich durch die rationale Parameterdarstellung 4u132 v1ab432 43 ab 4u232 v2ab432 43 ab lt 3 lt displaystyle left frac 4u 1 xi 2 v 1 ab 4 xi 2 4 xi ab frac 4u 2 xi 2 v 2 ab 4 xi 2 4 xi ab right infty lt xi lt infty nbsp beschreiben Dabei sind a b displaystyle a b nbsp durch die Vorgaben der Beruhrpunkte wie folgt bestimmt a 1s 1 ui sai b 1t 1 vi tbi 0 lt s t lt 1 displaystyle a frac 1 s 1 u i sa i quad b frac 1 t 1 v i tb i 0 lt s t lt 1 nbsp Der 3 Beruhrpunkt ist W u1a v1ba b 2 u2a v2ba b 2 displaystyle W left frac u 1 a v 1 b a b 2 frac u 2 a v 2 b a b 2 right nbsp Der Mittelpunkt der Inellipse ist M abab 1 u1 v12 u2 v22 displaystyle M frac ab ab 1 left frac u 1 v 1 2 frac u 2 v 2 2 right nbsp Die Vektoren f 1 12abab 1 u1 v1 u2 v2 displaystyle vec f 1 frac 1 2 frac sqrt ab ab 1 u 1 v 1 u 2 v 2 nbsp f 2 12abab 1 u1 v1 u2 v2 displaystyle vec f 2 frac 1 2 sqrt frac ab ab 1 u 1 v 1 u 2 v 2 nbsp sind zwei konjugierte Halbmesser und die Inellipse besitzt damit die weitere ubliche Parameterdarstellung x OM f 1cos f f 2sin f displaystyle vec x vec OM vec f 1 cos varphi vec f 2 sin varphi nbsp nbsp Brianchon Punkt einer Inellipse eines DreiecksDer Brianchon Punkt der Inellipse gemeinsamer Punkt K displaystyle K nbsp der Geraden AV BU OW displaystyle overline AV overline BU overline OW nbsp ist K u1a v1ba b 1 u2a v2ba b 1 displaystyle K left frac u 1 a v 1 b a b 1 frac u 2 a v 2 b a b 1 right nbsp Mit Hilfe der Zahlen s t displaystyle s t nbsp lassen sich die zwei Beruhrpunkte U V displaystyle U V nbsp leicht variieren Die Schranken fur s t displaystyle s t nbsp sichern dass die Beruhrpunkte wirklich auf den beiden Dreieckseiten liegen Sie liefern fur a b displaystyle a b nbsp die Schranken lt a b lt 1 displaystyle infty lt a b lt 1 nbsp Man beachte dass hier a b displaystyle a b nbsp nicht die Halbachsen der Ellipse oder Seiten des Dreiecks sind sondern Parameter die die Beziehung zwischen den Beruhrpunkten U V displaystyle U V nbsp und den Eckpunkten A B displaystyle A B nbsp festlegen Beispiele Bearbeiten nbsp Mandart InellipseSteiner Inellipse Bearbeiten Hauptartikel Steiner Inellipse Fur s t 12 displaystyle s t tfrac 1 2 nbsp sind die Beruhrpunkte U V W displaystyle U V W nbsp die Seitenmitten und die Inellipse ist die Steiner Inellipse Mittelpunkt ist der Schwerpunkt Inkreis Bearbeiten Fur s OA OB AB 2 OA t OA OB AB 2 OB displaystyle s tfrac OA OB AB 2 OA t tfrac OA OB AB 2 OB nbsp ergibt sich der Inkreis des Dreiecks mit dem Mittelpunkt OM OB OA OA OB OA OB AB displaystyle vec OM tfrac OB vec OA OA vec OB OA OB AB nbsp Mandart Inellipse Bearbeiten Fur s OA OB AB 2 OA t OA OB AB 2 OB displaystyle s tfrac OA OB AB 2 OA t tfrac OA OB AB 2 OB nbsp erhalt man die Mandart Inellipse des Dreiecks Sie beruhrt die Seiten in den Beruhrpunkten der Ankreise Ihr Mittelpunkt ist der Mittenpunkt des Dreiecks nbsp Brocard InellipseBrocard Inellipse Bearbeiten Fur s OB 2 OB 2 AB 2 t OA 2 OA 2 AB 2 displaystyle s tfrac OB 2 OB 2 AB 2 quad t tfrac OA 2 OA 2 AB 2 nbsp erhalt man die Brocard Inellipse Sie ist durch die Vorgabe ihres Brianchon Punktes in trilinearen Koordinaten K OB OA AB displaystyle K OB OA AB nbsp eindeutig bestimmt Herleitungen Bearbeiten nbsp Bestimmung der Inellipse durch Losen des Problems fur eine Hyperbel in der 3 h displaystyle xi eta nbsp Ebene und anschliessender Transformation der Losung in die x y Ebene M displaystyle M nbsp ist der Mittelpunkt der gesuchten Ellipse und D1D2 E1E2 displaystyle D 1 D 2 E 1 E 2 nbsp zwei konjugierte Durchmesser Sich entsprechende Punkte wurden in beiden Darstellungen mit denselben Buchstaben bezeichnet g displaystyle g infty nbsp ist die Ferngerade der x y Darstellung Neue KoordinatenZum Beweis betrachtet man die Aufgabe projektiv und fuhrt geeignete neue inhomogene 3 displaystyle xi nbsp h displaystyle eta nbsp Koordinaten so ein dass der gesuchte Kegelschnitt zur Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten wird und U V displaystyle U V nbsp zu den Fernpunkten der Koordinatenachsen werden Die Dreieckspunkte A a1 a2 B b1 b2 displaystyle A a 1 a 2 B b 1 b 2 nbsp werden in den neuen Koordinaten mit eckigen Klammern durch A a 0 B 0 b displaystyle A a 0 B 0 b nbsp beschrieben und die Gerade dazu hat die Gleichung 3a hb 1 displaystyle frac xi a frac eta b 1 nbsp Dass die hier verwendeten a b displaystyle a b nbsp tatsachlich mit denen in der Aussage des Satzes identisch sind zeigt die Ruckabbildung unten Gesucht ist nun eine Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten die die Gerade AB displaystyle overline AB nbsp beruhrt Man rechnet leicht nach dass dies fur die Hyperbel mit der Gleichung h ab43 displaystyle eta frac ab 4 xi nbsp der Fall ist Sie beruhrt die Gerade AB displaystyle overline AB nbsp im Punkt W a2 b2 displaystyle W tfrac a 2 tfrac b 2 nbsp KoordinatentransformationDie Ruckabbildung der gefundenen Losung wird in homogener Darstellung durch die Matrix u1v10u2v20111 displaystyle begin bmatrix u 1 amp v 1 amp 0 u 2 amp v 2 amp 0 1 amp 1 amp 1 end bmatrix quad nbsp beschrieben Ein Punkt x1 x2 x3 displaystyle x 1 x 2 x 3 nbsp wird dabei auf u1v10u2v20111 x1x2x3 u1x1 v1x2u2x1 v2x2x1 x2 x3 u1x1 v1x2x1 x2 x3 u2x1 v2x2x1 x2 x3 displaystyle begin bmatrix u 1 amp v 1 amp 0 u 2 amp v 2 amp 0 1 amp 1 amp 1 end bmatrix begin bmatrix x 1 x 2 x 3 end bmatrix begin pmatrix u 1 x 1 v 1 x 2 u 2 x 1 v 2 x 2 x 1 x 2 x 3 end pmatrix rightarrow left frac u 1 x 1 v 1 x 2 x 1 x 2 x 3 frac u 2 x 1 v 2 x 2 x 1 x 2 x 3 right quad nbsp abgebildet falls x1 x2 x3 0 displaystyle x 1 x 2 x 3 neq 0 nbsp ist Ein Punkt 3 h displaystyle xi eta nbsp der 3 displaystyle xi nbsp h displaystyle eta nbsp Ebene wird dabei durch den Spaltenvektor 3 h 1 T displaystyle xi eta 1 T nbsp reprasentiert siehe homogene Koordinaten Ein Fernpunkt hat die Darstellung 0 T displaystyle cdots cdots 0 T nbsp Koordinatentransformation wesentlicher PunkteU 1 0 0 T u1 u2 V 0 1 0 T v1 v2 displaystyle U 1 0 0 T rightarrow u 1 u 2 quad V 0 1 0 T rightarrow v 1 v 2 nbsp O 0 0 0 0 A a 0 a1 a2 B 0 b b1 b2 displaystyle O 0 0 rightarrow 0 0 quad A a 0 rightarrow a 1 a 2 quad B 0 b rightarrow b 1 b 2 nbsp Man beachte dass a 1s 1 ui sai b 1t 1 vi tbi displaystyle a tfrac 1 s 1 u i sa i quad b tfrac 1 t 1 v i tb i nbsp ist g 3 h 1 0 displaystyle g infty xi eta 1 0 nbsp ist Gleichung der Ferngerade der x y Ebene Ihr Fernpunkt ist 1 1 0 T displaystyle 1 1 0 T nbsp 1 1 0 T u1 v1 u2 v2 0 T displaystyle 1 1 0 T rightarrow u 1 v 1 u 2 v 2 0 T nbsp Der Fernpunkt von g displaystyle g infty nbsp in der 3 displaystyle xi nbsp h displaystyle eta nbsp Ebene geht also in einen Fernpunkt der x y Ebene uber den Fernpunkt der Gerade UV displaystyle overline UV nbsp Dies bedeutet Die zwei in 3 displaystyle xi nbsp h displaystyle eta nbsp Koordinaten zu g displaystyle g infty nbsp parallelen Tangenten der Hyperbel sind auch in den x y Koordinaten parallel Die Beruhrpunkte dieser Tangenten sind Di ab2 ab2 12 ab1 ab u1 v1 u2 v2 displaystyle D i frac pm sqrt ab 2 frac pm sqrt ab 2 rightarrow frac 1 2 frac pm sqrt ab 1 pm sqrt ab u 1 v 1 u 2 v 2 nbsp Da in der x y Ebene die Ellipsentangenten in den Punkten D1 D2 displaystyle D 1 D 2 nbsp parallel sind ist D1D2 displaystyle D 1 D 2 nbsp ein Durchmesser der Ellipse d h der Mittelpunkt der Strecke D1D2 displaystyle D 1 D 2 nbsp ist der Mittelpunkt M displaystyle M nbsp der Ellipse M 12abab 1 u1 v1 u2 v2 displaystyle M frac 1 2 frac ab ab 1 left u 1 v 1 u 2 v 2 right nbsp Man pruft leicht nach dass M displaystyle M nbsp die 3 displaystyle xi nbsp h displaystyle eta nbsp Darstellung M ab2 ab2 displaystyle M frac ab 2 frac ab 2 nbsp hat Um den zu D1D2 displaystyle D 1 D 2 nbsp konjugierten Ellipsendurchmesser zu finden muss man in der 3 displaystyle xi nbsp h displaystyle eta nbsp Ebene die Schnittpunkte E1 E2 displaystyle E 1 E 2 nbsp der zu den Tangenten parallele Gerade durch M displaystyle M nbsp sie hat die Gleichung 3 h ab 0 displaystyle xi eta ab 0 nbsp mit der Hyperbel bestimmen Es ergibt sich Ei ab ab ab 1 2 ab ab ab 1 2 displaystyle E i tfrac ab pm sqrt ab ab 1 2 tfrac ab mp sqrt ab ab 1 2 nbsp Und in x y Koordinaten Ei 12abab 1 u1 v1 u2 v2 12ab ab 1 ab 1 u1 v1 u2 v2 displaystyle E i frac 1 2 frac ab ab 1 left u 1 v 1 u 2 v 2 right pm frac 1 2 frac sqrt ab ab 1 ab 1 left u 1 v 1 u 2 v 2 right nbsp Aus den beiden konjugierten Durchmessern D1D2 E1E2 displaystyle D 1 D 2 E 1 E 2 nbsp lassen sich zwei vektorielle konjugierte Halbmesser f 1 f 2 displaystyle vec f 1 vec f 2 nbsp ermitteln f 1 MD1 12abab 1 u1 v1 u2 v2 displaystyle vec f 1 vec MD 1 frac 1 2 frac sqrt ab ab 1 u 1 v 1 u 2 v 2 nbsp f 2 ME1 12abab 1 u1 v1 u2 v2 displaystyle vec f 2 vec ME 1 frac 1 2 sqrt frac ab ab 1 u 1 v 1 u 2 v 2 nbsp Damit ergibt sich eine trigonometrische Parameterdarstellung der Inellipse x OM f 1cos f f 2sin f displaystyle vec x vec OM vec f 1 cos varphi vec f 2 sin varphi nbsp Hieraus lassen sich wie bei der Steiner Ellipse die Halbachsen Exzentrizitat der Flacheninhalt die Scheitel und eine Gleichung in x y Koordinaten der Inellipse berechnen Fur den Beruhrpunkt W displaystyle W nbsp der Seite AB displaystyle AB nbsp gilt W a2 b2 u1a v1ba b 2 u2a v2ba b 2 displaystyle W frac a 2 frac b 2 rightarrow left frac u 1 a v 1 b a b 2 frac u 2 a v 2 b a b 2 right nbsp Der Brianchon Punkt der Inellipse ist der gemeinsame Punkt K displaystyle K nbsp der drei Geraden AV BU OW displaystyle overline AV overline BU overline OW nbsp Man berechnet zunachst K displaystyle K nbsp in der 3 displaystyle xi nbsp h displaystyle eta nbsp Ebene als Schnitt der drei Geraden 3 a h b ah b3 0 displaystyle xi a eta b a eta b xi 0 nbsp und transformiert den Schnittpunkt in die x y Ebene Es ergibt sich K a b u1a v1ba b 1 u2a v2ba b 1 displaystyle K a b rightarrow left frac u 1 a v 1 b a b 1 frac u 2 a v 2 b a b 1 right nbsp Die punktweise Transformation der Hyperbel h ab43 displaystyle eta frac ab 4 xi nbsp liefert eine rationale Parameterdarstellung der Inellipse 3 ab43 4u132 v1ab432 43 ab 4u232 v2ab432 43 ab lt 3 lt displaystyle xi frac ab 4 xi rightarrow left frac 4u 1 xi 2 v 1 ab 4 xi 2 4 xi ab frac 4u 2 xi 2 v 2 ab 4 xi 2 4 xi ab right infty lt xi lt infty nbsp Inkreis nbsp Inkreis eines DreiecksFur den Inkreis gilt OU OV displaystyle OU OV nbsp und damit 1 s OA t OB displaystyle s OA t OB nbsp Ferner gilt in diesem Fall 2 1 s OA 1 t OB AB displaystyle 1 s OA 1 t OB AB nbsp s Bild Lost man beide Gleichungen nach s t displaystyle s t nbsp auf erhalt man 3 s OA OB AB 2 OA t OA OB AB 2 OB displaystyle s tfrac OA OB AB 2 OA t tfrac OA OB AB 2 OB nbsp Um den Mittelpunkt zu bestimmen berechnet man zunachst mit Hilfe von 1 und 3 1 1 ab 1 s 1 t 1 st s t s2 OB OA OB AB displaystyle 1 1 ab 1 s 1 t 1 st s t cdots tfrac s 2 OB OA OB AB nbsp Also ist OM OB s OA OB AB sOA tOB OB OA OA OB OA OB AB displaystyle vec OM tfrac OB s OA OB AB s vec OA t vec OB cdots tfrac OB vec OA OA vec OB OA OB AB nbsp Mandart InellipseDie Parameter s t displaystyle s t nbsp fur die Mandart Inellipse ergeben sich aus den Angaben fur die Abstande der Beruhrpunkte der Ankreise s Ankreis von den Ecken Brocard InellipseDie Brocard Inellipse wird durch die Vorgabe ihres Brianchon Punktes K displaystyle K nbsp festgelegt Er hat in trilinearen Koordinaten die einfache Darstellung K OB OA AB displaystyle K OB OA AB nbsp 1 Rechnet man die trilinearen Koordinaten in die hier geeignete Darstellung K k1OA k2OB displaystyle K k 1 vec OA k 2 vec OB nbsp um so erhalt man k1 OB 2 OB 2 OA 2 AB 2 k2 OA 2 OB 2 OA 2 AB 2 displaystyle k 1 tfrac OB 2 OB 2 OA 2 AB 2 k 2 tfrac OA 2 OB 2 OA 2 AB 2 nbsp Sind andererseits die Parameter s t displaystyle s t nbsp einer Inellipse vorgegeben so ergibt sich aus der obigen Formel fur K displaystyle K nbsp dass k1 s t 1 st 1 k2 t s 1 st 1 displaystyle k 1 tfrac s t 1 st 1 k 2 tfrac t s 1 st 1 nbsp ist Setzt man die Ausdrucke fur k1 k2 displaystyle k 1 k 2 nbsp jeweils gleich und lost nach s t displaystyle s t nbsp auf so ergibt sich s OB 2 OB 2 AB 2 t OA 2 OA 2 AB 2 displaystyle s tfrac OB 2 OB 2 AB 2 quad t tfrac OA 2 OA 2 AB 2 nbsp Inellipse mit maximalem Flacheninhalt BearbeitenDie Steiner Inellipse hat den grossten Flacheninhalt von allen Inellipsen eines Dreiecks NachweisAus einem Satz von Apollonios folgt dass der Flacheninhalt einer Ellipse mit den konjugierten Halbmessern f 1 f 2 displaystyle vec f 1 vec f 2 nbsp gleich F p det f 1 f 2 displaystyle F pi left det vec f 1 vec f 2 right quad nbsp ist s Artikel Steiner Ellipse Fur die Inellipse mit den Parametern s t displaystyle s t nbsp ist s o det f 1 f 2 14ab ab 1 3 2det sa tb sa tb displaystyle det vec f 1 vec f 2 frac 1 4 frac ab ab 1 3 2 det s vec a t vec b s vec a t vec b nbsp 12ss 1tt 1 1 s 1 t 1 3 2det b a displaystyle frac 1 2 frac s sqrt s 1 t sqrt t 1 1 s 1 t 1 3 2 det vec b vec a nbsp dd dd dd dd Es ist a a1 a2 b b1 b2 u u1 u2 v v1 v2 u sa v tb displaystyle vec a a 1 a 2 vec b b 1 b 2 vec u u 1 u 2 vec v v 1 v 2 vec u s vec a vec v t vec b nbsp Man beachte die Regeln fur Determinanten Um die Wurzeln bei der Berechnung zu vermeiden genugt es die Extremstellen der Funktion G s t s2 s 1 t2 t 1 1 s 1 t 1 3 displaystyle G s t tfrac s 2 s 1 t 2 t 1 1 s 1 t 1 3 nbsp zu bestimmen Gs 0 3s 2 2 s 1 t 1 0 displaystyle G s 0 rightarrow 3s 2 2 s 1 t 1 0 nbsp Wegen G s t G t s displaystyle G s t G t s nbsp ergibt sich durch Vertauschen von s und t Gt 0 3t 2 2 s 1 t 1 0 displaystyle G t 0 rightarrow 3t 2 2 s 1 t 1 0 nbsp Auflosen der beiden Gleichungen nach s und t liefert s t 12 displaystyle s t frac 1 2 quad nbsp d h Die Steiner Inellipse ist die Inellipse mit maximalem Flacheninhalt Inellipse und baryzentrische Koordinaten Bearbeiten nbsp Inellipse und baryzentrische Koordinaten nbsp Richtungen konjugierter Durchmesser und MittelpunktFuhrt man fur eine baryzentrische Beschreibung mit O 1 0 0 A 0 1 0 B 0 0 1 displaystyle O 1 0 0 A 0 1 0 B 0 0 1 nbsp Parameter u v displaystyle u v nbsp so ein dass U 1 u 0 V 1 0 v displaystyle U 1 u 0 V 1 0 v nbsp ist so gilt zwischen den obigen Parametern s t displaystyle s t nbsp und u v displaystyle u v nbsp u s1 s v t1 t displaystyle u tfrac s 1 s v tfrac t 1 t nbsp und umgekehrt s u1 u t v1 v displaystyle s tfrac u 1 u t tfrac v 1 v nbsp Der 3 Beruhrpunkt ist dann W 0 u v displaystyle W 0 u v nbsp und der Brianchonpunkt K displaystyle K nbsp hat die einfache Darstellung K 1 u v displaystyle K 1 u v nbsp Hieran erkennt man dass die Inellipse auch durch die Lage ihres Brianchonpunktes und des Dreiecks eindeutig beschrieben wird Der Mittelpunkt der Ellipse ist M u v u 1 v 1 u v displaystyle M big u v u 1 v 1 u v big nbsp Dieses Ergebnis kann man aus der obigen Formel fur den Mittelpunkt ableiten oder die Eigenschaft Der Mittelpunkt MUV displaystyle M UV nbsp der Sehne U V displaystyle U V nbsp liegt auf der Gerade OM displaystyle overline OM nbsp verwenden Die Richtungen der Geraden OM UV displaystyle overline OM overline UV nbsp sind bezuglich der Ellipse konjugiert Diese Eigenschaft gilt entsprechend auch fur AM displaystyle overline AM nbsp und BM displaystyle overline BM nbsp M displaystyle M nbsp kann also in baryzentrischen Koordinaten als Schnittpunkt der Geraden OMUV AMUW displaystyle overline OM UV overline AM UW nbsp berechnet werden Aber auch die zeichnerische Bestimmung von M displaystyle M nbsp ist damit moglich Der Vorteil der baryzentrischen Beschreibung besteht in ihrer Ubersichtlichkeit Die x y Koordinaten von Punkten lassen sich leicht aus ihren baryzentrischen Koordinaten mit der Schwerpunkt Formel berechnen nbsp 3 sich beruhrende Inellipsen in einem DreieckSiehe auch BearbeitenSteiner EllipseWeblinks BearbeitenDarij Grinberg Uber einige Satze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie Circumconic at MathWorld Inconic at MathWorldEinzelnachweise Bearbeiten Imre Juhasz Control point based representation of inellipses of triangles Annales Mathematicae et Informaticae 40 2012 pp 37 46 S 44 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Inellipse amp oldid 241739731 Mandart Inellipse
