Nachfolgend finden sich eine Ubersicht und kategoriale Einordnung stochastischer Prozesse sowie die stochastischen Differentialgleichungen SDGL der Prozesse und deren Losungen Inhaltsverzeichnis 1 Markow Prozesse 1 1 Affine Prozesse 1 1 1 Levy Prozesse 1 2 Itō Prozesse 1 2 1 Verallgemeinerter Wiener Prozess verallgemeinerte Brownsche Bewegung 1 2 2 Weitere Itō Prozesse 2 Gauss Prozesse 2 1 Gauss Markow Prozesse 3 Feller ProzesseMarkow Prozesse BearbeitenMarkow Prozesse erfullen die Markow Eigenschaft Zu den Markow Prozessen zahlen u a die affinen Prozesse und die Itō Prozesse Affine Prozesse Bearbeiten Zu den affinen Prozessen zahlen u a die Levy Prozesse also auch der Wiener Prozess und der Poisson Prozess ausserdem einige Itō Prozesse wie z B der Ornstein Uhlenbeck Prozess und der Wurzel Diffusionsprozess Levy Prozesse Bearbeiten Levy Prozesse sind Prozesse mit unabhangigen und stationaren Zuwachsen Zu den Levy Prozessen zahlen u a die Poisson Prozesse Gamma ProzessDer Gamma Prozess G t g l displaystyle Gamma t gamma lambda nbsp ist ein reiner Sprung Levy Prozess mit Intensitatsmass n x g x 1 exp l x displaystyle nu x gamma x 1 exp lambda x nbsp Varianz Gamma ProzessX t 8 s n B G t 1 n 8 s t 0 displaystyle X t theta sigma nu B Gamma t 1 nu theta sigma qquad t geq 0 nbsp Poisson ProzesseZusammengesetzter Poisson ProzessX t n 1 N t Y n displaystyle X t sum n 1 N t Y n nbsp Inhomogener Poisson ProzessDie Intensitat ist zeitabhangig l t displaystyle lambda t nbsp Raumlicher Poisson ProzessDie Intensitat ist zeit und Vektor raumabhangig l t x displaystyle lambda t x nbsp Cox ProzessDie Intensitat ist eine Zufallsvariable Itō Prozesse Bearbeiten Itō ProzessX t X 0 0 t u s X s d s 0 t v s X s d W s displaystyle X t X 0 int 0 t u s X s ds int 0 t v s X s dW s nbsp SDGL d X t u t X t d t v t X t d W t displaystyle mathrm d X t u t X t dt v t X t dW t nbsp Verallgemeinerter Wiener Prozess verallgemeinerte Brownsche Bewegung Bearbeiten Der verallgemeinerte Wiener Prozess ist sowohl Gauss als auch Itō Prozess X t 0 t f s d s 0 t g s d W s displaystyle X t int 0 t f s mathrm d s int 0 t g s mathrm d W s nbsp SDGL d X t f t d t g t d W t displaystyle mathrm d X t f t mathrm d t g t mathrm d W t nbsp Einfache Form X t m t s W t displaystyle X t mu t sigma W t nbsp SDGL d X t m d t s d W t displaystyle mathrm d X t mu mathrm d t sigma mathrm d W t nbsp Standard Wiener Prozess Standard Brownsche BewegungX t W t 0 t d W s displaystyle X t W t int 0 t dW s nbsp SDGL d X t d W t displaystyle mathrm d X t mathrm d W t nbsp Weitere Itō Prozesse Bearbeiten Geometrische Brownsche BewegungX t X 0 e m s 2 2 t s W t displaystyle X t X 0 e mu frac sigma 2 2 t sigma W t nbsp SDGL d X t m X t d t s X t d W t displaystyle mathrm d X t mu X t mathrm d t sigma X t mathrm d W t nbsp Ornstein Uhlenbeck ProzessSDGL d X t 8 m X t d t s d W t X 0 a displaystyle dX t theta mu X t dt sigma dW t X 0 a nbsp Wurzel Diffusionsprozess CIR ProzessSDGL d X t k 8 X t d t s X t d W t displaystyle dX t kappa theta X t dt sigma sqrt X t dW t nbsp Bessel ProzessX t W t 2 displaystyle X t W t 2 nbsp SDGL d X t d W t n 1 2 d t X t displaystyle mathrm d X t mathrm d W t frac n 1 2 frac mathrm d t X t nbsp Gauss Prozesse Bearbeiten X t t T displaystyle X t t in T nbsp ist ein Gauss Prozess falls fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp gilt t 1 t 2 t n T displaystyle forall t 1 t 2 ldots t n in T nbsp ist X t 1 X t 2 X t n displaystyle X t 1 X t 2 ldots X t n nbsp durch eine n dimensionale Normalverteilung gegeben Zu den Gauss Prozessen zahlen u a die Gauss Itō Prozesse z B der Wiener Prozess der Ornstein Uhlenbeck Prozess die Brownsche Brucke und die fraktionelle Brownsche Bewegung Gauss Markow Prozesse Bearbeiten Gauss Markow Prozesse besitzen sowohl die Markow Eigenschaft als auch die Eigenschaft von Gauss Prozessen Brownsche BruckeDie Brownsche Brucke ist ein Gauss Markow Prozess d h ein Gauss Prozess mit der Markow Eigenschaft B t W t W T 0 t 0 T displaystyle B t W t W T 0 t in 0 T nbsp Feller Prozesse BearbeitenEin Feller Prozess ist ein Markow Prozess mit der Feller Ubergangsfunktion die zu einer Feller Halbgruppe gehort Zu den Feller Prozessen zahlen u a die Levy Prozesse der Bessel Prozess und die Losungen von SDGL mit Lipschitz stetigen Koeffizienten Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Liste stochastischer Prozesse amp oldid 235768496
