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Brownsche Brücke Eine brownsche Brücke ist ein spezieller stochastischer Prozess der aus dem Wiener Prozess auch brownsc

Brownsche Brücke

Eine brownsche Brücke ist ein spezieller stochastischer Prozess, der aus dem Wiener-Prozess (auch brownsche Bewegung genannt) hervorgeht. Im Gegensatz zu diesem hat sie aber einen endlichen Zeithorizont mit einem deterministischen (also nicht zufälligen) Endwert, der im Normalfall gleich dem Startwert ist. Die brownsche Brücke wird zur Modellierung von zufälligen Entwicklungen in Daten verwendet, deren Wert aber zu zwei Zeitpunkten bekannt ist.

Zwei Pfade einer brownschen Brücke mit Zeithorizont 1. Die Ellipse beschreibt für jeden Zeitpunkt den Bereich , wobei die jeweilige Standardabweichung der Marginalverteilung ist.

Definition Bearbeiten

Sei ein Standard-Wiener-Prozess und ein fest gewählter Zeitpunkt. Dann heißt der Prozess

brownsche Brücke der Länge . Für ergibt sich die Standard-brownsche-Brücke.

Eigenschaften Bearbeiten

Jeder Pfad der brownschen Brücke kehrt zum Zeitpunkt wieder zur Null zurück, es gilt . Daher auch der Name des Prozesses: Es wird eine Brücke zwischen 0 und geschlagen, wo man dann wieder „festen Boden unter den Füßen“ hat.

Eine brownsche Brücke kann als eine Modifikation eines Wienerprozesses gesehen werden, bei dem nur die Prozessrealisationen betrachtet werden, die zum Zeitpunkt den Wert Null habe. Formal bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von zu jedem Zeitpunkt durch die (reguläre) bedingte Wahrscheinlichkeit

gegeben ist.

Einige fundamentale Eigenschaften des Wiener-Prozesses bleiben beim Übergang zur brownschen Brücke erhalten, andere jedoch gehen verloren:

Insbesondere gilt also für die Varianz: .

  • Die brownsche Brücke ist ein Markow-Prozess, aber im Gegensatz zur brownschen Bewegung weder Lévy-Prozess noch Martingal.
  • Die brownsche Brücke ist ein Gauß-Prozess, also durch die obige Erwartungswert- und Kovarianzfunktion bereits eindeutig bestimmt.

Simulation Bearbeiten

Zur Simulation einer brownschen Brücke stehen einem prinzipiell dieselben Möglichkeiten zur Verfügung wie beim Wiener-Prozess, denn aus einem Wiener-Prozess lässt sich durch eine brownsche Brücke mit Zeithorizont gewinnen. Man kann also einfach eine brownsche Bewegung bis zum Zeitpunkt simulieren und dann mit obiger Transformation in eine brownsche Brücke umwandeln.

Es bestehen aber noch andere Möglichkeiten: Wird die brownsche Bewegung mittels einer dyadischen Zerlegung (verwirrenderweise wird diese Methode oft ebenfalls als brownsche Brücke bezeichnet) oder Spektralzerlegung erzeugt, so kann man dort einfach den ersten Schritt weglassen, der den Endpunkt bestimmt, und man erhält dann automatisch eine brownsche Brücke. Im Falle der Spektralzerlegung würde die Darstellung also

Verallgemeinerungen Bearbeiten

  • Alternativ zur obigen Definition, die garantiert, ist es auch möglich, für jedes beliebige eine Brücke zu definieren, die auf einem beliebigen, vorher festgelegten Niveau endet (bildlich gesprochen wird dabei aus der Brücke eine Rampe). Die dazugehörige Transformation lautet dann

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Es handelt sich nicht um eine elementare bedingte Wahrscheinlichkeit, da gilt. Es existiert aber eine reguläre bedingte Wahrscheinlichkeit, da die Zufallsvariablen reellwertig sind.

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Eine brownsche Brucke ist ein spezieller stochastischer Prozess der aus dem Wiener Prozess auch brownsche Bewegung genannt hervorgeht Im Gegensatz zu diesem hat sie aber einen endlichen Zeithorizont mit einem deterministischen also nicht zufalligen Endwert der im Normalfall gleich dem Startwert ist Die brownsche Brucke wird zur Modellierung von zufalligen Entwicklungen in Daten verwendet deren Wert aber zu zwei Zeitpunkten bekannt ist Zwei Pfade einer brownschen Brucke mit Zeithorizont 1 Die Ellipse beschreibt fur jeden Zeitpunkt den Bereich 2 s t 2 s t displaystyle 2 sigma t 2 sigma t wobei s t displaystyle sigma t die jeweilige Standardabweichung der Marginalverteilung ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Simulation 4 Verallgemeinerungen 5 Anmerkungen 6 LiteraturDefinition BearbeitenSei W t t 0 displaystyle W t t geq 0 nbsp ein Standard Wiener Prozess und T 0 displaystyle T geq 0 nbsp ein fest gewahlter Zeitpunkt Dann heisst der Prozess B t W t t T W T 0 t T displaystyle B t W t frac t T W T quad 0 leq t leq T nbsp brownsche Brucke der Lange T displaystyle T nbsp Fur T 1 displaystyle T 1 nbsp ergibt sich die Standard brownsche Brucke Eigenschaften BearbeitenJeder Pfad der brownschen Brucke kehrt zum Zeitpunkt T displaystyle T nbsp wieder zur Null zuruck es gilt P B 1 B T 0 1 displaystyle P B 1 B T 0 1 nbsp Daher auch der Name des Prozesses Es wird eine Brucke zwischen 0 und T displaystyle T nbsp geschlagen wo man dann wieder festen Boden unter den Fussen hat Eine brownsche Brucke kann als eine Modifikation eines Wienerprozesses gesehen werden bei dem nur die Prozessrealisationen betrachtet werden die zum Zeitpunkt T displaystyle T nbsp den Wert Null habe Formal bedeutet dies dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von B displaystyle B nbsp zu jedem Zeitpunkt t displaystyle t nbsp durch die regulare bedingte Wahrscheinlichkeit 1 P B t x P W t x W T 0 fur alle x R displaystyle P B t leq x P W t leq x mid W T 0 quad text fur alle x in mathbb R nbsp gegeben ist Einige fundamentale Eigenschaften des Wiener Prozesses bleiben beim Ubergang zur brownschen Brucke erhalten andere jedoch gehen verloren Die brownsche Brucke hat fast sicher uberall stetige nirgends differenzierbare Pfade Die Erwartungswertfunktion der brownschen Brucke ist konstant t E B t 0 displaystyle t mapsto E B t 0 nbsp Die Kovarianzfunktion ist s t Cov B s B t min s t s t T displaystyle s t mapsto operatorname Cov B s B t min s t frac st T nbsp Insbesondere gilt also fur die Varianz Var B t t T t T displaystyle operatorname Var B t frac t T t T nbsp Die brownsche Brucke ist ein Markow Prozess aber im Gegensatz zur brownschen Bewegung weder Levy Prozess noch Martingal Die brownsche Brucke ist ein Gauss Prozess also durch die obige Erwartungswert und Kovarianzfunktion bereits eindeutig bestimmt Simulation BearbeitenZur Simulation einer brownschen Brucke stehen einem prinzipiell dieselben Moglichkeiten zur Verfugung wie beim Wiener Prozess denn aus einem Wiener Prozess W t t 0 displaystyle W t t geq 0 nbsp lasst sich durch B t W t t T W T displaystyle B t W t frac t T W T nbsp eine brownsche Brucke mit Zeithorizont T displaystyle T nbsp gewinnen Man kann also einfach eine brownsche Bewegung bis zum Zeitpunkt T displaystyle T nbsp simulieren und dann mit obiger Transformation in eine brownsche Brucke umwandeln Es bestehen aber noch andere Moglichkeiten Wird die brownsche Bewegung mittels einer dyadischen Zerlegung verwirrenderweise wird diese Methode oft ebenfalls als brownsche Brucke bezeichnet oder Spektralzerlegung erzeugt so kann man dort einfach den ersten Schritt weglassen der den Endpunkt W T displaystyle W T nbsp bestimmt und man erhalt dann automatisch eine brownsche Brucke Im Falle der Spektralzerlegung wurde die Darstellung also B t k 1 Z k 2 sin k p t k p displaystyle B t sum k 1 infty Z k frac sqrt 2 sin k pi t k pi nbsp lauten wobei Z 1 Z 2 displaystyle Z 1 Z 2 ldots nbsp unabhangig standardnormalverteilt sind Verallgemeinerungen BearbeitenAlternativ zur obigen Definition die B T 0 displaystyle B T 0 nbsp garantiert ist es auch moglich fur jedes beliebige c R displaystyle c in mathbb R nbsp eine Brucke zu definieren die auf einem beliebigen vorher festgelegten Niveau c displaystyle c nbsp endet bildlich gesprochen wird dabei aus der Brucke eine Rampe Die dazugehorige Transformation lautet dannB t W t t T W T c 0 t T displaystyle B t W t frac t T W T c quad 0 leq t leq T nbsp dd Zusatzlich kann man die ursprungliche brownsche Bewegung auch mit einer beliebigen Volatilitat s displaystyle sigma nbsp versehen siehe hierzu verallgemeinerter Wiener Prozess Die Formeln fur Erwartungswert und Kovarianz lauten dannE B t c t T displaystyle operatorname E B t frac ct T nbsp beziehungsweise Cov B t B s s 2 min s t s t T displaystyle operatorname Cov B t B s sigma 2 left min s t frac st T right nbsp Interessanterweise hat also s displaystyle sigma nbsp keinen Einfluss auf den Erwartungswert und c keinen auf die Kovarianz Ein eventueller Drift in der brownschen Bewegung wurde die Verteilung des Prozesses uberhaupt nicht beeinflussen Anmerkungen Bearbeiten Es handelt sich nicht um eine elementare bedingte Wahrscheinlichkeit da P W T 0 0 displaystyle P W T 0 0 nbsp gilt Es existiert aber eine regulare bedingte Wahrscheinlichkeit da die Zufallsvariablen reellwertig sind Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Brownsche Brucke amp oldid 237453385