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Lineare Vorhersage engl linear prediction ist ein mathematisches Verfahren der Zeitreihenanalyse welches zukünftige Wert

Lineare Vorhersage

Lineare Vorhersage (engl. linear prediction) ist ein mathematisches Verfahren der Zeitreihenanalyse, welches zukünftige Werte eines Signals bzw. einer diskreten Zeitreihe als eine lineare Funktion der Werte der Vergangenheit der gleichen Zeitreihe schätzt.

Eine Variante ist das ökonometrische Verfahren, welches zusätzlich die Werte einer weiteren Zeitreihe berücksichtigt, von denen die betrachtete Zeitreihe abhängt,.

Für zentrierte, reelle und stationäre Zeitreihen sind die Koeffizienten der Schätzfunktionen durch die Yule-Walker-Gleichungen gegeben, dies entspricht der Modellierung durch einen AR(p)-Prozess. Weiter werden Verfahren der orthogonalen Projektion (Gram-Schmidt-Verfahren) angewendet.

Die Bezeichnung linear prediction wird auch abkürzend für die Anwendung dieser Theorie in der digitalen Signalverarbeitung verwendet, siehe linear predictive coding.

Mathematische Darstellung Bearbeiten

Eine übliche (eindimensionale) Darstellung ist

mit und , wobei der vorhergesagte Wert, die bereits beobachteten Werte und die Schätzkoeffizienten darstellen. Der Schätzfehler hat die Darstellung

worin den wahren Wert zum Zeitpunkt bezeichnet.

Die Prognoseverfahren unterscheiden sich in der Art und Weise, wie die Parameter bestimmt werden. Üblicherweise werden die Parameter so bestimmt, dass der mittlere quadratische Fehler minimiert wird. Dann spricht man von einer Besten Linearen Erwartungstreuen Vorhersage, kurz BLEV (englisch Best Linear Unbiased Prediction, kurz BLUP). BLUP als auch BLUE wurden in den 1950er Jahren von Charles Roy Henderson eingeführt.

Für mehrdimensionale Zeitreihen wird eine Fehlermetrik der Gestalt

definiert, wobei für eine geeignete Vektornorm gewählt wird.

Literatur Bearbeiten

  • Jens-Peter Kreiß und Georg Neuhaus: Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer-Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-33571-4.
  • Robinson, G.K. (1991). That BLUP is a Good Thing: The Estimation of Random Effects. Statistical Science 6 (1): 15–32. doi:10.1214/ss/1177011926 JSTOR:2245695

Weblinks Bearbeiten

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Lineare Vorhersage engl linear prediction ist ein mathematisches Verfahren der Zeitreihenanalyse welches zukunftige Werte eines Signals bzw einer diskreten Zeitreihe als eine lineare Funktion der Werte der Vergangenheit der gleichen Zeitreihe schatzt Eine Variante ist das okonometrische Verfahren welches zusatzlich die Werte einer weiteren Zeitreihe berucksichtigt von denen die betrachtete Zeitreihe abhangt Fur zentrierte reelle und stationare Zeitreihen sind die Koeffizienten der Schatzfunktionen durch die Yule Walker Gleichungen gegeben dies entspricht der Modellierung durch einen AR p Prozess Weiter werden Verfahren der orthogonalen Projektion Gram Schmidt Verfahren angewendet Die Bezeichnung linear prediction wird auch abkurzend fur die Anwendung dieser Theorie in der digitalen Signalverarbeitung verwendet siehe linear predictive coding Mathematische Darstellung BearbeitenEine ubliche eindimensionale Darstellung ist x n i 1 p a i x n i displaystyle widehat x n sum i 1 p a i x n i nbsp mit p n N displaystyle p n in mathbb N nbsp und x i R displaystyle x i in mathbb R nbsp wobei x n displaystyle widehat x n nbsp der vorhergesagte Wert x n i displaystyle x n i nbsp die bereits beobachteten Werte und a i R displaystyle a i in mathbb R nbsp die Schatzkoeffizienten darstellen Der Schatzfehler hat die Darstellung e n x n x n displaystyle e n x n widehat x n nbsp worin x n displaystyle x n nbsp den wahren Wert zum Zeitpunkt n displaystyle n nbsp bezeichnet Die Prognoseverfahren unterscheiden sich in der Art und Weise wie die Parameter a i displaystyle a i nbsp bestimmt werden Ublicherweise werden die Parameter so bestimmt dass der mittlere quadratische Fehler minimiert wird Dann spricht man von einer Besten Linearen Erwartungstreuen Vorhersage kurz BLEV englisch Best Linear Unbiased Prediction kurz BLUP BLUP als auch BLUE wurden in den 1950er Jahren von Charles Roy Henderson eingefuhrt Fur mehrdimensionale Zeitreihen wird eine Fehlermetrik der Gestalt e n x n x n displaystyle e n x n widehat x n nbsp definiert wobei fur displaystyle cdot nbsp eine geeignete Vektornorm gewahlt wird Literatur BearbeitenJens Peter Kreiss und Georg Neuhaus Einfuhrung in die Zeitreihenanalyse Springer Verlag Berlin 2006 ISBN 3 540 33571 4 Robinson G K 1991 That BLUP is a Good Thing The Estimation of Random Effects Statistical Science 6 1 15 32 doi 10 1214 ss 1177011926 JSTOR 2245695Weblinks BearbeitenVorhersage bei stationaren Zeitreihen abgerufen am 20 Juli 2018 The Theory of Linear Prediction abgerufen am 20 Juli 2018 Linear Prediction abgerufen am 20 Juli 2018 The History of Linear Prediction abgerufen am 20 Juli 2018 Linear Prediction The Technique Its Solution and Application to Speech abgerufen am 20 Juli 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lineare Vorhersage amp oldid 201351022