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Yule Walker Gleichungen Die nach Gilbert Walker und George Udny Yule werden in der Zeitreihenanalyse die zur Statistik g

Yule-Walker-Gleichungen

Die Yule-Walker-Gleichungen (nach Gilbert Walker und George Udny Yule) werden in der Zeitreihenanalyse, die zur Statistik gehört, zum Schätzen der Parameter von AR(MA)-Prozessen verwendet. Sie stellen einen Zusammenhang her zwischen Autoregressionskoeffizienten und der Autokovarianzfolge des Prozesses.

Die Gleichungen Bearbeiten

Sei ein stationärer autoregressiver Prozess der Ordnung , also , wobei weißes Rauschen mit Varianz und die Autokovarianzfolge ist. Dann gelten die Yule-Walker Gleichungen:

  1. für
  2. für

Anwendungen Bearbeiten

Mit den obigen Gleichungen können dann folgende Schätzer für die Parameter des Prozesses hergeleitet werden: Sei die (geschätzte) Kovarianzmatrix des Prozesses, ferner sowie . Dann ist

ein konsistenter Schätzer für , der aufgrund der fast sicheren positiven Definitheit der Korrelationsmatrix fast sicher existiert.

Literatur Bearbeiten

  • Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series. Theory and Methods, Springer. 2. verb. Aufl. Springer, New York 2006, ISBN 978-0-387-97429-3.
  • Gebhard Kirchgässner, Jürgen Wolters: Introduction to Modern Time Series Analysis. 1. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-73290-7.
  • P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Yule-Walker-Gleichungen, S. 503.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Yule Walker Gleichungen nach Gilbert Walker und George Udny Yule werden in der Zeitreihenanalyse die zur Statistik gehort zum Schatzen der Parameter von AR MA Prozessen verwendet Sie stellen einen Zusammenhang her zwischen Autoregressionskoeffizienten und der Autokovarianzfolge des Prozesses Die Gleichungen BearbeitenSei X t t Z displaystyle X t t in mathbb Z nbsp ein stationarer autoregressiver Prozess der Ordnung p displaystyle p nbsp also X t k 1 p a k X t k e t displaystyle X t sum k 1 p alpha k X t k varepsilon t nbsp wobei e t t Z displaystyle varepsilon t t in mathbb Z nbsp weisses Rauschen mit Varianz s e 2 displaystyle sigma varepsilon 2 nbsp und r t t Z displaystyle r t t in mathbb Z nbsp die Autokovarianzfolge ist Dann gelten die Yule Walker Gleichungen k 1 p a k r t k r t displaystyle sum k 1 p alpha k r t k r t nbsp fur t gt 0 displaystyle t gt 0 nbsp k 1 p a k r t k r 0 s e 2 displaystyle sum k 1 p alpha k r t k r 0 sigma varepsilon 2 nbsp fur t 0 displaystyle t 0 nbsp Anwendungen BearbeitenMit den obigen Gleichungen konnen dann folgende Schatzer fur die Parameter des Prozesses hergeleitet werden Sei R p r i j i j 1 p displaystyle hat R p hat r i j i j 1 dots p nbsp die geschatzte Kovarianzmatrix des Prozesses ferner r i R p 1 i displaystyle hat r i hat R p 1 i nbsp sowie r p r 1 r p T displaystyle hat r p hat r 1 dots hat r p T nbsp Dann ist a a 1 a 2 a p T R p 1 r p displaystyle hat alpha hat alpha 1 hat alpha 2 dots hat alpha p T hat R p 1 hat r p nbsp ein konsistenter Schatzer fur a displaystyle alpha nbsp der aufgrund der fast sicheren positiven Definitheit der Korrelationsmatrix R p r i j i j 1 p displaystyle R p r i j i j 1 dots p nbsp fast sicher existiert Literatur BearbeitenPeter J Brockwell Richard A Davis Time Series Theory and Methods Springer 2 verb Aufl Springer New York 2006 ISBN 978 0 387 97429 3 Gebhard Kirchgassner Jurgen Wolters Introduction to Modern Time Series Analysis 1 Auflage Springer Berlin 2007 ISBN 978 3 540 73290 7 P H Muller Hrsg Lexikon der Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 5 Auflage Akademie Verlag Berlin 1991 ISBN 978 3 05 500608 1 Yule Walker Gleichungen S 503 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Yule Walker Gleichungen amp oldid 236384682