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Lie Integration Die nach Sophus Lie ist ein Verfahren zur numerischen Integration von Differentialgleichungen Im Gegensa

Lie-Integration

Die Lie-Integration (nach Sophus Lie) ist ein Verfahren zur numerischen Integration von Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu den herkömmlichen Verfahren können die Gleichungen hier durch Differenzieren anstatt durch Integration gelöst werden.

Grundlagen Bearbeiten

Lie-Operator Bearbeiten

Der Lie-Operator D ist ein linearer Differentialoperator: Sei ein Gebiet und (hierbei sei sowie ) von der Gestalt

Die Funktionen sind holomorph (d. h. sie können in eine konvergierende Potenzreihe entwickelt werden).

Lie-Reihen Bearbeiten

Der Lie-Operator kann auf eine Funktion (die in der gleichen Region holomorph ist wie ) angewandt werden:

Die Lie-Reihe L wird nun folgendermaßen definiert:

wobei die zweifache Anwendung des Lie-Operators auf bedeutet, und so weiter. Da die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion durch

gegeben ist, kann die Lie-Reihe symbolisch in folgender Form geschrieben werden:

Vertauschungssatz Bearbeiten

Für die Lie-Reihe gilt ein Vertauschungssatz: Es sei  eine holomorphe Funktion und die in  entwickelte Potenzreihe von  konvergiere im Punkt  mit . Dann gilt

was auch in der Form

geschrieben werden kann. Die letzte Darstellung motiviert die Bezeichnung Vertauschungssatz: Man kann die Anwendungsreihenfolge von  und  vertauschen.

Die Methode Bearbeiten

Die Lösung einer Differentialgleichung durch Lie-Integration funktioniert folgendermaßen. Gegeben sei ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung:

Dann können die Lösungen der Gleichungen durch eine Lie-Reihe beschrieben werden:

wobei hier die Anfangsbedingungen sind. Zum Beweis wird zuerst nach der Zeit abgeleitet:

Der Vertauschungsatz ergibt dann und aus der Definition des Lie-Operators folgt

und damit der Beweis der Aussage:

Beispiel Bearbeiten

Als Demonstration des Verfahrens wird hier die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators mittels Lie-Integration gelöst. Die Bewegung des Oszillators kann durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben werden:

Zuerst wird diese Gleichung in ein System zweier Differentialgleichungen erster Ordnung umgewandelt:

Die Anfangsbedingungen werden als und bezeichnet. Damit hat der Lie-Operator folgende Form:

Die Lösungen der Differentialgleichungen sind nun durch die Lie-Reihen gegeben:

wobei hier den Zeitschritt der Integration darstellt. Um die Lösung explizit darzustellen, wird nun die Lie-Reihe in ihrer entwickelten Form dargestellt:

Nun werden die einzelnen Terme der Reihe berechnet:

Allgemein lässt sich zeigen, dass in diesem Fall gilt:

Nun können die einzelnen Terme in die Lie-Reihe eingesetzt werden:

Nach einer Faktorisierung von und ergibt sich schließlich

Bei den beiden Reihen in den Klammern handelt es sich um die Potenzreihe der Kosinus- bzw. Sinus-Funktion. Damit folgt nun die Lösung der Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators:

Bemerkungen zur Lie-Integration Bearbeiten

  • Da die Lösungen bei der Lie-Integration als Potenzreihe in der unabhängigen Variable (hier ) gegeben ist, ist es sehr einfach, einen Integrations-Algorithmus mit Schrittweitensteuerung anzugeben.
  • Das Verfahren ist bei der numerischen Lösung von Differentialgleichungen sehr exakt. Durch Auswahl des Zeitschritts und der Anzahl der Terme der Lie-Reihe, die für die Lösung berechnet werden, lässt sich die Genauigkeit steuern: je mehr Lie-Terme berechnet werden, desto größer kann der Zeitschritt sein (und umgekehrt).
  • Für viele Differentialgleichungen kann die Berechnung der Terme der Lie-Reihe rekursiv erfolgen. Damit wird das Integrationsverfahren sehr schnell.
  • Zur Lösung einer Differentialgleichung mittels Lie-Integration ist nur Kenntnis über die Ableitungen der Gleichungen notwendig. Diese können aber immer, bis zu einer beliebig hohen Ordnung, bestimmt werden. Außerdem ist die Differentiation von Gleichungen im Gegensatz zur Integration mittels Computeralgebrasystemen (wie z. B. Mathematica oder Maple) komplett automatisierbar.

Aus den oben genannten Gründen wird die Lie-Integration besonders in der Himmelsmechanik zur numerischen Integration der Planetenbewegung verwendet, da hier Schnelligkeit und Genauigkeit von großer Bedeutung sind (siehe Lie-Integrator).

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Gröbner: Die Lie-Reihen und ihre Anwendungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1960, DNB 451675177.
  • Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurths: Chaos and Stability in Planetary Systems. Springer, 2005, ISBN 3-540-28208-4.
  • N. Asghari u. a.: Stability of terrestrial planets in the habitable zone of Gl 777 A, HD 72659, Gl 614, 47 Uma and HD 4208. In: Astronomy & Astrophysics. 426/2004, S. 353–365 ISSN 0004-6361.
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Die Lie Integration nach Sophus Lie ist ein Verfahren zur numerischen Integration von Differentialgleichungen Im Gegensatz zu den herkommlichen Verfahren konnen die Gleichungen hier durch Differenzieren anstatt durch Integration gelost werden Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1 Lie Operator 1 2 Lie Reihen 1 2 1 Vertauschungssatz 2 Die Methode 3 Beispiel 4 Bemerkungen zur Lie Integration 5 LiteraturGrundlagen BearbeitenLie Operator Bearbeiten Der Lie Operator D ist ein linearer Differentialoperator Sei G C n displaystyle G subset mathbb C n nbsp ein Gebiet und D C G C C G C displaystyle D C infty G mathbb C longrightarrow C infty G mathbb C nbsp hierbei sei C G C f G C f holomorph displaystyle C infty G mathbb C f G longrightarrow mathbb C f text holomorph nbsp sowie z z 1 z n G C n displaystyle z z 1 ldots z n in G subset mathbb C n nbsp von der Gestalt D 8 1 z 1 8 2 z 2 8 n z n displaystyle D theta 1 frac partial partial z 1 theta 2 frac partial partial z 2 ldots theta n frac partial partial z n nbsp Die Funktionen 8 i z G C displaystyle theta i z G longrightarrow mathbb C nbsp sind holomorph d h sie konnen in eine konvergierende Potenzreihe entwickelt werden Lie Reihen Bearbeiten Der Lie Operator kann auf eine Funktion f z displaystyle f z nbsp die in der gleichen Region holomorph ist wie 8 i z displaystyle theta i z nbsp angewandt werden D f 8 1 f z 1 8 2 f z 2 8 n f z n displaystyle D f theta 1 frac partial f partial z 1 theta 2 frac partial f partial z 2 ldots theta n frac partial f partial z n nbsp Die Lie Reihe L wird nun folgendermassen definiert L z t n 0 t n n D n f z f z t D f z t 2 2 D 2 f z displaystyle L z t sum nu 0 infty frac t nu nu D nu f z f z tDf z frac t 2 2 D 2 f z ldots nbsp wobei D 2 displaystyle D 2 nbsp die zweifache Anwendung des Lie Operators auf f z displaystyle f z nbsp bedeutet und so weiter Da die Taylor Reihe der Exponentialfunktion durch e x 1 x 1 x 2 2 x 3 3 displaystyle e x left 1 frac x 1 frac x 2 2 frac x 3 3 ldots right nbsp gegeben ist kann die Lie Reihe symbolisch in folgender Form geschrieben werden L z t e t D f z displaystyle L left z t right e tD f left z right nbsp Vertauschungssatz Bearbeiten Fur die Lie Reihe gilt ein Vertauschungssatz Es sei F G C n C n displaystyle F G subset mathbb C n rightarrow mathbb C n nbsp eine holomorphe Funktion und die in z G displaystyle z in G nbsp entwickelte Potenzreihe von F displaystyle F nbsp konvergiere im Punkt Z G displaystyle Z in G nbsp mit Z n 0 t n n D n z displaystyle Z sum nu 0 infty frac t nu nu D nu z nbsp Dann gilt F Z n 0 t n n D n F z displaystyle F left Z right sum nu 0 infty frac t nu nu D nu F z nbsp was auch in der Form F e t D z e t D F z displaystyle F left e tD z right e tD F z nbsp geschrieben werden kann Die letzte Darstellung motiviert die Bezeichnung Vertauschungssatz Man kann die Anwendungsreihenfolge von e t D displaystyle e tD nbsp und F displaystyle F nbsp vertauschen Die Methode BearbeitenDie Losung einer Differentialgleichung durch Lie Integration funktioniert folgendermassen Gegeben sei ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung d z i d t 8 i z displaystyle frac mathrm d z i mathrm d t theta i z nbsp i 0 n displaystyle i 0 ldots n nbsp Dann konnen die Losungen der Gleichungen durch eine Lie Reihe beschrieben werden z i e t D 3 i displaystyle z i e tD xi i nbsp wobei hier 3 i displaystyle xi i nbsp die Anfangsbedingungen z i t 0 displaystyle z i t 0 nbsp sind Zum Beweis wird zuerst z i displaystyle z i nbsp nach der Zeit abgeleitet d z i d t D e t D 3 i displaystyle frac mathrm d z i mathrm d t De tD xi i nbsp Der Vertauschungsatz ergibt dann D e t D 3 i e t D D 3 i displaystyle De tD xi i e tD D xi i nbsp und aus der Definition des Lie Operators folgt D 3 i 8 i 3 i displaystyle D xi i theta i left xi i right nbsp und damit der Beweis der Aussage d z i d t e t D 8 i 3 i 8 i e t D 3 i 8 i z i displaystyle frac mathrm d z i mathrm d t e tD theta i left xi i right theta i left e tD xi i right theta i left z i right nbsp Beispiel BearbeitenAls Demonstration des Verfahrens wird hier die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators mittels Lie Integration gelost Die Bewegung des Oszillators kann durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben werden d 2 x d t 2 a 2 x 0 displaystyle frac mathrm d 2 x mathrm d t 2 alpha 2 x 0 nbsp Zuerst wird diese Gleichung in ein System zweier Differentialgleichungen erster Ordnung umgewandelt d x d t y 8 1 x y displaystyle frac mathrm d x mathrm d t y theta 1 x y nbsp d y d t a 2 x 8 2 x y displaystyle frac mathrm d y mathrm d t alpha 2 x theta 2 x y nbsp Die Anfangsbedingungen werden als x t 0 3 displaystyle x t 0 xi nbsp und y t 0 h displaystyle y t 0 eta nbsp bezeichnet Damit hat der Lie Operator folgende Form D 8 1 3 8 2 h h 3 a 2 3 h displaystyle D theta 1 frac partial partial xi theta 2 frac partial partial eta eta frac partial partial xi alpha 2 xi frac partial partial eta nbsp Die Losungen der Differentialgleichungen sind nun durch die Lie Reihen gegeben x e t D 3 displaystyle x e tau D xi nbsp y e t D h displaystyle y e tau D eta nbsp wobei hier t displaystyle tau nbsp den Zeitschritt t t 0 displaystyle t t 0 nbsp der Integration darstellt Um die Losung explizit darzustellen wird nun die Lie Reihe in ihrer entwickelten Form dargestellt x e t D 3 1 t D t 2 2 D 2 t 3 3 D 3 3 displaystyle x e tau D xi left 1 tau D frac tau 2 2 D 2 frac tau 3 3 D 3 ldots right xi nbsp Nun werden die einzelnen Terme der Reihe berechnet D 3 h 8 1 displaystyle D xi eta theta 1 nbsp D 2 3 D h a 2 3 8 2 displaystyle D 2 xi D eta alpha 2 xi theta 2 nbsp D 3 3 a 2 D 3 a 2 h displaystyle D 3 xi alpha 2 D xi alpha 2 eta nbsp D 4 3 a 2 D h a 4 3 displaystyle D 4 xi alpha 2 D eta alpha 4 xi nbsp D 5 3 a 4 D 3 a 4 h displaystyle D 5 xi alpha 4 D xi alpha 4 eta nbsp D 6 3 a 4 D h a 6 3 displaystyle D 6 xi alpha 4 D eta alpha 6 xi nbsp Allgemein lasst sich zeigen dass in diesem Fall gilt D 2 n 3 1 n a 2 n 3 displaystyle D 2n xi 1 n alpha 2n xi nbsp D 2 n 1 3 1 n a 2 n h displaystyle D 2n 1 xi 1 n alpha 2n eta nbsp Nun konnen die einzelnen Terme in die Lie Reihe eingesetzt werden x 3 t h t 2 2 a 2 3 t 3 3 a 2 h t 4 4 a 4 3 displaystyle x xi tau eta frac tau 2 2 alpha 2 xi frac tau 3 3 alpha 2 eta frac tau 4 4 alpha 4 xi ldots nbsp Nach einer Faktorisierung von 3 displaystyle xi nbsp und h displaystyle eta nbsp ergibt sich schliesslich x 3 1 t 2 2 a 2 t 4 4 a 4 t 6 6 a 6 h a t a t 3 3 a 3 t 5 5 a 5 t 7 7 a 7 displaystyle x xi left 1 frac tau 2 2 alpha 2 frac tau 4 4 alpha 4 frac tau 6 6 alpha 6 ldots right frac eta alpha left tau alpha frac tau 3 3 alpha 3 frac tau 5 5 alpha 5 frac tau 7 7 alpha 7 ldots right nbsp Bei den beiden Reihen in den Klammern handelt es sich um die Potenzreihe der Kosinus bzw Sinus Funktion Damit folgt nun die Losung der Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators x t 3 cos a t h a sin a t displaystyle x t xi cos alpha tau frac eta alpha sin alpha tau nbsp Bemerkungen zur Lie Integration BearbeitenDa die Losungen bei der Lie Integration als Potenzreihe in der unabhangigen Variable hier t displaystyle tau nbsp gegeben ist ist es sehr einfach einen Integrations Algorithmus mit Schrittweitensteuerung anzugeben Das Verfahren ist bei der numerischen Losung von Differentialgleichungen sehr exakt Durch Auswahl des Zeitschritts und der Anzahl der Terme der Lie Reihe die fur die Losung berechnet werden lasst sich die Genauigkeit steuern je mehr Lie Terme berechnet werden desto grosser kann der Zeitschritt sein und umgekehrt Fur viele Differentialgleichungen kann die Berechnung der Terme der Lie Reihe rekursiv erfolgen Damit wird das Integrationsverfahren sehr schnell Zur Losung einer Differentialgleichung mittels Lie Integration ist nur Kenntnis uber die Ableitungen der Gleichungen notwendig Diese konnen aber immer bis zu einer beliebig hohen Ordnung bestimmt werden Ausserdem ist die Differentiation von Gleichungen im Gegensatz zur Integration mittels Computeralgebrasystemen wie z B Mathematica oder Maple komplett automatisierbar Aus den oben genannten Grunden wird die Lie Integration besonders in der Himmelsmechanik zur numerischen Integration der Planetenbewegung verwendet da hier Schnelligkeit und Genauigkeit von grosser Bedeutung sind siehe Lie Integrator Literatur BearbeitenWolfgang Grobner Die Lie Reihen und ihre Anwendungen Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1960 DNB 451675177 Rudolf Dvorak Florian Freistetter J Kurths Chaos and Stability in Planetary Systems Springer 2005 ISBN 3 540 28208 4 N Asghari u a Stability of terrestrial planets in the habitable zone of Gl 777 A HD 72659 Gl 614 47 Uma and HD 4208 In Astronomy amp Astrophysics 426 2004 S 353 365 ISSN 0004 6361 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lie Integration amp oldid 155440698