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Lebesguezahl Eine ist eine nicht eindeutige Zahl die man einer offenen überdeckung eines kompakten metrischen Raums zuor

Lebesguezahl

Eine Lebesguezahl ist eine (nicht eindeutige) Zahl, die man einer offenen Überdeckung eines kompakten metrischen Raums zuordnen kann. Benannt wurde sie nach dem französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue.

Sie dient oft als Hilfsmittel, wenn Endlichkeitsbedingungen gegeben sind.

Satz von der Existenz Bearbeiten

Der Satz von der Existenz einer Lebesguezahl oder das Lemma von Lebesgue ist ein Lemma aus dem Gebiet der Topologie.

Er besagt, dass für jeden kompakten metrischen Raum mit Metrik gilt:

Zu jeder offenen Überdeckung existiert eine Zahl sodass jede Teilmenge mit Durchmesser in einer Überdeckungsmenge enthalten ist, also . Eine solche Zahl heißt Lebesguezahl der Überdeckung für .

Jede kleinere Zahl ist somit natürlich auch eine Lebesguezahl zu dieser Überdeckung und diesem Raum.

Beweis Bearbeiten

Wenn , kann jede Zahl gewählt werden, da ja alle Teilmengen in einer Überdeckungsmenge enthalten sind.

Sei also nun . Da kompakt ist, lässt sich aus eine endliche Teilüberdeckung wählen, sei also eine (endliche) Überdeckung von X.

Für alle , setze und definiere eine Funktion durch .

Für ein beliebiges, aber festes wähle nun so, dass . Wähle nun ein klein genug, sodass die -Umgebung von in der gewählten Überdeckungsmenge liegt, also . Nun ist , also ist . Die Funktion ist somit auf ganz positiv.

Da stetig und auf einem Kompaktum definiert ist, nimmt es ein Minimum an. Dieses ist die gesuchte Lebesguezahl:

Sei eine Teilmenge mit Durchmesser kleiner . Für jedes liegt nun in der -Umgebung von . Wähle nun ein beliebiges .

Sei nun so gewählt, dass für maximal wird. Nun ist und die -Umgebung von und damit liegen ganz in aus der Überdeckung . Damit ist jetzt also ein mit der Eigenschaft der Lebesguezahl gefunden.

Anwendungen Bearbeiten

Die Lebesguezahl wird beim Beweis verschiedener grundlegender Sätze der Algebraischen Topologie verwendet, so beim Beweis des Satzes von Seifert-van Kampen oder der Mayer-Vietoris-Sequenz und des Ausschneidungsaxioms der singulären Homologie.

Weblinks Bearbeiten

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Eine Lebesguezahl ist eine nicht eindeutige Zahl die man einer offenen Uberdeckung eines kompakten metrischen Raums zuordnen kann Benannt wurde sie nach dem franzosischen Mathematiker Henri Leon Lebesgue Sie dient oft als Hilfsmittel wenn Endlichkeitsbedingungen gegeben sind Inhaltsverzeichnis 1 Satz von der Existenz 2 Beweis 3 Anwendungen 4 WeblinksSatz von der Existenz BearbeitenDer Satz von der Existenz einer Lebesguezahl oder das Lemma von Lebesgue ist ein Lemma aus dem Gebiet der Topologie Er besagt dass fur jeden kompakten metrischen Raum X displaystyle X nbsp mit Metrik d displaystyle d nbsp gilt Zu jeder offenen Uberdeckung U displaystyle mathcal U nbsp existiert eine Zahl d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp sodass jede Teilmenge A X displaystyle A subseteq X nbsp mit Durchmesser d A lt d displaystyle d A lt delta nbsp in einer Uberdeckungsmenge U U displaystyle U in mathcal U nbsp enthalten ist also A U displaystyle A subseteq U nbsp Eine solche Zahl d displaystyle delta nbsp heisst Lebesguezahl der Uberdeckung U displaystyle mathcal U nbsp fur X displaystyle X nbsp Jede kleinere Zahl ist somit naturlich auch eine Lebesguezahl zu dieser Uberdeckung und diesem Raum Beweis BearbeitenWenn X U displaystyle X in mathcal U nbsp kann jede Zahl d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp gewahlt werden da ja alle Teilmengen A X displaystyle A subseteq X nbsp in einer Uberdeckungsmenge enthalten sind Sei also nun X U displaystyle X not in mathcal U nbsp Da X displaystyle X nbsp kompakt ist lasst sich aus U displaystyle mathcal U nbsp eine endliche Teiluberdeckung wahlen sei also A 1 A n U displaystyle A 1 dots A n subseteq mathcal U nbsp eine endliche Uberdeckung von X Fur alle i 1 n displaystyle i in 1 dots n nbsp setze C i X A i displaystyle C i X setminus A i nbsp und definiere eine Funktion f X R displaystyle f colon X rightarrow mathbb R nbsp durch f x 1 n i 1 n d x C i displaystyle textstyle f x frac 1 n sum i 1 n d x C i nbsp Fur ein beliebiges aber festes x X displaystyle x in X nbsp wahle nun i displaystyle i nbsp so dass x A i displaystyle x in A i nbsp Wahle nun ein ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp klein genug sodass die ϵ displaystyle epsilon nbsp Umgebung von x displaystyle x nbsp in der gewahlten Uberdeckungsmenge liegt also U ϵ x A i displaystyle U epsilon x subseteq A i nbsp Nun ist d x C i ϵ displaystyle d x C i geq epsilon nbsp also ist f x ϵ n displaystyle f x geq frac epsilon n nbsp Die Funktion f displaystyle f nbsp ist somit auf ganz X displaystyle X nbsp positiv Da f displaystyle f nbsp stetig und auf einem Kompaktum definiert ist nimmt es ein Minimum d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp an Dieses ist die gesuchte Lebesguezahl Sei B X d B lt d displaystyle B subseteq X d B lt delta nbsp eine Teilmenge mit Durchmesser kleiner d displaystyle delta nbsp Fur jedes x B displaystyle x in B nbsp liegt B displaystyle B nbsp nun in der d displaystyle delta nbsp Umgebung von x displaystyle x nbsp Wahle nun ein beliebiges x 0 B displaystyle x 0 in B nbsp Sei nun m displaystyle m nbsp so gewahlt dass d x 0 C i displaystyle d x 0 C i nbsp fur i m displaystyle i m nbsp maximal wird Nun ist d f x 0 d x 0 C m displaystyle delta leq f x 0 leq d x 0 C m nbsp und die d displaystyle delta nbsp Umgebung U d x 0 displaystyle U delta x 0 nbsp von x 0 displaystyle x 0 nbsp und damit B displaystyle B nbsp liegen ganz in A m X C m displaystyle A m X setminus C m nbsp aus der Uberdeckung U displaystyle mathcal U nbsp Damit ist jetzt also ein d displaystyle delta nbsp mit der Eigenschaft der Lebesguezahl gefunden Anwendungen BearbeitenDie Lebesguezahl wird beim Beweis verschiedener grundlegender Satze der Algebraischen Topologie verwendet so beim Beweis des Satzes von Seifert van Kampen oder der Mayer Vietoris Sequenz und des Ausschneidungsaxioms der singularen Homologie Weblinks BearbeitenSkript zum Satz von Seifert van Kampen fur eine Anwendung der Lebesguezahl und einen weiteren Beweis PDF Datei 505 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lebesguezahl amp oldid 208567835