Unter der Konzentration des Masses versteht man ein mathematisches Phanomen aus der Masstheorie welches an vielen Stellen in der Stochastik auftritt aber auch in anderen Gebieten wie der Funktionalanalysis und der Kombinatorik Wesentliche Arbeit zur Konzentration des Masses stammt aus den 1970ern von Vitali Milman aus dem Studium der asymptotischen Geometrie von Banachraumen welcher die Vorarbeit von Paul Levy weiterfuhrte 1 Anschaulich kann man die Konzentration des Masses in der Stochastik als den Effekt interpretieren dass Funktionen mit vielen kleinen lokalen Fluktuationen sich mit grosser Wahrscheinlichkeit wie Konstanten verhalten Levys isoperimetrische Ungleichung BearbeitenDie isoperimetrische Ungleichung auf der Sphare stammt von Levy 2 Wir betrachten den Raum R n m displaystyle mathbb R n cdot mu nbsp wobei displaystyle cdot nbsp die euklidische Norm und m displaystyle mu nbsp das spharische Wahrscheinlichkeitsmass auf R n displaystyle mathbb R n nbsp bezeichnet Dieses ist normiert und rotations invariant auf S n 1 x R n x 1 displaystyle mathbb S n 1 x in mathbb R n x 1 nbsp das bedeutet m S n 1 1 displaystyle mu mathbb S n 1 1 nbsp und fur ein A S n 1 displaystyle A subseteq mathbb S n 1 nbsp und eine Rotation T displaystyle T nbsp gilt m T A m A displaystyle mu TA mu A nbsp Sei nun A S n 1 displaystyle A subset mathbb S n 1 nbsp definiere die geodasische Distanz d x A inf y A d x y displaystyle operatorname d x A inf limits y in A operatorname d x y nbsp und mit A d displaystyle A delta nbsp bezeichnen wir das d displaystyle delta nbsp Verfetten der Menge A displaystyle A nbsp A d x R n d x A lt d displaystyle A delta x in mathbb R n operatorname d x A lt delta nbsp Mit B displaystyle B nbsp bezeichnen wir das Kugelsegment B x S n 1 d x x 0 p displaystyle B left x in mathbb S n 1 operatorname d x x 0 leq p right nbsp um einen Punkt x 0 displaystyle x 0 nbsp fur ein passendes p displaystyle p nbsp so dass m A m B displaystyle mu A mu B nbsp Dann gilt fur t gt 0 displaystyle t gt 0 nbsp m A t m B t displaystyle mu A t geq mu B t nbsp Nehme nun an dass m A 1 2 displaystyle mu A 1 2 nbsp dann gilt m A t m B t 1 t p 2 d 8 1 1 2 e n 1 t 2 2 1 C e c n 1 t 2 displaystyle mu A t geq mu B t 1 int t tfrac pi 2 cdots mathrm d theta geq 1 tfrac 1 2 e n 1 tfrac t 2 2 1 Ce c n 1 t 2 nbsp und somit verkleinert sich das Mass der Komplementarmenge A t c displaystyle A t c nbsp exponentiell bei Wachstum des t displaystyle t nbsp sobald m A 1 2 displaystyle mu A 1 2 nbsp erreicht hat m A t c C e c n 1 t 2 displaystyle mu A t c leq Ce c n 1 t 2 nbsp Es kommt zur Konzentration des Masses auf der Sphare Vitali Milman nutzte dieses Resultat in seinem Beweis des Satzes von Dvoretzky Konzentration des Masses BearbeitenSei M n d n m n displaystyle M n d n mu n nbsp ein Familie metrischer Wahrscheinlichkeitsraume Definiere die Konzentrationsraten a n t sup A M n m n A 1 2 m n d n M n A t sup A M n m n A 1 2 m n A t c displaystyle alpha n t sup limits A subset M n mu n A geq 1 2 mu n d n M n A geq t sup limits A subset M n mu n A geq 1 2 mu n A t c nbsp wobei A t displaystyle A t nbsp das t displaystyle t nbsp Verfetten bezeichnet Dann wird M n d n m n displaystyle M n d n mu n nbsp Levy Familie genannt falls t gt 0 displaystyle forall t gt 0 nbsp a n t 0 wenn n displaystyle alpha n t to 0 text wenn n to infty nbsp und normale Levy Familie falls t gt 0 displaystyle forall t gt 0 nbsp und n 1 displaystyle n geq 1 nbsp oder n displaystyle n nbsp gross genug a n t C e c n t 2 displaystyle alpha n t leq Ce cnt 2 nbsp fur zwei Konstanten c C gt 0 displaystyle c C gt 0 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Michel Ledoux The Concentration of Measure Phenomenon American Mathematical Society 2001 ISBN 978 0 8218 2864 9 Stephane Boucheron Gabor Lugosi Pascal Massart Concentration Inequalities A Nonasymptotic Theory of Independence Oxford University Press USA 2013 ISBN 978 0 19 953525 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konzentration des Masses amp oldid 236995411
