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Kontiguität Wahrscheinlichkeitstheorie In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen

Kontiguität (Wahrscheinlichkeitstheorie)

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen als benachbart oder englisch contiguous bezeichnet, wenn sie asymptotisch denselben Träger haben. Somit erweitert der Begriff der Kontiguität (auch Benachbartheit oder englisch contiguity) den Begriff der absoluten Stetigkeit von Maßen.

Das Konzept wurde ursprünglich von Lucien Le Cam 1960 im Rahmen seiner Beiträge zur abstrakten asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt.

Motivation Bearbeiten

Der Satz von Radon-Nikodým verallgemeinert die Ableitung einer Funktion auf Maße:

Für ein σ-endliches Maß auf dem Messraum und ein σ-endliches signiertes Maß , das absolut stetig bezüglich ist (), existiert eine messbare Funktion , so dass

In der asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie werden statt konstanten Maßen ( und ) Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen und untersucht. Um den obigen Satz für zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen zu definieren, muss der Begriff der absoluten Stetigkeit mit dem Konzept der Kontiguität für diese Folgen verallgemeinert werden.

Man nennt ein Maß bezüglich absolut stetig (in Symbolen ), falls für jede messbare Menge , impliziert, dass gilt. Während absolute Stetigkeit fordert, dass der Träger eines Maßes im Träger eines weiteren Maßes enthalten ist, ersetzt die Kontiguität diese Anforderung mit einer asymptotischen Version: Der Träger von ist für große im Träger von enthalten.

Definition Bearbeiten

Es sei eine Folge von Messräumen, jeweils mit zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen und ausgestattet.

  • Die Folge heißt benachbart zu (in Symbolen ), falls für jede Folge von messbaren Mengen, impliziert, dass .
  • Die Folgen und heißen wechselseitig benachbart oder englisch bi-contiguous (in Symbolen ), falls benachbart zu und benachbart zu .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Im Fall für alle gilt: .
  • Es ist möglich, dass für alle gilt, ohne dass ist.

Le Cams erstes Lemma Bearbeiten

Für zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Messräumen sind folgende Aussagen equivalent:

  • für alle Teststatistiken

wobei und Zufallsvariablen auf den Wahrscheinlichkeitsräumen sind.

Die Notation bezeichnet die Konvergenz in Verteilung.

Le Cams drittes Lemma Bearbeiten

Das dritte Lemma von Le Cam ist eine Version des Satzes von Radon-Nikodým, in dem die absolute Stetigkeit durch Kontiguität ersetzt wird. Es wird wie folgt formuliert:

Sei mit den zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Messräumen und eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte .
Dann definiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf mit für jede messbare Funktion und es gilt .

Für die Konvergenz gegen die mehrdimensionale Normalverteilung folgt daraus folgendes Korollar:

Seien Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Messräumen , und sei eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte

Dann gilt: .

Anwendungen Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale. Vieweg+Teubner Verlag, Stuttgart 2013, ISBN 978-3-322-90152-1, S. 291 ff.
  • Jaroslav Hájek, Zbyněk Šidák (1967). Theory of rank tests. New York: Academic Press.
  • Lucien Le Cam (1960). "Locally asymptotically normal families of distributions". University of California Publications in Statistics. 3: 37–98.
  • George G. Roussas (2001) [1994], "Contiguity of probability measures", Encyclopaedia of Mathematics, EMS Press
  • Aad van der Vaart (1998). Asymptotic statistics. Cambridge University Press.
  • George G. Roussas (1972), Contiguity of Probability Measures: Some Applications in Statistics, CUP, ISBN 978-0-521-09095-7.
  • D.J. Scott (1982) Contiguity of Probability Measures, Australian & New Zealand Journal of Statistics, 24 (1), 80–88.
  • Erich Leo Lehmann, Joseph Paul Romano (2008), Testing Statistical Hypotheses. Springer New York.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wolfowitz J. (1974) Review of the book: "Contiguity of Probability Measures: Some Applications in Statistics. by George G. Roussas", Journal of the American Statistical Association, 69, 278–279 jstor
  2. Aad van der Vaart: The statistical work of Lucien Le Cam. In: The Annals of Statistics. Band 30, Nr. 3, 1. Juni 2002, ISSN 0090-5364, doi:10.1214/aos/1028674836 (projecteuclid.org [abgerufen am 1. Mai 2021]).
  3. van der Vaart (1998, S. 87)
  4. Reiß, Bemerkung 4.35
  5. Bartlett, S. 12
  6. Gutti Jogesh Babu und Bing Li: A Revisit to Le Cam’s First Lemma. In: The Indian Journal of Statistics. Pennsylvania State University, 26. Februar 2020, abgerufen am 10. Januar 2022.
  7. Reiß, Lemma 4.36
  8. Lucien M. Le Cam: Asymptotic methods in statistical decision theory. Springer-Verlag, New York 1986, ISBN 0-387-96307-3 (OCLC=13457116 [abgerufen am 1. Mai 2021]).
  9. Bartlett, S. 20
  10. Bas Werker: (PDF; 478 kB) Archiviert vom Original am 30. April 2006; abgerufen am 4. März 2024 (englisch).

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmassen als benachbart oder englisch contiguous bezeichnet wenn sie asymptotisch denselben Trager haben Somit erweitert der Begriff der Kontiguitat auch Benachbartheit oder englisch contiguity den Begriff der absoluten Stetigkeit von Massen 1 Das Konzept wurde ursprunglich von Lucien Le Cam 1960 im Rahmen seiner Beitrage zur abstrakten asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie eingefuhrt 2 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Definition 3 Eigenschaften 4 Le Cams erstes Lemma 5 Le Cams drittes Lemma 6 Anwendungen 7 Literatur 8 Einzelnachweise 9 WeblinksMotivation BearbeitenDer Satz von Radon Nikodym verallgemeinert die Ableitung einer Funktion auf Masse Fur ein s endliches Mass m displaystyle mu nbsp auf dem Messraum X A displaystyle X mathcal A nbsp und ein s endliches signiertes Mass n displaystyle nu nbsp das absolut stetig bezuglich m displaystyle mu nbsp ist n m displaystyle nu ll mu nbsp existiert eine messbare Funktion f X R displaystyle f colon X to mathbb R nbsp so dass n E E f d m displaystyle nu E int E f mathrm d mu nbsp fur alle E A displaystyle E in mathcal A nbsp gilt In der asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie werden statt konstanten Massen m displaystyle mu nbsp und n displaystyle nu nbsp Folgen von Wahrscheinlichkeitsmassen P n n I displaystyle P n n in I nbsp und Q n n I displaystyle Q n n in I nbsp untersucht Um den obigen Satz fur zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmassen zu definieren muss der Begriff der absoluten Stetigkeit mit dem Konzept der Kontiguitat fur diese Folgen verallgemeinert werden Man nennt ein Mass Q displaystyle Q nbsp bezuglich P displaystyle P nbsp absolut stetig in Symbolen Q P displaystyle Q ll P nbsp falls fur jede messbare Menge A displaystyle A nbsp P A 0 displaystyle P A 0 nbsp impliziert dass Q A 0 displaystyle Q A 0 nbsp gilt Wahrend absolute Stetigkeit fordert dass der Trager eines Masses P displaystyle P nbsp im Trager eines weiteren Masses Q displaystyle Q nbsp enthalten ist ersetzt die Kontiguitat diese Anforderung mit einer asymptotischen Version Der Trager von Q n displaystyle Q n nbsp ist fur grosse n displaystyle n nbsp im Trager von P n displaystyle P n nbsp enthalten Definition BearbeitenEs sei W n F n displaystyle Omega n mathcal F n nbsp eine Folge von Messraumen jeweils mit zwei Wahrscheinlichkeitsmassen P n displaystyle P n nbsp und Q n displaystyle Q n nbsp ausgestattet Die Folge Q n displaystyle Q n nbsp heisst benachbart zu P n displaystyle P n nbsp in Symbolen Q n P n displaystyle Q n vartriangleleft P n nbsp falls fur jede Folge A n displaystyle A n nbsp von messbaren Mengen P n A n 0 displaystyle P n A n rightarrow 0 nbsp impliziert dass Q n A n 0 displaystyle Q n A n rightarrow 0 nbsp Die Folgen P n displaystyle P n nbsp und Q n displaystyle Q n nbsp heissen wechselseitig benachbart oder englisch bi contiguous in Symbolen Q n P n displaystyle Q n vartriangleleft vartriangleright P n nbsp falls Q n displaystyle Q n nbsp benachbart zu P n displaystyle P n nbsp und P n displaystyle P n nbsp benachbart zu Q n displaystyle Q n nbsp 3 Eigenschaften BearbeitenIm Fall P n Q n P Q displaystyle P n Q n P Q nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp gilt Q n P n Q P displaystyle Q n triangleleft P n Leftrightarrow Q ll P nbsp 4 Es ist moglich dass P n Q n displaystyle P n ll Q n nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp gilt ohne dass P n Q n displaystyle P n triangleleft Q n nbsp ist 5 Le Cams erstes Lemma BearbeitenFur zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmassen P n und Q n displaystyle P n text und Q n nbsp auf den Messraumen W n F n displaystyle Omega n mathcal F n nbsp sind folgende Aussagen equivalent 6 7 8 P n Q n displaystyle P n triangleleft Q n nbsp d Q n d P n P n U auf einer Teilfolge P U gt 0 1 displaystyle frac mathrm d Q n mathrm d P n overset P n longrightarrow U text auf einer Teilfolge Rightarrow P U gt 0 1 nbsp d P n d Q n Q n V auf einer Teilfolge E V 1 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und Q n nbsp auf den Messraumen W n F n displaystyle Omega n mathcal F n nbsp und X n W n R k displaystyle X n Omega n to mathbb R k nbsp eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte X n d Q n d P n P n X V displaystyle left X n frac mathrm d Q n mathrm d P n right overset P n to X V nbsp Dann definiert L B E 1 B X V displaystyle L B E 1 B X V nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass auf R k B k displaystyle mathbb R k mathcal B k nbsp mit f d L E f X V displaystyle int f mathrm d L E f X V nbsp fur jede messbare Funktion f R k R displaystyle f mathbb R k to mathbb R nbsp und es gilt X n Q n L displaystyle X n overset Q n to L nbsp Fur die Konvergenz gegen die mehrdimensionale Normalverteilung folgt daraus folgendes Korollar KorollarSeien P n und Q n displaystyle P n text und Q n nbsp Folgen von Wahrscheinlichkeitsmassen auf den Messraumen W n F n displaystyle Omega n mathcal F n nbsp und sei X n W n R k displaystyle X n Omega n to mathbb R k nbsp eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte X n log d Q n d P n P n N k 1 m 1 2 s 2 S t t s 2 displaystyle left X n log frac dQ n dP n right quad overset P n to quad mathcal N k 1 left begin pmatrix mu frac 1 2 sigma 2 end pmatrix begin pmatrix Sigma amp tau tau amp sigma 2 end pmatrix right nbsp Dann gilt X n Q n N k m t S displaystyle X n overset Q n to mathcal N k mu tau Sigma nbsp Anwendungen BearbeitenOkonometrie 10 Literatur BearbeitenUlrich Muller Funk Mathematische Statistik II Asymptotische Statistik Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale Vieweg Teubner Verlag Stuttgart 2013 ISBN 978 3 322 90152 1 S 291 ff Jaroslav Hajek Zbynek Sidak 1967 Theory of rank tests New York Academic Press Lucien Le Cam 1960 Locally asymptotically normal families of distributions University of California Publications in Statistics 3 37 98 George G Roussas 2001 1994 Contiguity of probability measures Encyclopaedia of Mathematics EMS Press Aad van der Vaart 1998 Asymptotic statistics Cambridge University Press George G Roussas 1972 Contiguity of Probability Measures Some Applications in Statistics CUP ISBN 978 0 521 09095 7 D J Scott 1982 Contiguity of Probability Measures Australian amp New Zealand Journal of Statistics 24 1 80 88 Erich Leo Lehmann Joseph Paul Romano 2008 Testing Statistical Hypotheses Springer New York Einzelnachweise Bearbeiten Wolfowitz J 1974 Review of the book Contiguity of Probability Measures Some Applications in Statistics by George G Roussas Journal of the American Statistical Association 69 278 279 jstor Aad van der Vaart The statistical work of Lucien Le Cam In The Annals of Statistics Band 30 Nr 3 1 Juni 2002 ISSN 0090 5364 doi 10 1214 aos 1028674836 projecteuclid org abgerufen am 1 Mai 2021 van der Vaart 1998 S 87 Reiss Bemerkung 4 35 Bartlett S 12 Gutti Jogesh Babu und Bing Li A Revisit to Le Cam s First Lemma In The Indian Journal of Statistics Pennsylvania State University 26 Februar 2020 abgerufen am 10 Januar 2022 Reiss Lemma 4 36 Lucien M Le Cam Asymptotic methods in statistical decision theory Springer Verlag New York 1986 ISBN 0 387 96307 3 OCLC 13457116 abgerufen am 1 Mai 2021 Bartlett S 20 Bas Werker Advanced topics in Financial Econometrics PDF 478 kB Archiviert vom Original am 30 April 2006 abgerufen am 4 Marz 2024 englisch Weblinks BearbeitenReinhard Hopfner Benachbartheit Institut fur Mathematik Johannes Gutenberg Universitat Mainz 29 Mai 2008 abgerufen am 7 Januar 2022 Markus Reiss Mathematische Statistik Gliederung zur Vorlesung im Sommersemester 2018 Humboldt Universitat zu Berlin 17 Juli 2018 S 48 ff abgerufen am 7 Januar 2022 Peter Bartlett Theoretical Statistics Lecture 21 University of California Berkeley 2013 abgerufen am 14 Januar 2022 David Pollard Contiguity Asymptopia Yale University 17 Oktober 2000 archiviert vom Original nicht mehr online verfugbar abgerufen am 7 Januar 2022 englisch Krishen Mehra Asymptotic normality under contiguity in a dependence case In Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete Department of Mathematics University of Alberta 7 August 1967 abgerufen am 7 Januar 2022 englisch K Behnen G Neuhaus A Central Limit Theorem under Contiguous Alternatives Albert Ludwigs Universitat Freiburg 1975 abgerufen am 7 Januar 2022 englisch Moulinath Banerjee Superefficiency Contiguity LAN Regularity Convolution Theorems University of Michigan 6 Dezember 2006 abgerufen am 7 Januar 2022 englisch W J Hall und R M Loynes On the Concept of Contiguity In The Annals of Probability Institute of Mathematical Statistics 1 August 1975 abgerufen am 7 Januar 2022 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kontiguitat Wahrscheinlichkeitstheorie amp oldid 242814373