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Kartesisches Blatt Das kartesische Blatt oder cartesische Blatt folium cartesii ist eine ebene algebraische Kurve 3 Ordn

Kartesisches Blatt

Das kartesische Blatt (oder cartesische Blatt, folium cartesii) ist eine ebene algebraische Kurve 3. Ordnung, die nach dem französischen Mathematiker und Philosophen René Descartes benannt ist.

Kartesisches Blatt für

Definition Bearbeiten

Sei eine reelle Zahl, dann ist das kartesische Blatt in kartesischen Koordinaten definiert durch die Gleichung

Andere Gleichungen des kartesischen Blattes Bearbeiten

In Parameterdarstellung kann das kartesische Blatt durch die Gleichungen

beschrieben werden, wobei ist.

In Polarkoordinaten wird das kartesische Blatt durch die Gleichung

beschrieben.

Eigenschaften des kartesischen Blattes Bearbeiten

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze.

  • Das kartesische Blatt ist achsensymmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (Gleichung y = x). Genau zwei Punkte der Kurve liegen auf der Symmetrieachse, nämlich der Ursprung und der Scheitel mit den Koordinaten .
  • Der Ursprung des Koordinatensystems ist Doppelpunkt der Kurve. Die x- bzw. die y-Achse sind die jeweiligen Tangenten im Ursprung.
  • Die Gerade mit der Gleichung (in der Skizze blau gestrichelt) ist Asymptote der Kurve.
  • Für beide Kurvenzweige beträgt der Krümmungsradius im Ursprung .
  • Die Schleife des kartesischen Blattes schließt eine Fläche mit dem Inhalt ein.
  • Die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, hat denselben Flächeninhalt .

Geschichte Bearbeiten

Die Kurve wurde zuerst im Jahre 1638 von Descartes vorgeschlagen. Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Descartes stellte Fermat die Aufgabe, für einen beliebigen Punkt der Kurve die Tangente zu bestimmen, weil Fermat eine Methode für solche Probleme entdeckt hatte. Fermat löste die Aufgabe mit Leichtigkeit, was Descartes nicht gelungen war (Simmons, p. 101). Mithilfe der Infinitesimalrechnung kann man die Tangentensteigung für eine implizit gegebene Kurve problemlos durch implizite Differentiation herausfinden.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Das kartesische Blatt oder cartesische Blatt folium cartesii ist eine ebene algebraische Kurve 3 Ordnung die nach dem franzosischen Mathematiker und Philosophen Rene Descartes benannt ist Kartesisches Blatt fur a 1 displaystyle a 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Andere Gleichungen des kartesischen Blattes 3 Eigenschaften des kartesischen Blattes 4 Geschichte 5 WeblinksDefinition BearbeitenSei a R displaystyle a in mathbb R nbsp eine reelle Zahl dann ist das kartesische Blatt in kartesischen Koordinaten definiert durch die Gleichung x 3 y 3 3 a x y 0 displaystyle x 3 y 3 3axy 0 nbsp Andere Gleichungen des kartesischen Blattes BearbeitenIn Parameterdarstellung kann das kartesische Blatt durch die Gleichungen x 3 a t 1 t 3 y 3 a t 2 1 t 3 displaystyle begin aligned x frac 3at 1 t 3 y frac 3at 2 1 t 3 end aligned nbsp beschrieben werden wobei a R displaystyle a in mathbb R nbsp ist In Polarkoordinaten wird das kartesische Blatt durch die Gleichung r 3 a cos f sin f cos f 3 sin f 3 displaystyle r frac 3a cos varphi sin varphi cos varphi 3 sin varphi 3 nbsp beschrieben Eigenschaften des kartesischen Blattes BearbeitenIm Folgenden wird jeweils vorausgesetzt dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze Das kartesische Blatt ist achsensymmetrisch bezuglich der Winkelhalbierenden des 1 und 3 Quadranten Gleichung y x Genau zwei Punkte der Kurve liegen auf der Symmetrieachse namlich der Ursprung und der Scheitel mit den Koordinaten 3 2 a 3 2 a displaystyle left tfrac 3 2 a left tfrac 3 2 a right right nbsp Der Ursprung des Koordinatensystems ist Doppelpunkt der Kurve Die x bzw die y Achse sind die jeweiligen Tangenten im Ursprung Die Gerade mit der Gleichung x y a 0 displaystyle x y a 0 nbsp in der Skizze blau gestrichelt ist Asymptote der Kurve Fur beide Kurvenzweige betragt der Krummungsradius im Ursprung 3 2 a displaystyle tfrac 3 2 a nbsp Die Schleife des kartesischen Blattes schliesst eine Flache mit dem Inhalt 3 2 a 2 displaystyle tfrac 3 2 a 2 nbsp ein Die Flache die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt hat denselben Flacheninhalt 3 2 a 2 displaystyle tfrac 3 2 a 2 nbsp Geschichte BearbeitenDie Kurve wurde zuerst im Jahre 1638 von Descartes vorgeschlagen Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Infinitesimalrechnung Descartes stellte Fermat die Aufgabe fur einen beliebigen Punkt der Kurve die Tangente zu bestimmen weil Fermat eine Methode fur solche Probleme entdeckt hatte Fermat loste die Aufgabe mit Leichtigkeit was Descartes nicht gelungen war Simmons p 101 Mithilfe der Infinitesimalrechnung kann man die Tangentensteigung fur eine implizit gegebene Kurve problemlos durch implizite Differentiation herausfinden Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Folium of Descartes In MathWorld englisch John J O Connor Edmund F Robertson Folium of Descartes In MacTutor History of Mathematics archive Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kartesisches Blatt amp oldid 217113334