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Kardar Parisi Zhang Gleichung Die KPZ Gleichung ist eine nicht lineare stochastische partielle Differentialgleichung SPD

Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung

Die Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung (KPZ-Gleichung) ist eine nicht-lineare stochastische partielle Differentialgleichung (SPDGL), die u. a. in der statistischen Mechanik vorkommt. Die Gleichung dient zur Modellierung des stochastischen Grenzflächenwachstums. Sie ist die stochastische Raumzeitevolution der Fluktuation eines Höhenfeldes. Sie kann zum Beispiel zur Modellierung von auf eine Oberfläche fallende klebrige Partikel verwendet werden.

Die Gleichung wurde von den Physikern Mehran Kardar, Giorgio Parisi und Yi-Cheng Zhang im Jahr 1986 eingeführt.

Definition Bearbeiten

Mit der Notation meinen wir den Laplace-Operator und mit den Nabla-Operator, welche beide nach abgeleitet sind.

Die KPZ-Gleichung ist definiert als

wobei die Lösung ein Höhenfeld der Oberfläche mit Raumkoordinate und Zeitkoordinate ist.

Die Gleichung besteht aus drei Komponenten, einem Glättungsterm, einem Wachstumsterm und einem stochastischen Rauschen

Die Gleichung trifft man auch in folgender Form an

wobei und .

Parametrisierung

  • sind Parameter. bezeichnet die Amplitude des Rauschens und ist die Dimension des Modells. ist die Diffusivität und die Stärke der Wachstumsgeschwindigkeit.

Die Standard-Parametrisierung für den eindimensionalen Fall ist , somit

Eine Schwierigkeit der KPZ-Gleichung ist, dass alle invarianten Maße Verteilungen der brownschen Bewegungen der Form sind, wobei eine gerade Linie (ein Shift) bezeichnet.

Lösung der Gleichung Bearbeiten

Cole-Hopf-Transformation Bearbeiten

Sei eine Lösung der KPZ-Gleichung

und betrachte den stochastischen Prozess , dann ist die Lösung der stochastischen Wärmeleitungsgleichung

Hier ist eine andere Notation für und bezeichnet das raumzeitliche weiße gaußsche Rauschen ( ist ein zylindrischer Wiener-Prozess und das Zeitintegral von ).

Geschichte Bearbeiten

2012 veröffentlichte der österreichische Mathematiker Martin Hairer eine Lösung, die die bestehende Cole-Hopf-Lösung erweitert. 2014 bekam er unter anderem dafür die Fields-Medaille.

Skalierung und der KPZ-Fixpunkt Bearbeiten

Wir betrachten die eindimensionale KPZ-Gleichung. Betrachtet man die skalierte KPZ-Lösung

dann existieren zwei schwache Skalierungen, unter der die KPZ-Gleichung invariant ist. Eine weitere interessante Skalierung erhält man mit den Parametern und , welche 1:2:3-Skalierung genannt wird. Zentriert man den Prozess unter dieser Skalierung

gemäß den Initialbedingungen, dann konvergiert für in Verteilung zu einem universellen Prozess, dem sogenannten KPZ-Fixpunkt. Der Prozess wird mit notiert.

Die eindimensionale KPZ-Gleichung gehört zu einer großen Klasse von stochastischen Modellen, welche KPZ-Universalitätsklasse genannt wird. Die KPZ-Universalitätsvermutung behauptet nun, dass jedes in der KPZ-Universalitätsklasse liegende Modell unter der 1:2:3-Skalierung in Verteilung zum KPZ-Fixpunkt konvergiert

(wobei die Konstanten variieren) und nur von der Initialbedingung abhängt

Der KPZ-Fixpunkt ist invariant unter der 1:2:3-Skalierung, die KPZ-Gleichung ist es nicht.

Edwards-Wilkinson-Fixpunkt Bearbeiten

Setzt man (man entfernt damit den Wachstumsausdruck) und benützt die 1:2:4-Skalierung gegeben durch und , so konvergiert

zu dem trivialen gaußschen Edwards-Wilkinson-Fixpunkt. Der Name der Skalierung folgt aus , und .

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Tomohiro Sasamoto, Herbert Spohn: One-Dimensional Kardar-Parisi-Zhang Equation: An Exact Solution and its Universality. In: Physical Review Letters. Nr. 23, 2010, doi:10.1103/physrevlett.104.230602.
  2. Lorenzo Bertini und Giambattista Giacomin: Stochastic Burgers and KPZ Equations from Particle Systems. In: Springer Verlag (Hrsg.): Communications in Mathematical Physics. Band 183, 1997, S. 580, doi:10.1007/s002200050044 (projecteuclid.org).
  3. Martin Hairer: Solving the KPZ equation. 2012, arxiv:1109.6811.
  4. Ivan Corwin, Jeremy Quastel und Daniel Remenik: Renormalization Fixed Point of the KPZ Universality Class. In: Springer Science and Business Media LLC (Hrsg.): Journal of Statistical Physics. Band 160, Nr. 4, 2015, S. 815--834, doi:10.1007/s10955-015-1243-8.
  5. Daniel Remenik: Integrable fluctuations in the KPZ universality class. Hrsg.: arXiv. 2022, doi:10.48550/ARXIV.2205.01433.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Kardar Parisi Zhang Gleichung KPZ Gleichung ist eine nicht lineare stochastische partielle Differentialgleichung SPDGL die u a in der statistischen Mechanik vorkommt Die Gleichung dient zur Modellierung des stochastischen Grenzflachenwachstums Sie ist die stochastische Raumzeitevolution der Fluktuation eines Hohenfeldes Sie kann zum Beispiel zur Modellierung von auf eine Oberflache fallende klebrige Partikel verwendet werden Die Gleichung wurde von den Physikern Mehran Kardar Giorgio Parisi und Yi Cheng Zhang im Jahr 1986 eingefuhrt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Losung der Gleichung 2 1 Cole Hopf Transformation 2 2 Geschichte 3 Skalierung und der KPZ Fixpunkt 3 1 Edwards Wilkinson Fixpunkt 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenMit der Notation D x x 2 displaystyle Delta x nabla x 2 nbsp meinen wir den Laplace Operator und mit x displaystyle nabla x nbsp den Nabla Operator welche beide nach x displaystyle vec x nbsp abgeleitet sind Die KPZ Gleichung ist definiert als 1 t h x t n D x h l 2 x h 2 D h x t displaystyle partial t h vec x t nu Delta x h frac lambda 2 nabla x h 2 sqrt D eta vec x t nbsp wobei die Losung h x t displaystyle h vec x t nbsp ein Hohenfeld der Oberflache mit Raumkoordinate x displaystyle vec x nbsp und Zeitkoordinate t displaystyle t nbsp ist Die Gleichung besteht aus drei Komponenten einem Glattungsterm einem Wachstumsterm und einem stochastischen Rauschen n x 2 h displaystyle nu nabla x 2 h nbsp ein glattender Diffusionsterm dieser dient zur Relaxation durch die Oberflachenspannung n displaystyle nu nbsp l 2 x h 2 displaystyle frac lambda 2 nabla x h 2 nbsp ein nicht linear wachsender Ausdruck h x t displaystyle eta vec x t nbsp ein raumzeitliches weisses gausssches Rauschen d h es gilt E h 0 displaystyle mathbb E eta 0 nbsp und Var h 2 d t t d d x x displaystyle operatorname Var eta 2 delta t t delta d vec x vec x nbsp Die Gleichung trifft man auch in folgender Form an t h n D x h l 2 x h 2 h displaystyle partial t h nu Delta x h frac lambda 2 nabla x h 2 tilde eta nbsp wobei E h 0 displaystyle mathbb E tilde eta 0 nbsp und Var h 2 D d t t d d x x displaystyle operatorname Var tilde eta 2D delta t t delta d vec x vec x nbsp Parametrisierung n l D d displaystyle nu lambda D d nbsp sind Parameter D displaystyle D nbsp bezeichnet die Amplitude des Rauschens und d displaystyle d nbsp ist die Dimension des Modells n displaystyle nu nbsp ist die Diffusivitat und l displaystyle lambda nbsp die Starke der Wachstumsgeschwindigkeit Die Standard Parametrisierung fur den eindimensionalen Fall d 1 displaystyle d 1 nbsp ist n 1 2 l 1 D 1 displaystyle nu tfrac 1 2 lambda 1 D 1 nbsp somit t h 1 2 D x h 1 2 x h 2 h displaystyle partial t h frac 1 2 Delta x h frac 1 2 nabla x h 2 eta nbsp Eine Schwierigkeit der KPZ Gleichung ist dass alle invarianten Masse Verteilungen der brownschen Bewegungen der Form B x N displaystyle B x N nbsp sind wobei N displaystyle N nbsp eine gerade Linie ein Shift bezeichnet Losung der Gleichung BearbeitenCole Hopf Transformation Bearbeiten Sei h t x h t x displaystyle h t x h t x nbsp eine Losung der KPZ Gleichung t h t 1 2 D x h t 1 2 x h t 2 W t displaystyle partial t h t frac 1 2 Delta x h t frac 1 2 nabla x h t 2 dot W t nbsp und betrachte den stochastischen Prozess 8 t exp h t displaystyle theta t exp h t nbsp dann ist 8 t displaystyle theta t nbsp die Losung der stochastischen Warmeleitungsgleichung d 8 t 1 2 D 8 t d t 8 t d W t displaystyle mathrm d theta t frac 1 2 Delta theta t mathrm d t theta t mathrm d W t nbsp Hier ist W t displaystyle dot W t nbsp eine andere Notation fur h displaystyle tilde eta nbsp und bezeichnet das raumzeitliche weisse gausssche Rauschen W t displaystyle W t nbsp ist ein zylindrischer Wiener Prozess und das Zeitintegral von h displaystyle tilde eta nbsp 2 Geschichte Bearbeiten 2012 veroffentlichte der osterreichische Mathematiker Martin Hairer eine Losung die die bestehende Cole Hopf Losung erweitert 2014 bekam er unter anderem dafur die Fields Medaille 3 Skalierung und der KPZ Fixpunkt Bearbeiten Hauptartikel KPZ Fixpunkt Wir betrachten die eindimensionale 1 1 displaystyle 1 1 nbsp KPZ Gleichung Betrachtet man die skalierte KPZ Losung h e b z t x e b h e z t e 1 x displaystyle h varepsilon b z t x varepsilon b h varepsilon z t varepsilon 1 x nbsp dann existieren zwei schwache Skalierungen unter der die KPZ Gleichung invariant ist Eine weitere interessante Skalierung erhalt man mit den Parametern b 1 2 displaystyle b 1 2 nbsp und z 3 2 displaystyle z 3 2 nbsp welche 1 2 3 Skalierung genannt wird Zentriert man den Prozess unter dieser Skalierung h e h e 1 2 3 2 C e t displaystyle overline h varepsilon h varepsilon 1 2 3 2 C varepsilon t nbsp gemass den Initialbedingungen dann konvergiert h e displaystyle overline h varepsilon nbsp fur e 0 displaystyle varepsilon to 0 nbsp in Verteilung zu einem universellen Prozess dem sogenannten KPZ Fixpunkt Der Prozess wird mit h t x t 0 x R displaystyle mathfrak h t x t geq 0 x in mathbb R nbsp notiert Die eindimensionale KPZ Gleichung gehort zu einer grossen Klasse von stochastischen Modellen welche KPZ Universalitatsklasse genannt wird Die KPZ Universalitatsvermutung behauptet nun dass jedes in der KPZ Universalitatsklasse liegende Modell unter der 1 2 3 Skalierung in Verteilung zum KPZ Fixpunkt konvergiert lim e 0 e 1 2 h c 1 e 3 2 t c 2 e 1 x c 3 e 3 2 t d h t x displaystyle lim limits varepsilon to 0 varepsilon 1 2 h c 1 varepsilon 3 2 t c 2 varepsilon 1 x c 3 varepsilon 3 2 t stackrel d mathfrak h t x nbsp wobei die Konstanten variieren und nur von der Initialbedingung abhangt h 0 x lim e 0 e 1 2 h 0 c 2 e 1 x displaystyle mathfrak h 0 x lim limits varepsilon to 0 varepsilon 1 2 h 0 c 2 varepsilon 1 x nbsp 4 5 Der KPZ Fixpunkt ist invariant unter der 1 2 3 Skalierung die KPZ Gleichung ist es nicht Edwards Wilkinson Fixpunkt Bearbeiten Setzt man l 0 displaystyle lambda 0 nbsp man entfernt damit den Wachstumsausdruck und benutzt die 1 2 4 Skalierung gegeben durch b 1 2 displaystyle b 1 2 nbsp und z 2 displaystyle z 2 nbsp so konvergiert h e h e 1 2 2 C e t displaystyle overline h varepsilon h varepsilon 1 2 2 C varepsilon t nbsp zu dem trivialen gaussschen Edwards Wilkinson Fixpunkt Der Name der Skalierung folgt aus 1 2 1 2 1 displaystyle 1 2 1 2 1 nbsp 1 1 2 2 displaystyle 1 1 2 2 nbsp und 2 1 2 4 displaystyle 2 1 2 4 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Tomohiro Sasamoto Herbert Spohn One Dimensional Kardar Parisi Zhang Equation An Exact Solution and its Universality In Physical Review Letters Nr 23 2010 doi 10 1103 physrevlett 104 230602 Lorenzo Bertini und Giambattista Giacomin Stochastic Burgers and KPZ Equations from Particle Systems In Springer Verlag Hrsg Communications in Mathematical Physics Band 183 1997 S 580 doi 10 1007 s002200050044 projecteuclid org Martin Hairer Solving the KPZ equation 2012 arxiv 1109 6811 Ivan Corwin Jeremy Quastel und Daniel Remenik Renormalization Fixed Point of the KPZ Universality Class In Springer Science and Business Media LLC Hrsg Journal of Statistical Physics Band 160 Nr 4 2015 S 815 834 doi 10 1007 s10955 015 1243 8 Daniel Remenik Integrable fluctuations in the KPZ universality class Hrsg arXiv 2022 doi 10 48550 ARXIV 2205 01433 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kardar Parisi Zhang Gleichung amp oldid 229532894