Das Jordan Mass ist ein mathematischer Begriff aus der Masstheorie Dieser geht auf Marie Ennemond Camille Jordan zuruck welcher ihn im Jahr 1890 aufbauend auf Arbeiten von Giuseppe Peano entwickelte Mit dem Jordan Mass kann man gewissen beschrankten Teilmengen des R n displaystyle mathbb R n einen Inhalt zuordnen und erhalt einen Integralbegriff der dem riemannschen Integralbegriff analog ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Literatur 5 WeblinksDefinition Bearbeiten nbsp Eine Menge A R 2 displaystyle A subset mathbb R 2 nbsp mit blauem Rand wird einmal durch Teilmengen wie die Menge mit grunem Rand und einmal durch Obermengen wie die Menge mit lila Rand aus J 2 displaystyle mathcal J 2 nbsp angenahert Es bezeichne fur a a 1 a n b b 1 b n R n displaystyle a a 1 ldots a n b b 1 ldots b n in mathbb R n nbsp a b i 1 n a i b i displaystyle a b prod i 1 n a i b i nbsp das halboffene n displaystyle n nbsp dimensionale Hyperrechteck und J n a b a b R n displaystyle J n a b a b in mathbb R n nbsp die Menge aller solcher Hyperrechtecke Zur Definition konnen alternativ auch halboffene Intervalle der Form a b displaystyle a b nbsp verwendet werden Weiter sei J n k 1 m I k I 1 I m J n paarweise disjunkt displaystyle mathcal J n left bigcup k 1 m I k I 1 ldots I m in J n text paarweise disjunkt right nbsp die Menge aller endlichen Vereinigungen von paarweise disjunkten Hyperrechtecken Es bezeichne weiter m n displaystyle mu n nbsp den Inhalt der fur alle a b R n displaystyle a b in mathbb R n nbsp mit a i b i displaystyle a i leq b i nbsp fur alle i 1 n displaystyle i 1 dots n nbsp durch m n a b j 1 n b j a j displaystyle mu n left a b right prod j 1 n b j a j nbsp und m n 0 displaystyle mu n emptyset 0 nbsp definiert ist Der innere Inhalt einer beschrankten Menge A sei i n A sup m n M M J n M A displaystyle underline i n A sup mu n M M in mathcal J n M subset A nbsp ihr ausserer Inhalt sei i n A inf m n N N J n N A displaystyle overline i n A inf mu n N N in mathcal J n N supset A nbsp Eine Menge A R n displaystyle A subset mathbb R n nbsp heisst Jordan messbar oder quadrierbar wenn A displaystyle A nbsp beschrankt ist und i n A i n A displaystyle overline i n A underline i n A nbsp Das Jordan Mass einer Jordan messbaren Menge A displaystyle A nbsp ist durch i n A i n A i n A displaystyle i n A overline i n A underline i n A nbsp gegeben Gilt i n A 0 displaystyle overline i n A 0 nbsp fur ein beschranktes A R n displaystyle A subset mathbb R n nbsp so ist A displaystyle A nbsp Jordan messbar und wird Jordan Nullmenge genannt Eigenschaften BearbeitenDas Jordan Mass ist ein Inhalt und auch s displaystyle sigma nbsp additiv da das Jordan Mass einer Jordan messbaren Menge gleich seinem Lebesgue Mass ist und letzteres s displaystyle sigma nbsp additiv ist Aber abzahlbare Vereinigungen von Jordan messbaren Mengen mussen nicht notwendigerweise Jordan messbar sein siehe auch Beispiel 2 Daher ist die Menge der Jordan messbaren Mengen keine s Algebra und das Jordan Mass im Sinne der Masstheorie nur ein Pramass kein Mass Ist A R n displaystyle A subset mathbb R n nbsp Jordan messbar so ist A displaystyle A nbsp auch Lebesgue messbar und es gilt l n A i n A displaystyle lambda n A i n A nbsp Dabei bezeichnet l n A displaystyle lambda n A nbsp das Lebesgue Mass von A displaystyle A nbsp Eine Menge A R n displaystyle A subset mathbb R n nbsp ist genau dann Jordan messbar wenn A displaystyle A nbsp beschrankt ist und der Rand von A displaystyle A nbsp eine Jordan Nullmenge ist Eine beschrankte Menge A R n displaystyle A subset mathbb R n nbsp ist genau dann Jordan messbar wenn l n A l n A displaystyle lambda n A circ lambda n overline A nbsp ist Dann gilt auch i n A l n A l n A displaystyle i n A lambda n A circ lambda n overline A nbsp Eine kompakte Menge A R n displaystyle A subset mathbb R n nbsp ist genau dann eine Lebesgue Nullmenge wenn A displaystyle A nbsp eine Jordan Nullmenge ist Beispiele BearbeitenDer Einheitskreis im R n displaystyle mathbb R n nbsp ist Jordan messbar da er beschrankt und sein Rand eine Jordan Nullmenge ist Die Menge A 0 1 Q displaystyle A 0 1 cap mathbb Q nbsp ist nicht Jordan messbar Denn fur jede Menge A M J 1 displaystyle A supset M in mathcal J 1 nbsp gilt M displaystyle M emptyset nbsp und fur jede Menge A N J 1 displaystyle A subset N in mathcal J 1 nbsp gilt 0 1 N displaystyle 0 1 subset N nbsp woraus 0 i 1 A lt i 1 A 1 displaystyle 0 underline i 1 A lt overline i 1 A 1 nbsp folgt Fur jedes q A displaystyle q in A nbsp gilt l 1 q i 1 q 0 displaystyle lambda 1 q i 1 q 0 nbsp Aufgrund der s displaystyle sigma nbsp Additivitat des Lebesgue Masses gilt l 1 A q A l 1 q q A 0 0 displaystyle textstyle lambda 1 A sum q in A lambda 1 q sum q in A 0 0 nbsp A displaystyle A nbsp ist also Lebesgue Nullmenge A displaystyle A nbsp lasst sich als abzahlbare Vereinigung der rationalen Zahlen q displaystyle q nbsp in 0 1 displaystyle 0 1 nbsp darstellen wobei jede der Mengen q displaystyle q nbsp Jordan messbar ist Da A displaystyle A nbsp nicht Jordan messbar ist folgt dass die Jordan messbaren Mengen keine s Algebra bilden Damit zeigt das Beispiel dass das Jordan Mass auf den Jordan messbaren Mengen kein Mass ist Literatur BearbeitenWolfgang Walter Analysis Grundwissen Mathematik 4 2 Band 2 Auflage Springer Berlin u a 1991 ISBN 3 540 54566 2 S 224 226 Weblinks BearbeitenJordaninhalt und quadrierbare Mengen Quadrierbare Mengen im MitschriebWiki PDF 389 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Jordan Mass amp oldid 217506001
