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Reflexive Relation Die Reflexivität einer zweistelligen Relation R displaystyle R auf einer Menge ist gegeben wenn x R x

Reflexive Relation

Die Reflexivität einer zweistelligen Relation auf einer Menge ist gegeben, wenn für alle Elemente der Menge gilt, also jedes Element in Relation zu sich selbst steht. Man nennt dann reflexiv.

Drei reflexive Relationen, als gerichtete Graphen dargestellt
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Eine Relation heißt irreflexiv, wenn die Beziehung für kein Element der Menge gilt, also kein Element in Relation zu sich selbst steht. Es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind, wenn die Beziehung für einige Elemente der Menge gilt, doch nicht für alle.

Die Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation; die Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine strikte Ordnungsrelation.

Formale Definition Bearbeiten

Ist eine Menge und eine zweistellige Relation auf , dann definiert man (unter Verwendung der Infixnotation):

Beispiele Bearbeiten

Reflexiv Bearbeiten

  • Die gewöhnliche Gleichheit auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets gilt. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

Irreflexiv Bearbeiten

  • Die Ungleichheit auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie gilt.

Weder reflexiv noch irreflexiv Bearbeiten

Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv:

Grund: Für gilt , für gilt .

Darstellung als gerichteter Graph Bearbeiten

Jede beliebige Relation auf einer Menge kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (siehe Beispiel im Bild oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von . Vom Knoten zum Knoten wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil ) gezogen, wenn gilt.

Die Reflexivität von lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten gibt es eine Schleife . Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für keinen Knoten eine Schleife gibt.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Mit Hilfe der identischen Relation (die aus allen Paaren besteht) kann man die Begriffe auch so charakterisieren:
  • Ist die Relation reflexiv bzw. irreflexiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation . Beispiele: die zu konverse Relation ist , die zu konverse ist .
  • Ist die Relation reflexiv, dann ist die komplementäre Relation irreflexiv. Ist irreflexiv, dann ist reflexiv. Dabei ist die komplementäre Relation definiert durch
  • Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.

Siehe auch Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Reflexivitat einer zweistelligen Relation R displaystyle R auf einer Menge ist gegeben wenn x R x displaystyle xRx fur alle Elemente x displaystyle x der Menge gilt also jedes Element in Relation zu sich selbst steht Man nennt R displaystyle R dann reflexiv Drei reflexive Relationen als gerichtete Graphen dargestelltDieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Eine Relation heisst irreflexiv wenn die Beziehung x R x displaystyle xRx fur kein Element x displaystyle x der Menge gilt also kein Element in Relation zu sich selbst steht Es gibt auch Relationen die weder reflexiv noch irreflexiv sind wenn die Beziehung x R x displaystyle xRx fur einige Elemente x displaystyle x der Menge gilt doch nicht fur alle Die Reflexivitat ist eine der Voraussetzungen fur eine Aquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation die Irreflexivitat ist eine der Voraussetzungen fur eine strikte Ordnungsrelation Inhaltsverzeichnis 1 Formale Definition 2 Beispiele 2 1 Reflexiv 2 2 Irreflexiv 2 3 Weder reflexiv noch irreflexiv 3 Darstellung als gerichteter Graph 4 Eigenschaften 5 Siehe auchFormale Definition BearbeitenIst M displaystyle M nbsp eine Menge und R M M displaystyle R subseteq M times M nbsp eine zweistellige Relation auf M displaystyle M nbsp dann definiert man unter Verwendung der Infixnotation R displaystyle R nbsp ist reflexiv x M x R x displaystyle Longleftrightarrow forall x in M xRx nbsp R displaystyle R nbsp ist irreflexiv x M x R x displaystyle Longleftrightarrow forall x in M neg xRx nbsp Beispiele BearbeitenReflexiv Bearbeiten Die Kleiner Gleich Relation displaystyle leq nbsp auf den reellen Zahlen ist reflexiv da stets x x displaystyle x leq x nbsp gilt Sie ist daruber hinaus eine Totalordnung Gleiches gilt fur die Relation displaystyle geq nbsp Die gewohnliche Gleichheit displaystyle nbsp auf den reellen Zahlen ist reflexiv da stets x x displaystyle x x nbsp gilt Sie ist daruber hinaus eine Aquivalenzrelation Die Teilmengenbeziehung displaystyle subseteq nbsp zwischen Mengen ist reflexiv da stets A A displaystyle A subseteq A nbsp gilt Sie ist daruber hinaus eine Halbordnung Irreflexiv Bearbeiten Die Kleiner Relation lt displaystyle lt nbsp auf den reellen Zahlen ist irreflexiv da nie x lt x displaystyle x lt x nbsp gilt Sie ist daruber hinaus eine strenge Totalordnung Gleiches gilt fur die Relation gt displaystyle gt nbsp Die Ungleichheit displaystyle neq nbsp auf den reellen Zahlen ist irreflexiv da nie x x displaystyle x neq x nbsp gilt Die echte Teilmengenbeziehung displaystyle subset nbsp zwischen Mengen ist irreflexiv da nie A A displaystyle A subset A nbsp gilt Sie ist daruber hinaus eine strenge Halbordnung Weder reflexiv noch irreflexiv Bearbeiten Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv x R y y x 2 displaystyle xRy Longleftrightarrow y x 2 nbsp Grund Fur x 1 displaystyle x 1 nbsp gilt x R x displaystyle xRx nbsp fur x 2 displaystyle x 2 nbsp gilt x R x displaystyle neg xRx nbsp Darstellung als gerichteter Graph BearbeitenJede beliebige Relation R displaystyle R nbsp auf einer Menge M displaystyle M nbsp kann als gerichteter Graph aufgefasst werden siehe Beispiel im Bild oben Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von M displaystyle M nbsp Vom Knoten a displaystyle a nbsp zum Knoten b displaystyle b nbsp wird genau dann eine gerichtete Kante ein Pfeil a b displaystyle a longrightarrow b nbsp gezogen wenn a R b displaystyle aRb nbsp gilt Die Reflexivitat von R displaystyle R nbsp lasst sich im Graphen nun so charakterisieren Fur jeden Knoten a displaystyle a nbsp gibt es eine Schleife a displaystyle stackrel a circlearrowright nbsp Entsprechend ist die Irreflexivitat dadurch gegeben dass es fur keinen Knoten a displaystyle a nbsp eine Schleife a displaystyle stackrel a circlearrowright nbsp gibt Eigenschaften BearbeitenMit Hilfe der identischen Relation I d M displaystyle Id M nbsp die aus allen Paaren x x displaystyle x x nbsp besteht kann man die Begriffe auch so charakterisieren R displaystyle R nbsp ist reflexiv I d M R displaystyle Longleftrightarrow Id M subseteq R nbsp R displaystyle R nbsp ist irreflexiv I d M R displaystyle Longleftrightarrow Id M cap R varnothing nbsp Ist die Relation R displaystyle R nbsp reflexiv bzw irreflexiv dann gilt dies auch fur die konverse Relation R 1 displaystyle R 1 nbsp Beispiele die zu displaystyle leq nbsp konverse Relation ist displaystyle geq nbsp die zu lt displaystyle lt nbsp konverse ist gt displaystyle gt nbsp Ist die Relation R displaystyle R nbsp reflexiv dann ist die komplementare Relation R c displaystyle R rm c nbsp irreflexiv Ist R displaystyle R nbsp irreflexiv dann ist R c displaystyle R rm c nbsp reflexiv Dabei ist die komplementare Relation definiert durch x R c y x R y displaystyle xR rm c y Longleftrightarrow neg xRy nbsp Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv Siehe auch BearbeitenNichtsattigungsaxiom Reflexive Hulle Reflexiv transitive Hulle Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Reflexive Relation amp oldid 234041368