Der Hyper Operator ist eine Familie von mathematischen Operatoren Konkret ist der erste Operator die einstellige Verknupfung dann kommt die Addition die Multiplikation die Potenzierung usw Der Hyper Operator dient zur kurzen Darstellung grosser Zahlen wie Potenzturmen Es gibt verschiedene Schreibweisen hyper n a b hyper a n b a n b a n 2 b displaystyle operatorname hyper mathit n a b operatorname hyper a n b a n b a uparrow n 2 b Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung der Notation 2 Knuths Pfeilnotation 3 Eine andere Erweiterung 4 Beispiele 4 1 Addition 4 2 Multiplikation 4 3 Potenzierung 4 4 Tetration 5 Weblinks englisch Herleitung der Notation BearbeitenAusgehend von den Beobachtungen a b 1 1 a b displaystyle a b 1 1 left a b right nbsp a b 1 a a b displaystyle a cdot b 1 a left a cdot b right nbsp a b 1 a a b displaystyle a b 1 a cdot left a b right nbsp definiert man rekursiv einen dreistelligen Operator mit a b n 0 displaystyle a b n geq 0 nbsp a n b b 1 wenn n 0 a wenn n 1 b 0 0 wenn n 2 b 0 1 wenn n gt 2 b 0 a n 1 a n b 1 sonst displaystyle a n b begin cases b 1 amp text wenn n 0 a amp text wenn n 1 b 0 0 amp text wenn n 2 b 0 1 amp text wenn n gt 2 b 0 a n 1 left a n b 1 right amp text sonst end cases nbsp und fuhrt folgende Bezeichnungen ein hyper n a b hyper a n b a n b displaystyle operatorname hyper mathit n a b operatorname hyper a n b a n b nbsp Zu beachten ist bei dieser Schreibweise dass die Zusammenschreibung von a n displaystyle a n nbsp und b displaystyle b nbsp keine Multiplikation darstellt also jede tatsachlich vorkommende Multiplikation mit dem expliziten Operator displaystyle cdot nbsp zu notieren ist Ebenso ist a n displaystyle a n nbsp keine Potenzierung Die Verwendung der Notation hyper a n b displaystyle operatorname hyper a n b nbsp schliesst demgegenuber solche Verwechslungsmoglichkeiten aus Somit ist hyper1 die Addition hyper2 die Multiplikation und hyper3 die Potenzierung hyper4 wird auch bezeichnet als Tetration oder Superpotenz und kann folgendermassen notiert werden hyper4 a b b a displaystyle operatorname hyper4 a b b a nbsp Allgemeinverstandlicher konnte man auch sagen Schreibe die Zahl a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp mal hintereinander und fuge jeweils dazwischen den Operator eine Stufe tiefer ein Die Familie wurde fur n gt 3 displaystyle n gt 3 nbsp nicht fur reelle Zahlen erweitert weil es mehrere offensichtliche Wege dazu gibt die jedoch nicht assoziativ sind Knuths Pfeilnotation Bearbeiten Hauptartikel Pfeilschreibweise Eine andere Schreibweise fur den Hyperoperator wurde von Donald Knuth entwickelt welche als Pfeilnotation bekannt ist Die Definition ist a k b a k mal b a b falls k 1 a k 1 mal a k 1 mal k 1 mal a b Kopien von a sonst displaystyle a uparrow k b a mathbin underbrace uparrow dotsb uparrow k mbox mal b left begin matrix a b amp mbox falls k 1 1em underbrace a underbrace uparrow dotsb uparrow k 1 mbox mal a underbrace uparrow dotsb uparrow k 1 mbox mal dotsb underbrace uparrow dotsb uparrow k 1 mbox mal a b mbox Kopien von a amp mbox sonst end matrix right nbsp Eine andere Notation verwendet statt des Pfeils displaystyle uparrow nbsp das Zeichen displaystyle hat hbox nbsp Mit der Definition gilt gerade a k b hyper a k 2 b a k 2 b displaystyle a uparrow k b operatorname hyper a k 2 b a k 2 b nbsp Diese Notation wird fur die Darstellung von sehr grossen Zahlen wie etwa Grahams Zahl benutzt Eine andere Erweiterung BearbeitenEs gibt eine andere Moglichkeit aus den Vorgaben eine allgemeinere Definition der Verknupfung zu erhalten denn es gilt auch a b a b 1 1 displaystyle a b a b 1 1 nbsp a b a b 1 a displaystyle a cdot b a cdot b 1 a nbsp a b a b 1 a displaystyle a b left a b 1 right cdot a nbsp weil die Verknupfungen und displaystyle cdot nbsp kommutativ sind Daraus ergibt sich die Definition a n b a b wenn n 1 0 wenn n 2 b 0 1 wenn n gt 2 b 0 a n b 1 n 1 a sonst displaystyle a n b begin cases a b amp text wenn n 1 0 amp text wenn n 2 b 0 1 amp text wenn n gt 2 b 0 left a n b 1 right n 1 a amp text sonst end cases nbsp Diese Notation kollabiert jedoch fur n 4 displaystyle n 4 nbsp sie ergibt im Gegensatz zu hyper4 keinen Potenzturm mehr a 4 b a a b 1 displaystyle a 4 b a left a b 1 right nbsp Wie konnen sich a n b displaystyle a n b nbsp und a n b displaystyle a n b nbsp plotzlich fur n gt 3 displaystyle n gt 3 nbsp unterscheiden Das liegt an der Assoziativitat einer Eigenschaft die die Operatoren displaystyle nbsp und displaystyle cdot nbsp besitzen siehe auch Korper die aber dem Potenz Operator fehlt Im Allgemeinen ist a b c a b c a b c a b c displaystyle a b c a b c neq a b c a b cdot c nbsp Die anderen Ebenen kollabieren nicht auf diese Weise weshalb auch diese Operatorenfamilie genannt niedere Hyper Operatoren von Interesse ist Beispiele BearbeitenAddition Bearbeiten 3 1 3 3 3 6 displaystyle 3 1 3 3 3 6 nbsp Multiplikation Bearbeiten 3 2 3 3 3 3 1 3 1 3 3 3 3 9 displaystyle 3 2 3 3 cdot 3 3 1 3 1 3 3 3 3 9 nbsp Potenzierung Bearbeiten 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 27 displaystyle 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 cdot 3 cdot 3 27 nbsp Tetration Bearbeiten 3 4 3 3 3 3 3 3 3 4 2 3 3 3 3 3 4 1 3 3 3 3 3 3 3 4 0 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 1 3 27 7 625 597 484 987 displaystyle begin aligned 3 4 3 amp 3 3 3 amp 3 3 3 4 2 amp 3 3 3 3 3 4 1 amp 3 3 3 3 3 3 3 4 0 amp 3 3 3 3 3 3 1 amp 3 3 3 1 amp 3 27 amp 7 625 597 484 987 end aligned nbsp Zu beachten ist hier dass 3 3 3 3 3 3 displaystyle 3 3 3 3 3 3 nbsp gilt siehe hierzu auch bei Potenzturm Weblinks englisch BearbeitenWhat Lies Beyond Exponentiation The Tetration Forum Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hyper Operator amp oldid 235728037
