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Henselsches Lemma Das henselsche Lemma nach Kurt Hensel ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra E

Henselsches Lemma

Das henselsche Lemma (nach Kurt Hensel) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra.

Es wurde schon 1846 vor Hensel von Theodor Schönemann bewiesen. Das henselsche Lemma ist (im Wesentlichen) das Newtonverfahren angewendet auf .

Formulierung Bearbeiten

Es sei ein vollständiger, nicht-archimedisch bewerteter Körper mit Bewertungsring und Restklassenkörper . Ist nun ein Polynom, dessen Reduktion das Produkt zweier teilerfremder Polynome ist, so gibt es Polynome , so dass gilt und bzw. die Reduktion von bzw. ist.

Beispiele Bearbeiten

Es gibt also Polynome , so dass
gilt. Die Polynome haben notwendigerweise die Form mit , man kann also annehmen, d. h. es gibt , so dass
gilt. Die sind die -ten Einheitswurzeln und sie können immer so angeordnet werden, dass .
  • Ist die Primzahl , dann gibt es nach dem Obigen ein mit .
  • Im Körper der -adischen Zahlen ist 0 durch eine nicht-triviale Summe von Quadraten darstellbar. Damit ist −1 durch eine Summe von Quadraten darstellbar, und kann nicht angeordnet werden.
  1. : Hier ist bei Quadratwurzeln wegen der fehlenden Teilerfremdheit der Polynome über das henselsche Lemma nicht direkt anwendbar. Es lässt sich aber mit der Vorgehensweise im Beweis desselben zeigen, dass . Sei nämlich mit . Für sei nun derart, dass . Da durch 2 teilbar ist, können wir
       
    bilden. Dann ist
        .
    Somit gibt es eine in konvergente Folge mit . Die Summe von 5 Quadraten verschwindet.
  2. : Mit ist wegen
       
    die Zahl quadratischer Rest in Die Folge lässt sich mit der Vorgehensweise im Beweis des henselschen Lemmas zu einem Element entwickeln, für das gilt. Man nehme nur
       
    Im Ergebnis verschwindet die Summe der Quadrate
  • Es seien wie oben, aber . Dann ist mit Faktoren , die alle gleich, also nicht teilerfremd sind. Das henselsche Lemma ist nicht anwendbar.

Henselscher Ring Bearbeiten

Die Voraussetzung, dass vollständig ist, ist eigentlich stärker als es für den Beweis des henselschen Lemmas erforderlich wäre. Allgemein nennt man bewertete Körper beziehungsweise Ringe , in denen das henselsche Lemma in der oben angegebenen Form gilt, henselsch.

Hebungsbaum Bearbeiten

Ein Hebungsbaum ist ein Hilfsmittel um das Verhalten eines Polynoms , genauer das Verhalten der Nullstellen modulo des Polynoms, zu beschreiben. Anhand eines Hebungsbaumes kann man p-adische Zahlen leichter untersuchen und damit auf das Verhalten des Polynoms schließen.

Der Hebungsbaum hat in seiner k-ten Ebene die Nullstellen modulo und diese werden mit ihren Hebungen modulo verbunden, falls diese ebenfalls wieder Nullstellen sind.

Nullstellen und ihre Hebungen Bearbeiten

Sei ein rational irreduzibles Polynom. Sei p prim. Sei die Ebene des Hebungsbaumes.

Sei . Ist

so sagen wir, ist eine Nullstelle von f(X) in oder modulo .

Sei eine Nullstelle von modulo . Sei . Ist eine Nullstelle von f(X) modulo und ist

dann sagen wir, dass eine Nullstelle modulo ist, die die Nullstelle a modulo hebt.

Beschreibung des Hebungsbaumes Bearbeiten

In einem Hebungsbaum werden alle Nullstellen eines Polynoms in eingetragen, wobei die jeweilige Ebene des Hebungsbaumes ist.

Die erste Ebene des Baumes befindet sich ganz unten. Mit wachsendem wächst der Baum von unten nach oben und es werden alle Nullstellen in der jeweiligen Ebene eingetragen.

In der untersten und damit ersten Ebene () werden alle Nullstellen des Polynoms in eingetragen. Die Nullstellen nehmen Werte in dem Intervall an.

In der darüberliegenden zweiten Ebene () werden alle Nullstellen des Polynoms in eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall an. Reduziert eine solche Nullstelle in der zweiten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden ersten Ebene in , so werden diese beiden Nullstellen mit einer Linie verbunden.

In der nächsthöhergelegenen Ebene () werden alle Nullstellen des Polynoms in eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall an. Auch hier gilt: Reduziert eine Nullstelle in der dritten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden zweiten Ebene in , so werden diese Nullstellen mit einer Linie verbunden.

Dies gilt für alle folgenden Ebenen .

Beispiel Bearbeiten

Sei das Polynom

gegeben. Sei prim.

Wir erhalten folgenden Hebungsbaum:

Beispiel zu dem Polynom

In der ersten Ebene () befinden sich die Nullstellen 1 und 3 in dem Intervall . In der zweiten Ebene () sind die Nullstellen 3, 8, 13, 18 und 23 in dem Intervall vorhanden. In der darauffolgenden dritten Ebene () sehen wir die Nullstellen 8, 33, 58, 83 und 108 in dem Intervall . Für dieses Polynom gilt, dass alle Nullstellen in der zweiten Ebene zu der Nullstelle in der ersten Ebene reduziert werden. Sie werden mit jeweils einer Linie verbunden. Man sagt kurz: Die Nullstelle aus der ersten Ebene wird in die zweite Ebene gehoben.

Analog für die dritte Ebene.

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6.
  • David Eisenbud: Commutative algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 150). Springer-Verlag, Berlin/ New York 1995, ISBN 3-540-94268-8.
  • Atilla Pethö: Algebraische Algorithmen. Hrsg.: Michael Pohst. Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06598-2, S. 187.
  • Michael Kaplan: Computeralgebra. Springer, 2005, ISBN 3-540-21379-1, S. 51.
  • K. Hensel: Theorie der Algebraischen Zahlen. Teubner, Leipzig 1908.
  • Helmut Koch: Zahlentheorie – Algebraische Zahlen und Funktionen. Vieweg, 1997.
  • Matthias Künzer: Heben von Nullstellen. Universität Stuttgart, 2011.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. David A. Cox: Why Eisenstein proved the Eisenstein Criterion and why Schönemann discovered it first. In: American Mathematical Monthly. Band 118, 2011, S. 3–21.
  2. F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1.
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Veröffentlichungsdatum:
Das henselsche Lemma nach Kurt Hensel ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra Es wurde schon 1846 vor Hensel von Theodor Schonemann bewiesen 1 Das henselsche Lemma ist im Wesentlichen das Newtonverfahren angewendet auf Q p displaystyle mathbb Q p 2 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Beispiele 3 Henselscher Ring 4 Hebungsbaum 4 1 Nullstellen und ihre Hebungen 4 2 Beschreibung des Hebungsbaumes 4 3 Beispiel 5 Literatur 6 EinzelnachweiseFormulierung BearbeitenEs sei K displaystyle K nbsp ein vollstandiger nicht archimedisch bewerteter Korper mit Bewertungsring A displaystyle A nbsp und Restklassenkorper k displaystyle k nbsp Ist nun f A X displaystyle f in A X nbsp ein Polynom dessen Reduktion f k X displaystyle bar f in k X nbsp das Produkt zweier teilerfremder Polynome g h k X displaystyle bar g bar h in k X nbsp ist so gibt es Polynome g h A X displaystyle g h in A X nbsp so dass f g h displaystyle f gh nbsp gilt und g displaystyle bar g nbsp bzw h displaystyle bar h nbsp die Reduktion von g displaystyle g nbsp bzw h displaystyle h nbsp ist Beispiele BearbeitenMit dem henselschen Lemma kann man zeigen dass der Korper der p displaystyle p nbsp adischen Zahlen die p 1 displaystyle p 1 nbsp ten Einheitswurzeln enthalt Fur eine Primzahl p displaystyle p nbsp sei K Q p displaystyle K mathbb Q p nbsp der Korper der p displaystyle p nbsp adischen Zahlen A Z p displaystyle A mathbb Z p nbsp und k F p displaystyle k mathbb F p nbsp Das Polynom f X X p 1 1 displaystyle f X X p 1 1 nbsp zerfallt uber k displaystyle k nbsp in Linearfaktorenf X X p 1 1 X 1 X 2 X p 1 displaystyle bar f X X p 1 bar 1 X bar 1 X bar 2 cdots X overline p 1 nbsp dd Es gibt also Polynome g 1 g p 1 Z p X displaystyle g 1 ldots g p 1 in mathbb Z p X nbsp so dassf g 1 g p 1 g i X X i mod p displaystyle f g 1 cdots g p 1 qquad g i X equiv X i pmod p nbsp dd gilt Die Polynome g i displaystyle g i nbsp haben notwendigerweise die Form g X a X b displaystyle g X aX b nbsp mit a 1 p Z p displaystyle a in 1 p mathbb Z p nbsp man kann also a 1 displaystyle a 1 nbsp annehmen d h es gibt z 1 z p 1 Z p displaystyle zeta 1 ldots zeta p 1 in mathbb Z p nbsp so dassX p 1 1 X z 1 X z p 1 displaystyle X p 1 1 X zeta 1 cdots X zeta p 1 nbsp dd gilt Die z 1 z p 1 displaystyle zeta 1 ldots zeta p 1 nbsp sind die p 1 displaystyle p 1 nbsp ten Einheitswurzeln und sie konnen immer so angeordnet werden dass z i i mod p displaystyle zeta i equiv i pmod p nbsp Ist die Primzahl p 1 mod 4 displaystyle p equiv 1 pmod 4 nbsp dann gibt es nach dem Obigen ein h Q p displaystyle eta in mathbb Q p nbsp mit h 2 1 displaystyle eta 2 1 nbsp Denn unter den p 1 displaystyle p 1 nbsp ten Einheitswurzeln gibt es eine sie sei mit z displaystyle zeta nbsp bezeichnet die die zyklische Gruppe der p 1 displaystyle p 1 nbsp ten Einheitswurzeln erzeugt Mit h z p 1 4 displaystyle eta zeta tfrac p 1 4 nbsp ergibt sich h 2 1 displaystyle eta 2 1 nbsp Im Korper Q p displaystyle mathbb Q p nbsp der p displaystyle p nbsp adischen Zahlen ist 0 durch eine nicht triviale Summe von Quadraten darstellbar Damit ist 1 durch eine Summe von Quadraten darstellbar und Q p displaystyle mathbb Q p nbsp kann nicht angeordnet werden Zwei Falle sind zu unterscheiden p 2 displaystyle p 2 nbsp Hier ist bei Quadratwurzeln wegen der fehlenden Teilerfremdheit der Polynome uber F 2 displaystyle mathbb F 2 nbsp das henselsche Lemma nicht direkt anwendbar Es lasst sich aber mit der Vorgehensweise im Beweis desselben zeigen dass 7 Q 2 displaystyle sqrt 7 in mathbb Q 2 nbsp Sei namlich m 3 1 Z displaystyle m 3 1 in mathbb Z nbsp mit m 3 2 7 mod 2 3 displaystyle m 3 2 equiv 7 pmod 2 3 nbsp Fur i 3 4 displaystyle i 3 4 nbsp sei nun m i Z displaystyle m i in mathbb Z nbsp derart dass m i 2 7 mod 2 i displaystyle m i 2 equiv 7 pmod 2 i nbsp Da m i 2 7 displaystyle m i 2 7 nbsp durch 2 teilbar ist konnen wir m i 1 m i m i 2 7 2 m i mod 2 i 1 displaystyle m i 1 equiv m i frac m i 2 7 2m i pmod 2 i 1 nbsp bilden Dann ist m i 1 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1 p p 1 2 mod p i 1 displaystyle m i 1 equiv m i m i 2 1 p tfrac p 1 2 pmod p i 1 nbsp Im Ergebnis verschwindet die Summe der p displaystyle p nbsp Quadrate p 1 1 2 m 2 p 1 1 p 0 displaystyle p 1 times 1 2 m 2 p 1 1 p 0 nbsp Es seien K A k displaystyle K A k nbsp wie oben aber f X X p 1 displaystyle f X X p 1 nbsp Dann ist f X X p 1 X 1 p displaystyle bar f X X p bar 1 X bar 1 p nbsp mit Faktoren X 1 displaystyle X bar 1 nbsp die alle gleich also nicht teilerfremd sind Das henselsche Lemma ist nicht anwendbar Henselscher Ring Bearbeiten Hauptartikel Henselscher Ring Die Voraussetzung dass K displaystyle K nbsp vollstandig ist ist eigentlich starker als es fur den Beweis des henselschen Lemmas erforderlich ware Allgemein nennt man bewertete Korper K displaystyle K nbsp beziehungsweise Ringe A displaystyle A nbsp in denen das henselsche Lemma in der oben angegebenen Form gilt henselsch Hebungsbaum BearbeitenEin Hebungsbaum ist ein Hilfsmittel um das Verhalten eines Polynoms f X Z X displaystyle f X in mathbb Z X nbsp genauer das Verhalten der Nullstellen modulo p k displaystyle p k nbsp des Polynoms zu beschreiben Anhand eines Hebungsbaumes kann man p adische Zahlen leichter untersuchen und damit auf das Verhalten des Polynoms schliessen Der Hebungsbaum hat in seiner k ten Ebene die Nullstellen modulo p k displaystyle p k nbsp und diese werden mit ihren Hebungen modulo p k 1 displaystyle p k 1 nbsp verbunden falls diese ebenfalls wieder Nullstellen sind Nullstellen und ihre Hebungen Bearbeiten Sei f X Z X displaystyle f X in mathbb Z X nbsp ein rational irreduzibles Polynom Sei p prim Sei k 1 displaystyle k geq 1 nbsp die Ebene des Hebungsbaumes Sei a Z displaystyle a in mathbb Z nbsp Ist f a 0 mod p k displaystyle f a equiv 0 mod p k nbsp so sagen wir a displaystyle a nbsp ist eine Nullstelle von f X in Z p k displaystyle mathbb Z p k nbsp oder modulo p k displaystyle p k nbsp Sei a Z displaystyle a in mathbb Z nbsp eine Nullstelle von f X displaystyle f X nbsp modulo p k displaystyle p k nbsp Sei l 1 displaystyle l geq 1 nbsp Ist b Z displaystyle b in mathbb Z nbsp eine Nullstelle von f X modulo p k l displaystyle p k l nbsp und ist b a mod p k displaystyle b equiv a mod p k nbsp dann sagen wir dass b displaystyle b nbsp eine Nullstelle modulo p k l displaystyle p k l nbsp ist die die Nullstelle a modulo p k displaystyle p k nbsp hebt Beschreibung des Hebungsbaumes Bearbeiten In einem Hebungsbaum werden alle Nullstellen eines Polynoms in Z p k displaystyle mathbb Z p k nbsp eingetragen wobei k Z displaystyle k in mathbb Z nbsp die jeweilige Ebene des Hebungsbaumes ist Die erste Ebene des Baumes befindet sich ganz unten Mit wachsendem k displaystyle k nbsp wachst der Baum von unten nach oben und es werden alle Nullstellen in der jeweiligen Ebene eingetragen In der untersten und damit ersten Ebene k 1 displaystyle k 1 nbsp werden alle Nullstellen des Polynoms in Z p displaystyle mathbb Z p nbsp eingetragen Die Nullstellen nehmen Werte in dem Intervall 0 p 1 displaystyle 0 p 1 nbsp an In der daruberliegenden zweiten Ebene k 2 displaystyle k 2 nbsp werden alle Nullstellen des Polynoms in Z p 2 displaystyle mathbb Z p 2 nbsp eingetragen Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall 0 p 2 1 displaystyle 0 p 2 1 nbsp an Reduziert eine solche Nullstelle in der zweiten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden ersten Ebene in Z p displaystyle mathbb Z p nbsp so werden diese beiden Nullstellen mit einer Linie verbunden In der nachsthohergelegenen Ebene k 3 displaystyle k 3 nbsp werden alle Nullstellen des Polynoms in Z p 3 displaystyle mathbb Z p 3 nbsp eingetragen Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall 0 p 3 1 displaystyle 0 p 3 1 nbsp an Auch hier gilt Reduziert eine Nullstelle in der dritten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden zweiten Ebene in Z p 2 displaystyle mathbb Z p 2 nbsp so werden diese Nullstellen mit einer Linie verbunden Dies gilt fur alle folgenden Ebenen k Z displaystyle k in mathbb Z nbsp Beispiel Bearbeiten Sei das Polynom f x x 4 3 x 3 3 x 2 x 1 displaystyle f x x 4 3x 3 3x 2 x 1 nbsp gegeben Sei p 5 displaystyle p 5 nbsp prim Wir erhalten folgenden Hebungsbaum nbsp Beispiel zu dem Polynom x 4 3 x 3 3 x 2 x 1 0 displaystyle x 4 3x 3 3x 2 x 1 0 nbsp In der ersten Ebene k 1 displaystyle k 1 nbsp befinden sich die Nullstellen 1 und 3 in dem Intervall 0 4 displaystyle 0 4 nbsp In der zweiten Ebene k 2 displaystyle k 2 nbsp sind die Nullstellen 3 8 13 18 und 23 in dem Intervall 0 24 displaystyle 0 24 nbsp vorhanden In der darauffolgenden dritten Ebene k 3 displaystyle k 3 nbsp sehen wir die Nullstellen 8 33 58 83 und 108 in dem Intervall 0 124 displaystyle 0 124 nbsp Fur dieses Polynom gilt dass alle Nullstellen in der zweiten Ebene zu der Nullstelle a 3 displaystyle a 3 nbsp in der ersten Ebene reduziert werden Sie werden mit jeweils einer Linie verbunden Man sagt kurz Die Nullstelle a 3 displaystyle a 3 nbsp aus der ersten Ebene wird in die zweite Ebene gehoben Analog fur die dritte Ebene Literatur BearbeitenJurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 David Eisenbud Commutative algebra Graduate Texts in Mathematics 150 Springer Verlag Berlin New York 1995 ISBN 3 540 94268 8 Atilla Petho Algebraische Algorithmen Hrsg Michael Pohst Vieweg 1999 ISBN 3 528 06598 2 S 187 Michael Kaplan Computeralgebra Springer 2005 ISBN 3 540 21379 1 S 51 K Hensel Theorie der Algebraischen Zahlen Teubner Leipzig 1908 Helmut Koch Zahlentheorie Algebraische Zahlen und Funktionen Vieweg 1997 Matthias Kunzer Heben von Nullstellen Universitat Stuttgart 2011 Einzelnachweise Bearbeiten David A Cox Why Eisenstein proved the Eisenstein Criterion and why Schonemann discovered it first In American Mathematical Monthly Band 118 2011 S 3 21 F Lemmermeyer Elliptische Kurven 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Henselsches Lemma amp oldid 213616917