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Hatta Zahl Die Ha ist eine Kennzahl mit der Einheit Eins aus dem Bereich der chemischen Makrokinetik Sie beschreibt das

Hatta-Zahl

Die Hatta-Zahl (Ha) ist eine Kennzahl mit der Einheit Eins aus dem Bereich der chemischen Makrokinetik. Sie beschreibt das Zusammenwirken von Stofftransportphänomenen und reiner Reaktionskinetik (Mikrokinetik) für Flüssig-Flüssig- oder Gas-Flüssig-Systeme. Das Pendant zur Hatta-Zahl aus der Heterogenen Katalyse (Gas-Fest oder Flüssig-Fest) ist der Thiele-Modul.

Allgemein definiert man die Hatta-Zahl als

In der Literatur findet man oft folgende Definition:

Oder ausführlicher:

mit

Für eine einfache Reaktion 1. Ordnung vereinfacht sich die Hatta-Zahl zu der oftmals verwendeten, verkürzten Form:

Klassifikation von mehrphasigen Reaktionen Bearbeiten

Mit Hilfe der Hatta-Zahl lassen sich Reaktionen, denen Stofftransportvorgänge vorgelagert sind oder die mit Stofftransportvorgängen gekoppelt sind, klassifizieren. Beispiele sind die Chemische Absorption oder mehrphasige Reaktionen.

Zunächst betrachtet man eine Grenzschicht zwischen zwei Phasen (Flüssig-Flüssig oder Gas-Flüssig). Das Konzentrationsprofil der diffundierenden Komponente lässt sich mit dem Zweifilm-Modell (nach Lewis und Whitman) beschreiben.

Die Hatta-Zahl gibt nun das Verhältnis der Reaktionsgeschwindigkeit in der Reaktionsphase zur Stofftransportgeschwindigkeit durch die Phasengrenze in die Reaktionsphase an.

Man unterscheidet mehrere Fälle:

  • Langsame Reaktion
  • Mittlere Reaktion
  • Schnelle Reaktion
  • Momentane Reaktion

Der Einfluss des Stoffübergangs auf die effektive Reaktionsgeschwindigkeit Bearbeiten

Die verschiedenen Fälle aus dem obigen Abschnitt Klassifikation von mehrphasigen Reaktionen können anschaulich anhand einer Reaktion zwischen einem Gas und einer gelösten Komponente verdeutlicht werden. Dabei wird folgende Reaktionsgleichung als Basis verwendet:

Hierbei stellt die Komponente die Gasphase und Komponente die gelöste Komponente dar. Da die gelöste Komponente im Überschuss vorliegen soll, vereinfacht sich der Ausdruck der Reaktionsgeschwindigkeit wie folgt:

Die Reaktion ist hinsichtlich demnach erster Ordnung. Es wird angenommen, dass zwischen der Gasphase und der Flüssigkeit keine Grenzschicht vorliegt, die den Stofftransport limitiert. Des Weiteren wird angenommen, dass zwischen der Phasengrenzfläche und dem Kern der flüssigen Phase eine Grenzschicht der Dicke vorliegt. Damit ist die Basis für die Betrachtung verschieden schneller Reaktionen im Vergleich zum Stofftransport gegeben.

Langsame Reaktion im Vergleich zum Stofftransport Bearbeiten

Für den Fall einer langsamen Reaktion, im Vergleich zu dem Stofftransport von durch die Grenzschicht in der flüssigen Phase (), findet die Reaktion quasi nur im Kern der flüssigen Phase statt. Der auf das gesamte Flüssigkeitsvolumen bezogene Stoffmengenstrom an , wird demnach durch das Erste Ficksche Gesetz beschrieben:

Wobei für den Stoffmengenfluss an A, für die spezifische Austauschfläche mit der Einheit , für die Konzentration von an der Phasengrenzfläche und für die Konzentration von A im Kern der Flüssigkeit steht. Die linke Seite der Gleichung hat demnach die Einheit einer Reaktionsgeschwindigkeit. Werden der letzte Ausdruck und der Ausdruck für die Reaktionsgeschwindigkeit gleichgesetzt, kann ein Ausdruck für die unbekannte Konzentration gefunden werden:

Mithilfe dieses Ausdrucks kann in der Gleichung für die Reaktionsgeschwindigkeit die unbekannte Konzentration ersetzt werden und damit ein Ausdruck für die effektive Reaktionsgeschwindigkeit erhalten werden.

Reaktion mittlerer Geschwindigkeit im Vergleich zum Stofftransport Bearbeiten

Für den Fall einer mittleren Geschwindigkeit der Reaktion, im Vergleich zum Stofftransport von durch die Grenzschicht der flüssigen Phase (), findet die Reaktion bereits in der Grenzschicht statt. Um einen Ausdruck für die Konzentration von in der Grenzschicht zu erhalten muss die Gleichung des Massenerhalts für das vorliegende Problem angepasst werden:

Dabei wird ein stationärer Zustand angenommen, bei dem es keine Konvektion, sondern ausschließlich Diffusion gibt. Diese Differentialgleichung kann dahingehend umgeformt werden, dass die Ortskoordinate relativ zur Dicke der Grenzschicht verwendet wird, wodurch die Hatta-Zahl erhalten wird.

Wird diese Differentialgleichung mit den Randbedingungen und gelöst, kann folgende Gleichung für die Konzentration von in Abhängigkeit der relativen Position in der Grenzschicht erhalten werden:

Um auch hier wieder einen Ausdruck für die effektive Reaktionsgeschwindigkeit zu erhalten, wird erneut der, auf das gesamte Flüssigkeitsvolumen bezogene, Stoffmengenstrom an betrachtet. Da dieser Stoffmengenstrom durch die Grenzschicht hindurch geringer wird ( reagiert ab) muss der Stoffmengenstrom genau an der Phasengrenzfläche betrachtet werden. Dafür wird das mit erweiterte Erste Ficksche Gesetz verwendet.

Wird der erhaltene Ausdruck für abgeleitet und an der Stelle in die vorheriger Gleichung eingesetzt, wird die effektive Reaktionsgeschwindigkeit erhalten:

Dabei wurde die Definition des Stoffübergangskoeffizienten verwendet.

Reaktion hoher Geschwindigkeit im Vergleich zum Stofftransport Bearbeiten

Für den Fall hoher Geschwindigkeit der Reaktion, im Vergleich zum Stofftransport von durch die Grenzschicht der flüssigen Phase (), gelten die gleichen Gesetzmäßigkeiten wie in der Herleitung der Reaktion mittlerer Geschwindigkeit. Da der Cosinus hyperbolicus für Hatta-Zahlen größer als schnell sehr groß und mit steigender Reaktionsgeschwindigkeit sehr klein wird, kann der rechte Term in der Klammer von vernachlässigt werden. Die effektive Reaktionsgeschwindigkeit ergibt sich demnach zu:

Mit

Wobei Verstärkungsfaktor genannt wird. Um zu verstehen, weshalb dieser Name für den vorherigen Ausdruck gewählt wurde, kann der Stoffmengenfluss von betrachtet werden ().

Dieser Ausdruck entspricht der Lösung des Ersten Fickschen Gesetzes für . Der Stoffmengenfluss von wird durch die ablaufende Reaktion um den Faktor verstärkt (Verstärkungsfaktor).

Literatur Bearbeiten

  • Heinz M. Hiersig: Lexikon Produktionstechnik, Verfahrenstechnik. Springer, 1995, ISBN 3-18-401373-1, S. 431. (Google Books)
  • E. Fitzer, W. Fritz, G. Emig: Technische Chemie, Einführung in die chemische Reaktionstechnik. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 1995.
  • M. Baerns, H. Hofmann, A. Renken: Chemische Reaktionstechnik. 2. Auflage. Georg-Thieme-Verlag, Stuttgart 1987.
  • L. K. Doraiswamy, M. M. Shrama: Heterogeneous Reactions: Analysis, Examples and Reactor Design. Volume 2, John Wiley & Sons, New York u. a. 1984.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Manfred Baerns: Technische Chemie. 2., erw. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim, Bergstr 2013, ISBN 3-527-33072-0 (wiley.com [abgerufen am 7. Februar 2022]).
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Veröffentlichungsdatum:
Die Hatta Zahl Ha ist eine Kennzahl mit der Einheit Eins aus dem Bereich der chemischen Makrokinetik Sie beschreibt das Zusammenwirken von Stofftransportphanomenen und reiner Reaktionskinetik Mikrokinetik fur Flussig Flussig oder Gas Flussig Systeme Das Pendant zur Hatta Zahl aus der Heterogenen Katalyse Gas Fest oder Flussig Fest ist der Thiele Modul Allgemein definiert man die Hatta Zahl als H a Reaktionsgeschwindigkeit ohne Stofftransporthemmung reine Stoffubergangsgeschwindigkeit displaystyle Ha frac text Reaktionsgeschwindigkeit ohne Stofftransporthemmung text reine Stoffubergangsgeschwindigkeit In der Literatur findet man oft folgende Definition H a d k m n C 1 n 1 D A displaystyle Ha delta sqrt frac k mn C 1 n 1 D A Oder ausfuhrlicher H a 1 k L 2 m 1 D A k m n C A m 1 C B 0 n displaystyle Ha frac 1 k L sqrt frac 2 m 1 D A k mn C A m 1 C B 0 n mit k L D A d displaystyle k L frac D A delta Fur eine einfache Reaktion 1 Ordnung vereinfacht sich die Hatta Zahl zu der oftmals verwendeten verkurzten Form H a d k D A displaystyle Ha delta sqrt frac k D A d displaystyle delta Schichtdicke der Grenzschicht k m n displaystyle k mn Geschwindigkeitskonstante der Reaktion k L displaystyle k L Stofftransportgeschwindigkeit der Komponente A C A displaystyle C A Konzentration der Komponente A an der Phasengrenzflache m displaystyle m Reaktionsordnung von Komponente A n displaystyle n Reaktionsordnung von Komponente B D A displaystyle D A Diffusionskoeffizient der Komponente A in der fluiden Phase Erklarung unten im Text Inhaltsverzeichnis 1 Klassifikation von mehrphasigen Reaktionen 2 Der Einfluss des Stoffubergangs auf die effektive Reaktionsgeschwindigkeit 2 1 Langsame Reaktion im Vergleich zum Stofftransport 2 2 Reaktion mittlerer Geschwindigkeit im Vergleich zum Stofftransport 2 3 Reaktion hoher Geschwindigkeit im Vergleich zum Stofftransport 3 Literatur 4 EinzelnachweiseKlassifikation von mehrphasigen Reaktionen BearbeitenMit Hilfe der Hatta Zahl lassen sich Reaktionen denen Stofftransportvorgange vorgelagert sind oder die mit Stofftransportvorgangen gekoppelt sind klassifizieren Beispiele sind die Chemische Absorption oder mehrphasige Reaktionen Zunachst betrachtet man eine Grenzschicht zwischen zwei Phasen Flussig Flussig oder Gas Flussig Das Konzentrationsprofil der diffundierenden Komponente lasst sich mit dem Zweifilm Modell nach Lewis und Whitman beschreiben Die Hatta Zahl gibt nun das Verhaltnis der Reaktionsgeschwindigkeit in der Reaktionsphase zur Stofftransportgeschwindigkeit durch die Phasengrenze in die Reaktionsphase an Man unterscheidet mehrere Falle Langsame ReaktionDieser Fall gilt fur einen Wert der Hatta Zahl kleiner 0 3 Die Reaktion ist viel langsamer als der Stoffubergang Die Reaktion findet nur in der Reaktionsphase statt Die Reaktion ubt keine Wechselwirkung mit dem Stoffubergang aus Mittlere ReaktionDieser Fall gilt fur einen Wert der Hatta Zahl zwischen 0 3 und 3 Die Reaktion ist in etwa so schnell wie der Stoffubergang Ein Teil der diffundierenden Komponente reagiert bereits in der Grenzschicht Schnelle ReaktionDieser Fall gilt fur einen Wert der Hatta Zahl grosser 3 Die Reaktion ist schneller als der Stoffubergang Die diffundierende Komponente reagiert bereits in der Grenzschicht Das bedeutet dass die Reaktion standig die ubergehende Komponente aus dem Grenzfilm entfernt Das Konzentrationsprofil durch den Film ist nicht mehr gerade sondern gebogen Dies fuhrt zu einer Beschleunigung des Stofftransports gegenuber dem nicht reaktiven Stoffubergang Der entsprechende Beschleunigungsfaktor Verstarkungsfaktor genannt hat den WertE H a tanh H a displaystyle E frac Ha tanh Ha nbsp dd Momentane ReaktionDieser Fall liegt vor bei Ha 3Die Reaktion ist wesentlich schneller als der Stoffubergang Die diffundierende Komponente reagiert bereits kurz nach dem Eintritt in die Grenzschicht innerhalb einer Ebene parallel zur Oberflache Die maximal erreichbare Reaktionsgeschwindigkeit ist durch die Diffusion des flussigen Reaktionspartners zur Reaktionsebene limitiert In der Nahe dieser Ebene sind die Eduktkonzentrationen gering die Produktkonzentrationen sind hoch Der Einfluss des Stoffubergangs auf die effektive Reaktionsgeschwindigkeit BearbeitenDie verschiedenen Falle aus dem obigen Abschnitt Klassifikation von mehrphasigen Reaktionen konnen anschaulich anhand einer Reaktion zwischen einem Gas und einer gelosten Komponente verdeutlicht werden Dabei wird folgende Reaktionsgleichung als Basis verwendet A B k P displaystyle ce A B gt k P nbsp Hierbei stellt die Komponente A displaystyle ce A nbsp die Gasphase und Komponente B displaystyle ce B nbsp die geloste Komponente dar Da die geloste Komponente im Uberschuss vorliegen soll vereinfacht sich der Ausdruck der Reaktionsgeschwindigkeit wie folgt r k c A c B k c A displaystyle r k cdot c A infty cdot c B k cdot c A infty nbsp mit k k c B displaystyle k k cdot c B nbsp Die Reaktion ist hinsichtlich A displaystyle ce A nbsp demnach erster Ordnung Es wird angenommen dass zwischen der Gasphase und der Flussigkeit keine Grenzschicht vorliegt die den Stofftransport limitiert Des Weiteren wird angenommen dass zwischen der Phasengrenzflache und dem Kern der flussigen Phase eine Grenzschicht der Dicke d displaystyle delta nbsp vorliegt Damit ist die Basis fur die Betrachtung verschieden schneller Reaktionen im Vergleich zum Stofftransport gegeben 1 Langsame Reaktion im Vergleich zum Stofftransport Bearbeiten Fur den Fall einer langsamen Reaktion im Vergleich zu dem Stofftransport von A displaystyle ce A nbsp durch die Grenzschicht in der flussigen Phase H a lt 0 3 displaystyle Ha lt 0 3 nbsp findet die Reaktion quasi nur im Kern der flussigen Phase statt Der auf das gesamte Flussigkeitsvolumen bezogene Stoffmengenstrom an A displaystyle ce A nbsp wird demnach durch das Erste Ficksche Gesetz beschrieben J A a k L a c A c A displaystyle J A cdot a k L cdot a cdot c A c A infty nbsp Wobei J A displaystyle J A nbsp fur den Stoffmengenfluss an A a A V displaystyle a frac A V nbsp fur die spezifische Austauschflache mit der Einheit m 1 displaystyle m 1 nbsp c A displaystyle c A nbsp fur die Konzentration von A displaystyle ce A nbsp an der Phasengrenzflache und c A displaystyle c A infty nbsp fur die Konzentration von A im Kern der Flussigkeit steht Die linke Seite der Gleichung hat demnach die Einheit einer Reaktionsgeschwindigkeit Werden der letzte Ausdruck und der Ausdruck fur die Reaktionsgeschwindigkeit gleichgesetzt kann ein Ausdruck fur die unbekannte Konzentration c A displaystyle c A infty nbsp gefunden werden k c A k L a c A c A displaystyle k cdot c A infty k L cdot a cdot c A c A infty nbsp c A k L a c A k k L a displaystyle c A infty frac k L cdot a cdot c A k k L cdot a nbsp Mithilfe dieses Ausdrucks kann in der Gleichung fur die Reaktionsgeschwindigkeit die unbekannte Konzentration c A displaystyle c A infty nbsp ersetzt werden und damit ein Ausdruck fur die effektive Reaktionsgeschwindigkeit erhalten werden r eff k k L a c A k k L a 1 1 k L a 1 k c A displaystyle r text eff k cdot frac k L cdot a cdot c A k k L cdot a frac 1 frac 1 k L cdot a frac 1 k cdot c A nbsp Reaktion mittlerer Geschwindigkeit im Vergleich zum Stofftransport Bearbeiten Fur den Fall einer mittleren Geschwindigkeit der Reaktion im Vergleich zum Stofftransport von A displaystyle ce A nbsp durch die Grenzschicht der flussigen Phase 0 3 lt H a lt 3 displaystyle 0 3 lt Ha lt 3 nbsp findet die Reaktion bereits in der Grenzschicht statt Um einen Ausdruck fur die Konzentration von A displaystyle ce A nbsp in der Grenzschicht zu erhalten muss die Gleichung des Massenerhalts fur das vorliegende Problem angepasst werden c t u c x D A 2 c x 2 n r 0 D A 2 c A x 2 k c A displaystyle frac partial c partial t u cdot frac partial c partial x D A cdot frac partial 2 c partial x 2 nu cdot r quad Rightarrow quad 0 D A cdot frac partial 2 c A partial x 2 k cdot c A nbsp Dabei wird ein stationarer Zustand angenommen bei dem es keine Konvektion sondern ausschliesslich Diffusion gibt Diese Differentialgleichung kann dahingehend umgeformt werden dass die Ortskoordinate x displaystyle x nbsp relativ zur Dicke der Grenzschicht d displaystyle delta nbsp verwendet wird wodurch die Hatta Zahl erhalten wird 0 2 c A x d 2 k D d 2 c A 2 c A x d 2 H a 2 c A displaystyle 0 frac partial 2 c A partial left frac x delta right 2 frac k D cdot delta 2 cdot c A quad Rightarrow quad frac partial 2 c A partial left frac x delta right 2 Ha 2 cdot c A nbsp Wird diese Differentialgleichung mit den Randbedingungen c A x d 0 c A displaystyle c A left frac x delta 0 right c A nbsp und c A x d 1 c A displaystyle c A left frac x delta 1 right c A infty nbsp gelost kann folgende Gleichung fur die Konzentration von A displaystyle ce A nbsp in Abhangigkeit der relativen Position in der Grenzschicht erhalten werden c A c A sinh H a 1 x d c A sinh H a x d sinh H a displaystyle c A frac c A cdot sinh left Ha cdot 1 frac x delta right c A infty cdot sinh left Ha cdot frac x delta right sinh Ha nbsp Um auch hier wieder einen Ausdruck fur die effektive Reaktionsgeschwindigkeit zu erhalten wird erneut der auf das gesamte Flussigkeitsvolumen bezogene Stoffmengenstrom an A displaystyle ce A nbsp betrachtet Da dieser Stoffmengenstrom durch die Grenzschicht hindurch geringer wird A displaystyle ce A nbsp reagiert ab muss der Stoffmengenstrom genau an der Phasengrenzflache betrachtet werden Dafur wird das mit a displaystyle a nbsp erweiterte Erste Ficksche Gesetz verwendet r eff J A a x 0 a D A d c A d x x 0 displaystyle r text eff J A cdot a x 0 a cdot D A left frac mathrm d c A mathrm d x right x 0 nbsp Wird der erhaltene Ausdruck fur c A displaystyle c A nbsp abgeleitet und an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp in die vorheriger Gleichung eingesetzt wird die effektive Reaktionsgeschwindigkeit erhalten r eff H a tanh H a k L a c A 1 c A c A 1 cosh H a displaystyle r text eff frac Ha tanh Ha cdot k L cdot a cdot c A cdot left 1 frac c A infty c A cdot frac 1 cosh Ha right nbsp Dabei wurde die Definition des Stoffubergangskoeffizienten k L displaystyle k L nbsp verwendet Reaktion hoher Geschwindigkeit im Vergleich zum Stofftransport Bearbeiten Fur den Fall hoher Geschwindigkeit der Reaktion im Vergleich zum Stofftransport von A displaystyle ce A nbsp durch die Grenzschicht der flussigen Phase H a gt 3 displaystyle Ha gt 3 nbsp gelten die gleichen Gesetzmassigkeiten wie in der Herleitung der Reaktion mittlerer Geschwindigkeit Da der Cosinus hyperbolicus fur Hatta Zahlen grosser als 3 displaystyle 3 nbsp schnell sehr gross und mit steigender Reaktionsgeschwindigkeit c A displaystyle c A infty nbsp sehr klein wird kann der rechte Term in der Klammer von r eff displaystyle r text eff nbsp vernachlassigt werden Die effektive Reaktionsgeschwindigkeit ergibt sich demnach zu r eff H a tanh H a k L a c A displaystyle r text eff frac Ha tanh Ha cdot k L cdot a cdot c A nbsp Mit E H a tanh H a displaystyle E frac Ha tanh Ha nbsp Wobei E displaystyle E nbsp Verstarkungsfaktor genannt wird Um zu verstehen weshalb dieser Name fur den vorherigen Ausdruck gewahlt wurde kann der Stoffmengenfluss von A displaystyle ce A nbsp betrachtet werden r J a displaystyle r J cdot a nbsp J A E k L c A displaystyle J A E cdot k L cdot c A nbsp Dieser Ausdruck entspricht der Losung des Ersten Fickschen Gesetzes fur c A 0 displaystyle c A infty 0 nbsp Der Stoffmengenfluss von A displaystyle ce A nbsp wird durch die ablaufende Reaktion um den Faktor E displaystyle E nbsp verstarkt Verstarkungsfaktor Literatur BearbeitenHeinz M Hiersig Lexikon Produktionstechnik Verfahrenstechnik Springer 1995 ISBN 3 18 401373 1 S 431 Google Books E Fitzer W Fritz G Emig Technische Chemie Einfuhrung in die chemische Reaktionstechnik Springer Verlag Berlin Heidelberg 1995 M Baerns H Hofmann A Renken Chemische Reaktionstechnik 2 Auflage Georg Thieme Verlag Stuttgart 1987 L K Doraiswamy M M Shrama Heterogeneous Reactions Analysis Examples and Reactor Design Volume 2 John Wiley amp Sons New York u a 1984 Einzelnachweise Bearbeiten Manfred Baerns Technische Chemie 2 erw Auflage Wiley VCH Weinheim Bergstr 2013 ISBN 3 527 33072 0 wiley com abgerufen am 7 Februar 2022 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hatta Zahl amp oldid 239451264