HWI Ungleichung Die ist eine Funktionalungleichung aus der Theorie des optimalen Transportes welche die relative Entropi

HWI-Ungleichung

Die HWI-Ungleichung ist eine Funktionalungleichung aus der Theorie des optimalen Transportes, welche die relative Entropie eines Wahrscheinlichkeitsmaßes bezüglich eines Referenzmaßes durch die Wasserstein-Distanz mit quadratischen Transportkosten und die relative Fisher-Information nach oben beschränkt. Sie impliziert eine Transport-Ungleichung von Talagrand und eine logarithmische Sobolew-Ungleichung für gaußsche Maße.

Die Gleichung wurde 2000 von Felix Otto und Cédric Villani bewiesen.

HWI-Ungleichung Bearbeiten

Vorbereitung Bearbeiten

Sei

ein polnischer Raum mit Borel-σ-Algebra ,
der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf .
der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf mit endlichem -ten Moment.
definieren wir analog für den Produktraum ,
das Lebesgue-Maß,
der Raum der -mal stetig differenzierbaren Funktionen der Form ,
die -dimensionale Identitätsmatrix.

Seien , dann nennen wir ein eine Kopplung von , falls und seine Marginalen sind, das heißt und . Mit notieren wir den Raum aller Kopplungen von .

Wir nehmen nun an, dass absolut stetig bezüglich ist. Dann definieren wir weiter

die relative Entropie

die Wasserstein-Distanz

die relative Fisher-Information

HWI-Ungleichung auf ℝⁿ Bearbeiten

Sei nun und . Nehme an, dass von der Form

und absolut stetig bezüglich ist. Weiter soll für die Hesse-Matrix

für ein gelten.

Dann gilt die HWI-Ungleichung

Falls konvex ist, dann gilt

Eigenschaften Bearbeiten

Falls , dann impliziert die HWI-Ungleichung die logarithmische Sobolew-Ungleichung mit Konstante sowie die Talagrand-Ungleichung mit Konstante auf , notiert mit respektive für Maße der Form

HWI-Ungleichung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Es existiert auch eine Variante für glatte, zusammenhängende, vollständige riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Literatur Bearbeiten

Cédric Villani: Topics in Optimal Transportation. Hrsg.: American Mathematical Society. Vereinigte Staaten 2021, ISBN 978-1-4704-6726-5, S. 301.

Einzelnachweise Bearbeiten

Felix Otto und Cédric Villani: Generalization of an Inequality by Talagrand and Links with the Logarithmic Sobolev Inequality. In: Journal of Functional Analysis. Band 173, Nr. 2, 2000, S. 361–400, doi:10.1006/jfan.1999.3557.
↑ Felix Otto und Cédric Villani: Generalization of an Inequality by Talagrand and Links with the Logarithmic Sobolev Inequality. In: Journal of Functional Analysis. Band 173, Nr. 2, 2000, S. 367, doi:10.1006/jfan.1999.3557.
Cédric Villani: Topics in Optimal Transportation. Hrsg.: American Mathematical Society. Vereinigte Staaten 2021, ISBN 978-1-4704-6726-5, S. 301.
Ivan Gentil, Christian Léonard, Luigia Ripani, Luca Tamanini: An entropic interpolation proof of the HWI inequality. In: Stochastic Processes and their Applications. Band 130, Nr. 2, 2020, S. 907–923, doi:10.1016/j.spa.2019.04.002, arxiv:1807.06893.

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 13:53 pm

Die HWI Ungleichung ist eine Funktionalungleichung aus der Theorie des optimalen Transportes welche die relative Entropie eines Wahrscheinlichkeitsmasses bezuglich eines Referenzmasses durch die Wasserstein Distanz mit quadratischen Transportkosten und die relative Fisher Information nach oben beschrankt Sie impliziert eine Transport Ungleichung von Talagrand und eine logarithmische Sobolew Ungleichung fur gausssche Masse Die Gleichung wurde 2000 von Felix Otto und Cedric Villani bewiesen 1 Inhaltsverzeichnis 1 HWI Ungleichung 1 1 Vorbereitung 1 2 HWI Ungleichung auf ℝn 1 2 1 Eigenschaften 1 3 HWI Ungleichung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten 2 Literatur 3 EinzelnachweiseHWI Ungleichung BearbeitenVorbereitung Bearbeiten Sei E d displaystyle E d nbsp ein polnischer Raum mit Borel s Algebra B E displaystyle mathcal B E nbsp P E displaystyle mathcal P E nbsp der Raum der Wahrscheinlichkeitsmasse auf E B E displaystyle E mathcal B E nbsp P n E displaystyle mathcal P n E nbsp der Raum der 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Nehme an dass n P 2 E displaystyle nu in mathcal P 2 E nbsp von der Form n d x e V d x displaystyle nu dx e V dx nbsp und m displaystyle mu nbsp absolut stetig bezuglich n displaystyle nu nbsp ist Weiter soll fur die Hesse Matrix Hess V k I n displaystyle operatorname Hess V geq kI n nbsp fur ein k R displaystyle k in mathbb R nbsp gelten Dann gilt die HWI Ungleichung 2 3 H m n W 2 m n I m n k 2 W 2 m n 2 displaystyle H mu mid nu leq W 2 mu mid nu sqrt I mu mid nu frac k 2 W 2 mu mid nu 2 nbsp Falls V displaystyle V nbsp konvex ist dann gilt H m n W 2 m n I m n displaystyle H mu mid nu leq W 2 mu mid nu sqrt I mu mid nu nbsp Eigenschaften Bearbeiten Falls k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp dann impliziert die HWI Ungleichung die logarithmische Sobolew Ungleichung mit Konstante k displaystyle k nbsp sowie die Talagrand Ungleichung mit Konstante k displaystyle k nbsp auf R n displaystyle mathbb R n nbsp notiert mit L S E k displaystyle LSE k nbsp respektive T k displaystyle T k nbsp fur Masse der Form 2 n d x e V d x displaystyle nu dx e V dx nbsp HWI Ungleichung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Es existiert auch eine Variante fur glatte zusammenhangende vollstandige riemannsche Mannigfaltigkeiten 4 Literatur BearbeitenCedric Villani Topics in Optimal Transportation Hrsg American Mathematical Society Vereinigte Staaten 2021 ISBN 978 1 4704 6726 5 S 301 Einzelnachweise Bearbeiten Felix Otto und Cedric Villani Generalization of an Inequality by Talagrand and Links with the Logarithmic Sobolev Inequality In Journal of Functional Analysis Band 173 Nr 2 2000 S 361 400 doi 10 1006 jfan 1999 3557 a b Felix Otto und Cedric Villani Generalization of an Inequality by Talagrand and Links with the Logarithmic Sobolev Inequality In Journal of Functional Analysis Band 173 Nr 2 2000 S 367 doi 10 1006 jfan 1999 3557 Cedric Villani Topics in Optimal Transportation Hrsg American Mathematical Society Vereinigte Staaten 2021 ISBN 978 1 4704 6726 5 S 301 Ivan Gentil Christian Leonard Luigia Ripani Luca Tamanini An entropic interpolation proof of the HWI inequality In Stochastic Processes and their Applications Band 130 Nr 2 2020 S 907 923 doi 10 1016 j spa 2019 04 002 arxiv 1807 06893 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title HWI Ungleichung amp oldid 237736923