Optimaler Transport In der Mathematik bezeichnet eine Theorie die aus der analytischen Modellierung des Transportproblem

Optimaler Transport

In der Mathematik bezeichnet Optimaler Transport eine Theorie, die aus der analytischen Modellierung des Transportproblems entstanden ist. Lott und Villani sowie Sturm gaben mit Hilfe des optimalen Transports eine synthetische Definition von Ricci-Krümmungs-Schranken in allgemeinen metrischen Räumen.

Optimaler Transport ist ursprünglich ein (auf Monge und Kantorovich zurückgehendes) klassisches Problem, das ausgehend von einer gegebenen Anfangsverteilung und einer gewünschten Endverteilung nach dem günstigsten Transport sucht, bei dem die Anfangs- in die Endverteilung überführt wird.

Die Anfangs- und Endverteilungen werden durch Dichtefunktionen (Wahrscheinlichkeitsmaße) und auf metrischen Räumen und modelliert. Die Kostenfunktion ist eine gegebene Funktion . Der Wert gibt die Kosten für den Transport von nach an. Ein typisches Beispiel ist , falls und Teilmengen eines normierten Vektorraumes sind, oder allgemeiner für eine differenzierbare Funktion .

Monge-Problem Bearbeiten

Gesucht wird eine injektive Abbildung mit für alle messbaren Mengen , welche das Funktional

minimiert.

Es gibt Beispiele, in denen das Monge-Problem keine Lösung besitzt, z. B. falls ein Diracmaß und die Summe von mindestens zwei Diracmaßen ist.

Kantorovich-Problem Bearbeiten

Ein relaxiertes Problem wurde 1942 von Kantorovich betrachtet. Das Kantorovich-Problem sucht nach einem Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Produktraum mit

für alle kompakten Mengen , welches das Funktional

minimiert.

Kantorovich bewies, dass ein solches Wahrscheinlichkeitsmaß immer existiert.

Falls und für eine strikt konvexe Funktion h, dann ist die Lösung des Kantorovich-Problems von der Form

für eine injektive Abbildung . Insbesondere hat in diesem Fall auch das Monge-Problem eine Lösung.

Wasserstein-Metriken Bearbeiten

Für und Wahrscheinlichkeitsmaße auf einem metrischen Raum X sei die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf mit für alle kompakten Mengen . Dann definiert

den p-ten Wasserstein-Abstand zwischen und .

Der p-te Wasserstein-Abstand definiert eine Metrik auf der Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf , deren p-tes Moment endlich ist.

Wenn eine konvexe Teilmenge des und ist, dann sind die Geodäten der p-ten Wasserstein-Metrik von der Form

wobei die durch definierte Abbildung und die Lösung des Kantorovich-Problems zu ist.

Ricci-Krümmungs-Schranken Bearbeiten

Es sei M eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit dem durch die Volumenform gegebenen Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann hat M genau dann nichtnegative Ricci-Krümmung, wenn es zu je zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen eine verbindende Geodäte (bzgl. der W₂-Wasserstein-Metrik) gibt, entlang derer das Entropie-Funktional konvex ist.

In Verallgemeinerung dieser Eigenschaft gaben Lott und Villani sowie Sturm eine synthetische Definition nichtnegativer Ricci-Krümmung in allgemeinen metrischen Räumen.

Quellen Bearbeiten

John Lott, Cédric Villani: Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport. In: Annals of Mathematics. Bd. 169, 2009, S. 903–991, (PDF; 552 kB), doi:10.4007/annals.2009.169.903.
Karl-Theodor Sturm: (Memento vom 28. Juni 2007 im Internet Archive) In: Acta Mathematica. Bd. 196, Nr. 1, 2006, 65–131, (PDF; 591 kB), doi:10.1007/s11511-006-0002-8.
Wilfrid Gangbo, Robert J. McCann: The geometry of optimal transportation. In: Acta Mathematica. Bd. 177, Nr. 2, 1996, 113–161, (PDF; 2,8 MB), doi:10.1007/BF02392620.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 05, 2023, 06:56 am

In der Mathematik bezeichnet Optimaler Transport eine Theorie die aus der analytischen Modellierung des Transportproblems entstanden ist Lott und Villani sowie Sturm gaben mit Hilfe des optimalen Transports eine synthetische Definition von Ricci Krummungs Schranken in allgemeinen metrischen Raumen 1 2 Optimaler Transport ist ursprunglich ein auf Monge und Kantorovich zuruckgehendes klassisches Problem das ausgehend von einer gegebenen Anfangsverteilung und einer gewunschten Endverteilung nach dem gunstigsten Transport sucht bei dem die Anfangs in die Endverteilung uberfuhrt wird Die Anfangs und Endverteilungen werden durch Dichtefunktionen Wahrscheinlichkeitsmasse m displaystyle mu und n displaystyle nu auf metrischen Raumen X displaystyle X und Y displaystyle Y modelliert Die Kostenfunktion ist eine gegebene Funktion c X Y R displaystyle c X times Y rightarrow mathbb R Der Wert c x y displaystyle c x y gibt die Kosten fur den Transport von x displaystyle x nach y displaystyle y an Ein typisches Beispiel ist c x y x y displaystyle c x y x y falls X displaystyle X und Y displaystyle Y Teilmengen eines normierten Vektorraumes sind oder allgemeiner c x y h x y displaystyle c x y h x y fur eine differenzierbare Funktion h displaystyle h Inhaltsverzeichnis 1 Monge Problem 2 Kantorovich Problem 3 Wasserstein Metriken 4 Ricci Krummungs Schranken 5 QuellenMonge Problem BearbeitenGesucht wird eine injektive Abbildung r X Y displaystyle r X rightarrow Y nbsp mit m r 1 B n B displaystyle mu r 1 B nu B nbsp fur alle messbaren Mengen B Y displaystyle B subset Y nbsp welche das Funktional X c x r x d m x displaystyle int X c x r x d mu x nbsp minimiert Es gibt Beispiele in denen das Monge Problem keine Losung besitzt z B falls m displaystyle mu nbsp ein Diracmass und n displaystyle nu nbsp die Summe von mindestens zwei Diracmassen ist Kantorovich Problem BearbeitenEin relaxiertes Problem wurde 1942 von Kantorovich betrachtet Das Kantorovich Problem sucht nach einem Wahrscheinlichkeitsmass p displaystyle pi nbsp auf dem Produktraum X Y displaystyle X times Y nbsp mit p A Y m A p X B n B displaystyle pi A times Y mu A quad pi X times B nu B nbsp fur alle kompakten Mengen A X B Y displaystyle A subset X B subset Y nbsp welches das Funktional X Y c x y d p x y displaystyle int X times Y c x y d pi x y nbsp minimiert Kantorovich bewies dass ein solches Wahrscheinlichkeitsmass immer existiert Falls X Y R n displaystyle X Y mathbb R n nbsp und c x y h x y displaystyle c x y h x y nbsp fur eine strikt konvexe Funktion h dann ist die Losung des Kantorovich Problems von der Form p id r m displaystyle pi operatorname id r mu nbsp fur eine injektive Abbildung r X Y displaystyle r X rightarrow Y nbsp Insbesondere hat in diesem Fall auch das Monge Problem eine Losung 3 Wasserstein Metriken Bearbeiten Hauptartikel Wasserstein Metrik Fur p 1 displaystyle p geq 1 nbsp und Wahrscheinlichkeitsmasse m n displaystyle mu nu nbsp auf einem metrischen Raum X sei G m n displaystyle Gamma mu nu nbsp die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmasse auf X X displaystyle X times X nbsp mit p A X m A p X B n B displaystyle pi A times X mu A pi X times B nu B nbsp fur alle kompakten Mengen A B X displaystyle A B subset X nbsp Dann definiert W p m n inf g G m n X X d x y p d g x y 1 p displaystyle W p mu nu left inf gamma in Gamma mu nu int X times X d x y p mathrm d gamma x y right 1 p nbsp den p ten Wasserstein Abstand zwischen m displaystyle mu nbsp und n displaystyle nu nbsp Der p te Wasserstein Abstand W p displaystyle W p nbsp definiert eine Metrik auf der Menge aller Wahrscheinlichkeitsmasse auf X displaystyle X nbsp deren p tes Moment endlich ist Wenn X displaystyle X nbsp eine konvexe Teilmenge des R n displaystyle mathbb R n nbsp und p gt 1 displaystyle p gt 1 nbsp ist dann sind die Geodaten der p ten Wasserstein Metrik von der Form t F t p displaystyle t mapsto F t pi nbsp wobei F t X X X displaystyle F t X times X rightarrow X nbsp die durch F t x y t x 1 t y displaystyle F t x y tx 1 t y nbsp definierte Abbildung und p displaystyle pi nbsp die Losung des Kantorovich Problems zu c x y d x y p displaystyle c x y d x y p nbsp ist Ricci Krummungs Schranken BearbeitenEs sei M eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit dem durch die Volumenform gegebenen Wahrscheinlichkeitsmass Dann hat M genau dann nichtnegative Ricci Krummung wenn es zu je zwei Wahrscheinlichkeitsmassen m n displaystyle mu nu nbsp eine verbindende Geodate bzgl der W2 Wasserstein Metrik gibt entlang derer das Entropie Funktional konvex ist In Verallgemeinerung dieser Eigenschaft gaben Lott und Villani sowie Sturm eine synthetische Definition nichtnegativer Ricci Krummung in allgemeinen metrischen Raumen Quellen Bearbeiten John Lott Cedric Villani Ricci curvature for metric measure spaces via optimal transport In Annals of Mathematics Bd 169 2009 S 903 991 PDF 552 kB doi 10 4007 annals 2009 169 903 Karl Theodor Sturm On the geometry of metric measure spaces Memento vom 28 Juni 2007 im Internet Archive In Acta Mathematica Bd 196 Nr 1 2006 65 131 PDF 591 kB doi 10 1007 s11511 006 0002 8 Wilfrid Gangbo Robert J McCann The geometry of optimal transportation In Acta Mathematica Bd 177 Nr 2 1996 113 161 PDF 2 8 MB doi 10 1007 BF02392620 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Optimaler Transport amp oldid 234374079