Der Spursatz von Grothendieck ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis uber die Spur und die Determinante einer bestimmten Klasse nuklearer Operatoren auf Banach Raumen der 2 3 displaystyle tfrac 2 3 nuklearen Operatoren Er ist eine Erweiterung des Satzes von Lidskii 1 Der Satz wurde von Alexander Grothendieck bewiesen Inhaltsverzeichnis 1 Grothendiecks Spursatz 1 1 Vorbereitung 1 1 1 Approximationseigenschaft 1 1 2 nuklearer Operator 1 2 Grothendiecks Spursatz 2 EinzelnachweiseGrothendiecks Spursatz BearbeitenVorbereitung Bearbeiten Approximationseigenschaft Bearbeiten Ein Banach Raum B displaystyle B nbsp hat die Approximationseigenschaft falls fur jedes kompakte K B displaystyle K subset B nbsp und jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp ein Operator T displaystyle T nbsp endlichen Ranges existiert sodass fur alle x K displaystyle x in K nbsp x T x lt e displaystyle x Tx lt varepsilon nbsp nuklearer Operator Bearbeiten Sei A displaystyle A nbsp ein nuklearer Operator auf einem Banach Raum B displaystyle B nbsp mit Approximationseigenschaft dann ist A displaystyle A nbsp ein 2 3 displaystyle tfrac 2 3 nbsp nuklearer Operator falls er eine Zerlegung der Form A k 1 f k f k displaystyle A sum limits k 1 infty varphi k otimes f k nbsp besitzt wobei f k B displaystyle varphi k in B nbsp und f k B displaystyle f k in B nbsp und k 1 f k 2 3 f k 2 3 lt displaystyle sum limits k 1 infty varphi k 2 3 f k 2 3 lt infty nbsp Grothendiecks Spursatz Bearbeiten Seien l j A displaystyle lambda j A nbsp die Eigenwerte von A displaystyle A nbsp mit ihren Vielfachheiten gezahlt Dann ist j l j A lt displaystyle sum limits j lambda j A lt infty nbsp und es gilt tr A j l j A displaystyle operatorname tr A sum limits j lambda j A nbsp det I A j 1 l j A displaystyle operatorname det I A prod limits j 1 lambda j A nbsp wobei wir die Spur und die Fredholm Determinante als Grenzwert definieren tr A lim n tr K n displaystyle operatorname tr A lim limits n to infty operatorname tr K n nbsp det I A lim n det I K n displaystyle operatorname det I A lim limits n to infty det I K n nbsp mit K n A 0 displaystyle K n A to 0 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Israel Gohberg Seymour Goldberg Nahum Krupnik Traces and Determinants of Linear Operators In Operator Theory Advances and Applications Birkhauser Basel 1991 ISBN 978 3 7643 6177 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Grothendiecks Spursatz amp oldid 231355555
