Grenzschichtgleichungen Die treten in der Grenzschichttheorie als Vereinfachungen der Navier Stokes Gleichungen auf Für

Grenzschichtgleichungen

Die Grenzschichtgleichungen treten in der Grenzschichttheorie als Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen auf. Für eine zweidimensionale stationäre Strömung mit konstanter Dichte lauten sie:

Ausbildung einer laminaren Grenzschicht an einer flachen Oberfläche (untere Linie)

mit

: Koordinate in Strömungsrichtung
: Koordinate senkrecht zur Strömungsrichtung (Wandabstand)
: Geschwindigkeitskomponente in Strömungsrichtung ( in der Abb.)
: Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Strömungsrichtung
der Druck
die kinematische Viskosität
die partielle Ableitung.

Die zweite Gleichung ist die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Strömungen.

Die dritte Gleichung besagt, dass sich der Druck über die betrachtete Höhe nicht ändert, d. h. der Druck an der Körperoberfläche entspricht dem Druck in der reibungsfreien Außenströmung.

Druckgradient und Außenströmung Bearbeiten

In der Außenströmung gilt die Eulergleichung:

mit

: Geschwindigkeit der Außenströmung.

Sie besagt: der Druckgradient, d. h. der Verlauf des Druckes in Strömungsrichtung, ist

negativ bei beschleunigter Strömung
Null bei einer Plattenströmung
positiv bei verzögerter Strömung.

Anfangs- und Randbedingungen Bearbeiten

Zur Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung sind folgende Anfangs- und Randbedingungen erforderlich:

Die ersten beiden Gleichungen beschreiben die Haftbedingung an der Körperoberfläche, als dritte Bedingung ist die Geschwindigkeit der Außenströmung vorgegeben ( ist die Dicke der Grenzschicht).

Aus der Haftbedingung lässt sich folgende Gleichung ableiten:

welche die Krümmung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand mit dem durch die Außenströmung aufgeprägten Druckgradienten in Beziehung setzt ( ist die dynamische Viskosität).

Eine Grenzschichtablösung kann nur bei verzögerter Außenströmung, d. h. bei positivem Druckgradienten, auftreten. Die Grenzschicht löst von der Körperkontur ab, wenn die Wandschubspannung verschwindet:

Lösung Bearbeiten

Im Gegensatz zu den elliptischen Navier-Stokes-Gleichungen bilden die Grenzschichtgleichungen ein parabolisches Gleichungssystem. Dadurch gibt es keinen stromaufwärts gerichteten Informationsfluss, so dass eine numerische Lösung mit einem Upstream-Verfahren möglich ist.

Eine analytische Lösung der Grenzschichtgleichungen ist nur in einigen Sonderfällen möglich. Die einfachste Lösung ist die Grenzschichtströmung entlang einer unendlich dünnen, ebenen Platte (Blasius-Lösung). In diesem Fall sind die Lösungen an verschiedenen Stellen entlang der Platte ähnlich und können durch eine geeignete Skalierung der Koordinate normal zur Wand ineinander überführt werden. Dies liefert einen Ausdruck für die Grenzschichtdicke:

mit der Reynoldszahl

Als Dicke der Grenzschicht wird die Dicke festgelegt, bei der die Geschwindigkeit 99 % der Geschwindigkeit der freien Außenströmung erreicht hat:

Neben dieser Definition der Grenzschichtdicke wird als physikalisch sinnvolleres Maß oft die Verdrängungsdicke oder die Impulsverlustdicke verwendet.

Quellen Bearbeiten

Hermann Schlichting (et al.): Grenzschicht-Theorie. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-23004-1

Literatur Bearbeiten

Spurk, Aksel: Strömungslehre, Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-38439-7

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Veröffentlichungsdatum: November 27, 2023, 17:28 pm

Die Grenzschichtgleichungen treten in der Grenzschichttheorie als Vereinfachungen der Navier Stokes Gleichungen auf Fur eine zweidimensionale stationare Stromung mit konstanter Dichte r displaystyle rho lauten sie Ausbildung einer laminaren Grenzschicht an einer flachen Oberflache untere Linie u u x v u y 1 r p x n 2 u y 2 u x v y 0 0 p y displaystyle begin aligned u frac partial u partial x v frac partial u partial y amp frac 1 rho frac partial p partial x nu frac partial 2 u partial y 2 frac partial u partial x frac partial v partial y amp 0 0 amp frac partial p partial y end aligned mit x displaystyle x Koordinate in Stromungsrichtung y displaystyle y Koordinate senkrecht zur Stromungsrichtung Wandabstand u d x d t displaystyle u frac dx dt Geschwindigkeitskomponente in Stromungsrichtung v x displaystyle v x in der Abb v d y d t displaystyle v frac dy dt Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Stromungsrichtung p displaystyle p der Druck n displaystyle nu die kinematische Viskositat displaystyle frac partial partial die partielle Ableitung Die zweite Gleichung ist die Kontinuitatsgleichung fur inkompressible Stromungen Die dritte Gleichung besagt dass sich der Druck uber die betrachtete Hohe nicht andert d h der Druck an der Korperoberflache entspricht dem Druck in der reibungsfreien Aussenstromung Inhaltsverzeichnis 1 Druckgradient und Aussenstromung 2 Anfangs und Randbedingungen 3 Losung 4 Quellen 5 LiteraturDruckgradient und Aussenstromung BearbeitenIn der Aussenstromung u y 0 displaystyle left tfrac partial u partial y 0 right nbsp gilt die Eulergleichung u d u d x 1 r p x displaystyle Rightarrow u delta frac partial u delta partial x frac 1 rho frac partial p partial x nbsp mit u d displaystyle u delta nbsp Geschwindigkeit der Aussenstromung Sie besagt der Druckgradient d h der Verlauf des Druckes in Stromungsrichtung ist negativ bei beschleunigter Stromung p x lt 0 u d x gt 0 displaystyle left frac partial p partial x lt 0 quad Rightarrow quad frac partial u delta partial x gt 0 right nbsp Null bei einer Plattenstromung positiv bei verzogerter Stromung Anfangs und Randbedingungen BearbeitenZur Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung sind folgende Anfangs und Randbedingungen erforderlich u x y 0 0 v x y 0 0 u x y u x displaystyle begin aligned u x y 0 amp 0 v x y 0 amp 0 u x y rightarrow infty amp u infty x end aligned nbsp Die ersten beiden Gleichungen beschreiben die Haftbedingung an der Korperoberflache als dritte Bedingung ist die Geschwindigkeit der Aussenstromung vorgegeben d displaystyle delta nbsp ist die Dicke der Grenzschicht Aus der Haftbedingung lasst sich folgende Gleichung ableiten h 2 u y 2 y 0 d p x d x displaystyle Rightarrow eta left frac partial 2 u partial y 2 right y 0 frac mathrm d p x mathrm d x nbsp welche die Krummung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand mit dem durch die Aussenstromung aufgepragten Druckgradienten in Beziehung setzt h r n displaystyle eta rho cdot nu nbsp ist die dynamische Viskositat Eine Grenzschichtablosung kann nur bei verzogerter Aussenstromung d h bei positivem Druckgradienten auftreten Die Grenzschicht lost von der Korperkontur ab wenn die Wandschubspannung verschwindet t wand h u y y 0 0 displaystyle tau text wand eta left frac partial u partial y right y 0 0 nbsp Losung BearbeitenIm Gegensatz zu den elliptischen Navier Stokes Gleichungen bilden die Grenzschichtgleichungen ein parabolisches Gleichungssystem Dadurch gibt es keinen stromaufwarts gerichteten Informationsfluss so dass eine numerische Losung mit einem Upstream Verfahren moglich ist Eine analytische Losung der Grenzschichtgleichungen ist nur in einigen Sonderfallen moglich Die einfachste Losung ist die Grenzschichtstromung entlang einer unendlich dunnen ebenen Platte Blasius Losung In diesem Fall sind die Losungen an verschiedenen Stellen entlang der Platte ahnlich und konnen durch eine geeignete Skalierung der Koordinate normal zur Wand ineinander uberfuhrt werden Dies liefert einen Ausdruck fur die Grenzschichtdicke d x x 5 R e x displaystyle frac delta x x frac 5 sqrt mathrm Re x nbsp mit der Reynoldszahl R e x u x n displaystyle mathrm Re x frac u infty cdot x nu nbsp Als Dicke d x displaystyle delta x nbsp der Grenzschicht wird die Dicke festgelegt bei der die Geschwindigkeit 99 der Geschwindigkeit der freien Aussenstromung erreicht hat u d u y d 0 99 u u displaystyle u delta u y delta 0 99 cdot u infty approx u infty nbsp Neben dieser Definition der Grenzschichtdicke wird als physikalisch sinnvolleres Mass oft die Verdrangungsdicke d 1 displaystyle delta 1 nbsp oder die Impulsverlustdicke d 2 displaystyle delta 2 nbsp verwendet Quellen BearbeitenHermann Schlichting et al Grenzschicht Theorie Springer Berlin 2006 ISBN 3 540 23004 1Literatur BearbeitenSpurk Aksel Stromungslehre Springer Berlin 2007 ISBN 978 3 540 38439 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Grenzschichtgleichungen amp oldid 180642252