Green Funktion Stochastik Die Green Funktion ist eine reellwertige Funktion in dem mathematischen Teilgebiet der Stochas

Green-Funktion (Stochastik)

Die Green-Funktion ist eine reellwertige Funktion in dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik. Sie ist ein Hilfsmittel für die Untersuchung von Markow-Ketten, einer speziellen Klasse von stochastischen Prozessen. Insbesondere lässt sich mit ihr untersuchen, ob und wie oft eine Markow-Kette zu ihrem Startpunkt zurückkehrt (Rekurrenz).

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine Markow-Kette mit höchstens abzählbarem Zustandsraum. Dann ist

die Anzahl der Besuche in , inklusive möglicher Besuche zum Zeitpunkt null. Hierbei bezeichnet die charakteristische Funktion auf der Menge .

Dann heißt

die Green-Funktion von .

Dabei bezeichnet den Erwartungswert, wenn die Markow-Kette in , also mit einer Startverteilung startet, so dass ist. Außerdem bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, beim Start in nach Zeitschritten in zu sein.

Eigenschaften Bearbeiten

Anschaulich entspricht der Wert der Green-Funktion der erwarteten Anzahl der Besuche in bei Start in .

Betrachtet man die Wahrscheinlichkeit, jemals von nach zu gelangen, formal

so erhält man für die Green-Funktion die Identität

sowie die alternative Darstellung

Da aber per Definition der Zustand rekurrent ist, wenn ist, ist ein (nichtabsorbierender Zustand) genau dann rekurrent, wenn gilt.

Anwendungsbeispiel: Rekurrenz der einfachen Irrfahrt Bearbeiten

Als Anwendungsbeispiel sei die einfache Irrfahrt auf mit Start im Nullpunkt gegeben. Sie wird durch die Startverteilung , die durch gegeben ist, und die Übergangswahrscheinlichkeiten

beschrieben. Aufgrund der Periodizität ist eine Rückkehr zum Nullpunkt an ungeraden Zeitpunkten unmöglich. An geraden Zeitpunkten ist eine Rückkehr genau dann möglich, wenn dieselbe Anzahl an Schritten nach links wie auch nach rechts gemacht wurde. Da außerdem die einzelnen Übergangswahrscheinlichkeiten der Bernoulli-Verteilung gehorchen und deren Summe somit der Binomial-Verteilung, gilt

und somit für die Green-Funktion

Unter Verwendung der Identität

folgt dann für die Green-Funktion die Darstellung

Somit ist die Irrfahrt auf genau dann rekurrent, wenn sie symmetrisch ist, also gilt.

Literatur Bearbeiten

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 187, doi:10.1515/9783110215274.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 15:10 pm

Die Green Funktion ist eine reellwertige Funktion in dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik Sie ist ein Hilfsmittel fur die Untersuchung von Markow Ketten einer speziellen Klasse von stochastischen Prozessen Insbesondere lasst sich mit ihr untersuchen ob und wie oft eine Markow Kette zu ihrem Startpunkt zuruckkehrt Rekurrenz Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Anwendungsbeispiel Rekurrenz der einfachen Irrfahrt 4 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei eine Markow Kette X n n N 0 displaystyle X n n in mathbb N 0 nbsp mit hochstens abzahlbarem Zustandsraum Dann ist B y n 0 1 X n y displaystyle B y sum n 0 infty mathbf 1 X n y nbsp die Anzahl der Besuche in y displaystyle y nbsp inklusive moglicher Besuche zum Zeitpunkt null Hierbei bezeichnet 1 A displaystyle mathbf 1 A nbsp die charakteristische Funktion auf der Menge A displaystyle A nbsp Dann heisst G x y E x B y n 0 p n x y displaystyle G x y operatorname E x B y sum n 0 infty p n x y nbsp die Green Funktion von X displaystyle X nbsp Dabei bezeichnet E x displaystyle operatorname E x nbsp den Erwartungswert wenn die Markow Kette in X 0 x displaystyle X 0 x nbsp also mit einer Startverteilung P x displaystyle P x nbsp startet so dass P x X 0 x 1 displaystyle P x X 0 x 1 nbsp ist Ausserdem bezeichnet p n x y displaystyle p n x y nbsp die Wahrscheinlichkeit beim Start in x displaystyle x nbsp nach n displaystyle n nbsp Zeitschritten in y displaystyle y nbsp zu sein Eigenschaften BearbeitenAnschaulich entspricht der Wert der Green Funktion der erwarteten Anzahl der Besuche in y displaystyle y nbsp bei Start in x displaystyle x nbsp Betrachtet man die Wahrscheinlichkeit jemals von x displaystyle x nbsp nach y displaystyle y nbsp zu gelangen formal F x y P x es gibt ein n 1 so dass X n y ist displaystyle F x y P x text es gibt ein n geq 1 text so dass X n y text ist nbsp so erhalt man fur die Green Funktion die Identitat G x y F x y G y y 1 x y displaystyle G x y F x y G y y mathbf 1 x y nbsp sowie die alternative Darstellung G x y 1 1 F y y falls x y F x y 1 F y y falls x y displaystyle G x y begin cases frac 1 1 F y y amp text falls x y frac F x y 1 F y y amp text falls x neq y end cases nbsp Da aber per Definition der Zustand x displaystyle x nbsp rekurrent ist wenn F x x 1 displaystyle F x x 1 nbsp ist ist ein nichtabsorbierender Zustand x displaystyle x nbsp genau dann rekurrent wenn G x x displaystyle G x x infty nbsp gilt Anwendungsbeispiel Rekurrenz der einfachen Irrfahrt BearbeitenAls Anwendungsbeispiel sei die einfache Irrfahrt auf Z displaystyle mathbb Z nbsp mit Start im Nullpunkt gegeben Sie wird durch die Startverteilung P 0 displaystyle P 0 nbsp die durch P 0 X 0 0 1 displaystyle P 0 X 0 0 1 nbsp gegeben ist und die Ubergangswahrscheinlichkeiten P 0 X n 1 i X n j p falls i j 1 1 p falls i j 1 0 sonst displaystyle P 0 X n 1 i X n j begin cases p amp text falls i j 1 1 p amp text falls i j 1 0 amp text sonst end cases nbsp beschrieben Aufgrund der Periodizitat ist eine Ruckkehr zum Nullpunkt an ungeraden Zeitpunkten unmoglich An geraden Zeitpunkten ist eine Ruckkehr genau dann moglich wenn dieselbe Anzahl an Schritten nach links wie auch nach rechts gemacht wurde Da ausserdem die einzelnen Ubergangswahrscheinlichkeiten der Bernoulli Verteilung gehorchen und deren Summe somit der Binomial Verteilung gilt p 2 n 0 0 2 n n p n 1 p n displaystyle p 2n 0 0 binom 2n n p n 1 p n nbsp und somit fur die Green Funktion G 0 0 n 0 2 n n p n 1 p n n 0 2 n n 4 n 4 p 1 p n displaystyle G 0 0 sum n 0 infty binom 2n n p n 1 p n sum n 0 infty binom 2n n 4 n 4p 1 p n nbsp Unter Verwendung der Identitat n 0 2 n n 4 n x n 1 1 x displaystyle sum n 0 infty binom 2n n 4 n x n frac 1 sqrt 1 x nbsp folgt dann fur die Green Funktion die Darstellung G 0 0 falls p 1 2 1 2 p 1 sonst displaystyle G 0 0 begin cases infty amp text falls p tfrac 1 2 frac 1 2p 1 amp text sonst end cases nbsp Somit ist die Irrfahrt auf Z displaystyle mathbb Z nbsp genau dann rekurrent wenn sie symmetrisch ist also p 1 2 displaystyle p tfrac 1 2 nbsp gilt Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Hans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 S 187 doi 10 1515 9783110215274 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Green Funktion Stochastik amp oldid 230004075