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Gegenbeispiel Ein ist in der Mathematik und in der Philosophie insbesondere in der Logik ein empirischer oder konstruier

Gegenbeispiel

Ein Gegenbeispiel ist in der Mathematik und in der Philosophie, insbesondere in der Logik ein empirischer oder konstruierter Sachverhalt, der eine bestimmte Hypothese widerlegt. Seit Karl Poppers Forderung nach Falsifizierbarkeit gelten heute nur solche Aussagen als wissenschaftlich, zu denen Gegenbeispiele prinzipiell möglich sind.

In der Mathematik beweist man Sätze der Form „Wenn A, dann B“. Der Beweis schließt die Existenz von Gegenbeispielen prinzipiell aus, so dass der Begriff der Falsifizierbarkeit hier nicht sinnvoll ist. Für das Nichtbestehen einer solchen Implikation „Wenn A, dann B“ genügt es, ein Beispiel anzugeben, dass A erfüllt, aber nicht B. Ein solches Beispiel nennt man ein Gegenbeispiel. Ferner spricht man bei der Einführung von mathematischen Eigenschaften von Gegenbeispielen, wenn man ein Beispiel für etwas angibt, das diese Eigenschaft nicht hat. Typische Anwendungen des Begriffs Gegenbeispiel sind daher:

  • Es gilt „Wenn A, dann B“. Die Umkehrung „Wenn B, dann A“ gilt nicht, wie das Gegenbeispiel x zeigt.
  • Einführung einer Eigenschaft E. Beispiele für E sind x und y. z ist ein Gegenbeispiel (d. h. ein Beispiel, das nicht E hat).

Beispiele Bearbeiten

  • Gettiers Gegenbeispiele zur Behauptung, Wissen sei „gerechtfertigter wahrer Glaube“.
  • Aussage: Alle Primzahlen sind ungerade. Diese Aussage ist falsch, wie das Gegenbeispiel 2 zeigt. (Es genügt für die Falschheit die Existenz eines einzigen Gegenbeispiels.)
  • Eine Gruppe heißt abelsch, wenn die Verknüpfung kommutativ ist. Beispiele sind oder . Das Gegenbeispiel S3 zeigt, dass nicht alle Gruppen abelsch sind.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Bernard R. Gelbaum, John M. H. Olmsted: Counterexamples in Analysis. Dover Publications, ISBN 0-486-42875-3.
  • Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach, Jr.: Counterexamples in Topology. Dover Publications, ISBN 0-486-68735-X.
  • Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel: Counterexamples in Probability and Statistics. Chapman & Hall, New York / London 1986, ISBN 0-412-98901-8.
  • Jordan Stoyanov: Counterexamples in Probability (= Dover Books on Mathematics). 3. Auflage. Dover Publications, New York 2013, ISBN 978-0-486-49998-7.
  • Gary L. Wise, Eric B. Hall: Counterexamples in Probability and Real Analyses. Oxford University Press, New York 1993, ISBN 0-19-507068-2.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Gegenbeispiel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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Ein Gegenbeispiel ist in der Mathematik und in der Philosophie insbesondere in der Logik ein empirischer oder konstruierter Sachverhalt der eine bestimmte Hypothese widerlegt Seit Karl Poppers Forderung nach Falsifizierbarkeit gelten heute nur solche Aussagen als wissenschaftlich zu denen Gegenbeispiele prinzipiell moglich sind In der Mathematik beweist man Satze der Form Wenn A dann B Der Beweis schliesst die Existenz von Gegenbeispielen prinzipiell aus so dass der Begriff der Falsifizierbarkeit hier nicht sinnvoll ist Fur das Nichtbestehen einer solchen Implikation Wenn A dann B genugt es ein Beispiel anzugeben dass A erfullt aber nicht B Ein solches Beispiel nennt man ein Gegenbeispiel Ferner spricht man bei der Einfuhrung von mathematischen Eigenschaften von Gegenbeispielen wenn man ein Beispiel fur etwas angibt das diese Eigenschaft nicht hat Typische Anwendungen des Begriffs Gegenbeispiel sind daher Es gilt Wenn A dann B Die Umkehrung Wenn B dann A gilt nicht wie das Gegenbeispiel x zeigt Einfuhrung einer Eigenschaft E Beispiele fur E sind x und y z ist ein Gegenbeispiel d h ein Beispiel das nicht E hat Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Siehe auch 3 Literatur 4 WeblinksBeispiele BearbeitenGettiers Gegenbeispiele zur Behauptung Wissen sei gerechtfertigter wahrer Glaube Aussage Alle Primzahlen sind ungerade Diese Aussage ist falsch wie das Gegenbeispiel 2 zeigt Es genugt fur die Falschheit die Existenz eines einzigen Gegenbeispiels Eine Gruppe heisst abelsch wenn die Verknupfung kommutativ ist Beispiele sind Z displaystyle mathbb Z nbsp oder Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp Das Gegenbeispiel S3 zeigt dass nicht alle Gruppen abelsch sind Siehe auch BearbeitenAnti Pattern sinnahnlicher Bezeichner in der auch sogenannten Software Entwicklung Pathologisches Beispiel das in besonderem Ausmass der Intuition widersprichtLiteratur BearbeitenBernard R Gelbaum John M H Olmsted Counterexamples in Analysis Dover Publications ISBN 0 486 42875 3 Lynn Arthur Steen J Arthur Seebach Jr Counterexamples in Topology Dover Publications ISBN 0 486 68735 X Joseph P Romano Andrew F Siegel Counterexamples in Probability and Statistics Chapman amp Hall New York London 1986 ISBN 0 412 98901 8 Jordan Stoyanov Counterexamples in Probability Dover Books on Mathematics 3 Auflage Dover Publications New York 2013 ISBN 978 0 486 49998 7 Gary L Wise Eric B Hall Counterexamples in Probability and Real Analyses Oxford University Press New York 1993 ISBN 0 19 507068 2 Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Gegenbeispiel Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gegenbeispiel amp oldid 226918433