GARCH Modelle GARCH Akronym für Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity deutsch verallgemeinerte autor

GARCH-Modelle

GARCH-Modelle (GARCH, Akronym für: Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity, deutsch verallgemeinerte autoregressive bedingte Heteroskedastizität) bzw. verallgemeinerte autoregressive Modelle mit bedingter Heteroskedastizität oder auch verallgemeinerte autoregressive bedingt heteroskedastische Zeitreihenmodelle sind stochastische Modelle zur Zeitreihenanalyse, die eine Verallgemeinerung der ARCH-Modelle (autoregressive conditional heteroscedasticity) sind. Sie werden beispielsweise in der Ökonometrie bei der Analyse der Renditen von Aktienkursen zur Modellierung des Volatilitätsclusterings verwendet. GARCH-Modelle wurden 1986 von Tim Bollerslev auf der Grundlage des ARCH-Modells von Robert F. Engle (1982) entwickelt.

Definition Bearbeiten

Eine Zeitreihe heißt GARCH(p,q)-Zeitreihe, wenn sie rekursiv definiert ist durch

wobei reelle, nichtnegative Parameter mit und sind, und der Prozess aus unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit und besteht.

Bei einem GARCH-Modell hängt also die bedingte Varianz von von ihrer eigenen Vergangenheit und der Vergangenheit der Zeitreihe ab.

Erweiterungen Bearbeiten

T-GARCH Bearbeiten

T-GARCH-Modelle sind keine echten GARCH-Modelle, sondern verallgemeinern diese wie folgt:
Mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p, z. B. p=0.999, entsprechen sie dem „normalen“ GARCH und mit Wahrscheinlichkeit 1-p einem vorher festgelegten Wert. Mit diesen nicht-linearen Modellen können dann zum Beispiel Börsencrashs oder Ähnliches simuliert werden.

COGARCH Bearbeiten

Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner und Ross Maller stellten 2004 eine zeitstetige Erweiterung des zeitdiskreten GARCH(1,1)-Prozesses vor. Man beginnt dafür mit den GARCH(1,1)-Gleichungen

und ersetzt die unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen formal durch die infinitesimalen Inkremente eines Lévy-Prozesses sowie deren Quadrate durch die Inkremente , wobei

der rein unstetige Teil des quadratischen Variationsprozesses von ist. Man erhält also das System

von stochastischen Differentialgleichungen, wobei sich die positiven Parameter , und aus , und bestimmen lassen. Hat man nun eine Anfangsbedingung gegeben, so hat das obige System eine pfadweise eindeutige Lösung , die dann als COGARCH-Modell (continuous-time GARCH) bezeichnet wird.

Siehe auch Bearbeiten

NARCH-Modell

Literatur Bearbeiten

T. Bollerslev: Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. In: Journal of Econometrics. Vol. 31, No. 3, 1986, S. 307–327, doi:10.1016/0304-4076(86)90063-1.
J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.

Einzelnachweise Bearbeiten

Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus: Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25628-8, S. 298f.
Dissertation zu T-GARCH
C. Klüppelberg, A. Lindner, R. Maller: A continuous-time GARCH process driven by a Lévy process: stationarity and second-order behaviour. In: Journal of Applied Probability. Band 41, Nr. 3, 2004, S. 601–622, doi:10.1239/jap/1091543413.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 15:29 pm

GARCH Modelle GARCH Akronym fur Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity deutsch verallgemeinerte autoregressive bedingte Heteroskedastizitat bzw verallgemeinerte autoregressive Modelle mit bedingter Heteroskedastizitat oder auch verallgemeinerte autoregressive bedingt heteroskedastische Zeitreihenmodelle sind stochastische Modelle zur Zeitreihenanalyse die eine Verallgemeinerung der ARCH Modelle autoregressive conditional heteroscedasticity sind Sie werden beispielsweise in der Okonometrie bei der Analyse der Renditen von Aktienkursen zur Modellierung des Volatilitatsclusterings verwendet GARCH Modelle wurden 1986 von Tim Bollerslev auf der Grundlage des ARCH Modells von Robert F Engle 1982 entwickelt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Erweiterungen 2 1 T GARCH 2 2 COGARCH 3 Siehe auch 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Zeitreihe x t t Z displaystyle x t t in mathbb Z nbsp heisst GARCH p q Zeitreihe wenn sie rekursiv definiert ist durch 1 x t s t ϵ t s t 2 a 0 a 1 x t 1 2 a p x t p 2 b 1 s t 1 2 b q s t q 2 displaystyle begin aligned x t amp sigma t epsilon t sigma t 2 amp a 0 a 1 x t 1 2 dotsb a p x t p 2 b 1 sigma t 1 2 dotsb b q sigma t q 2 end aligned nbsp wobei a 0 a p b 1 b q displaystyle a 0 dotsc a p b 1 dotsc b q nbsp reelle nichtnegative Parameter mit a p 0 displaystyle a p neq 0 nbsp und b q 0 displaystyle b q neq 0 nbsp sind und der Prozess ϵ t t Z displaystyle epsilon t t in mathbb Z nbsp aus unabhangigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit E ϵ t 0 displaystyle operatorname E epsilon t 0 nbsp und Var ϵ t 1 displaystyle operatorname Var epsilon t 1 nbsp besteht Bei einem GARCH Modell hangt also die bedingte Varianz s t 2 Var x t x t 1 x t 2 displaystyle sigma t 2 operatorname Var x t mid x t 1 x t 2 dotsc nbsp von x t displaystyle x t nbsp von ihrer eigenen Vergangenheit und der Vergangenheit der Zeitreihe ab Erweiterungen BearbeitenT GARCH Bearbeiten T GARCH Modelle sind keine echten GARCH Modelle sondern verallgemeinern diese wie folgt Mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p z B p 0 999 entsprechen sie dem normalen GARCH und mit Wahrscheinlichkeit 1 p einem vorher festgelegten Wert Mit diesen nicht linearen Modellen konnen dann zum Beispiel Borsencrashs oder Ahnliches simuliert werden 2 COGARCH Bearbeiten Claudia Kluppelberg Alexander Lindner und Ross Maller stellten 2004 eine zeitstetige Erweiterung des zeitdiskreten GARCH 1 1 Prozesses vor Man beginnt dafur mit den GARCH 1 1 Gleichungen x t s t ϵ t displaystyle x t sigma t epsilon t nbsp s t 2 a 0 a 1 x t 1 2 b 1 s t 1 2 a 0 a 1 s t 1 2 ϵ t 1 2 b 1 s t 1 2 displaystyle sigma t 2 a 0 a 1 x t 1 2 b 1 sigma t 1 2 a 0 a 1 sigma t 1 2 epsilon t 1 2 b 1 sigma t 1 2 nbsp und ersetzt die unabhangig identisch verteilten Zufallsvariablen ϵ t displaystyle epsilon t nbsp formal durch die infinitesimalen Inkremente d L t displaystyle mathrm d L t nbsp eines Levy Prozesses L t t 0 displaystyle L t t geq 0 nbsp sowie deren Quadrate ϵ t 2 displaystyle epsilon t 2 nbsp durch die Inkremente d L L t d displaystyle mathrm d L L t mathrm d nbsp wobei L L t d s 0 t D L t 2 t 0 displaystyle L L t mathrm d sum s in 0 t Delta L t 2 quad t geq 0 nbsp der rein unstetige Teil des quadratischen Variationsprozesses von L displaystyle L nbsp ist Man erhalt also das System d G t s t d L t displaystyle mathrm d G t sigma t mathrm d L t nbsp d s t 2 b h s t 2 d t f s t 2 d L L t d displaystyle mathrm d sigma t 2 beta eta sigma t 2 mathrm d t varphi sigma t 2 mathrm d L L t mathrm d nbsp von stochastischen Differentialgleichungen wobei sich die positiven Parameter b displaystyle beta nbsp h displaystyle eta nbsp und f displaystyle varphi nbsp aus a 0 displaystyle a 0 nbsp a 1 displaystyle a 1 nbsp und b 1 displaystyle b 1 nbsp bestimmen lassen Hat man nun eine Anfangsbedingung G 0 s 0 2 displaystyle G 0 sigma 0 2 nbsp gegeben so hat das obige System eine pfadweise eindeutige Losung G t s t 2 t 0 displaystyle G t sigma t 2 t geq 0 nbsp die dann als COGARCH Modell continuous time GARCH bezeichnet wird 3 Siehe auch BearbeitenNARCH ModellLiteratur BearbeitenT Bollerslev Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity In Journal of Econometrics Vol 31 No 3 1986 S 307 327 doi 10 1016 0304 4076 86 90063 1 J Franke W Hardle C M Hafner Statistics of Financial Markets An Introduction 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2008 ISBN 978 3 540 76269 0 Einzelnachweise Bearbeiten Jens Peter Kreiss Georg Neuhaus Einfuhrung in die Zeitreihenanalyse Springer Verlag Berlin Heidelberg 2006 ISBN 3 540 25628 8 S 298f Dissertation zu T GARCH C Kluppelberg A Lindner R Maller A continuous time GARCH process driven by a Levy process stationarity and second order behaviour In Journal of Applied Probability Band 41 Nr 3 2004 S 601 622 doi 10 1239 jap 1091543413 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title GARCH Modelle amp oldid 227471532