G Raum Als bezeichnet man in der Geometrie einen mit einer stetigen Gruppenwirkung versehenen topologischen Raum Stetige

G-Raum

Als G-Raum bezeichnet man in der Geometrie einen mit einer stetigen Gruppenwirkung versehenen topologischen Raum. Stetige Gruppenwirkungen und die in diesem Zusammenhang definierten allgemeinen Begriffe kommen in vielen mathematischen Problemstellungen auf natürliche Weise vor.

Definition Bearbeiten

Sei ein topologischer Raum, eine (topologische oder diskrete) Gruppe und

eine stetige Wirkung von auf , das heißt eine stetige Abbildung mit

für alle sowie

für das neutrale Element und alle , dann wird G-Raum genannt.

Man spricht auch von einer stetigen Wirkung. Falls der zugrundeliegende topologische Raum ein metrischer Raum ist und für jedes die Abbildung eine Isometrie ist, spricht man von einer isometrischen Wirkung.

Weitere Begriffe Bearbeiten

Im Folgenden sei ein G-Raum, trage die Produkttopologie und der Bahnenraum die Quotiententopologie.

Transitive Wirkung Bearbeiten

Eine Wirkung heißt transitiv, wenn es zu jedem Paar ein mit gibt.

Wenn transitiv auf wirkt, dann ist homöomorph zu mit der Quotiententopologie, wobei der Stabilisator eines (beliebigen) Elementes ist.

Freie Wirkung Bearbeiten

Eine Wirkung heißt frei, wenn aus (mit und ) stets folgt.

Eine Wirkung ist frei genau dann, wenn für alle der Stabilisator nur aus dem neutralen Element besteht.

Effektive Wirkung Bearbeiten

Eine Wirkung heißt effektiv (oder treu), wenn es zu jedem ein mit gibt.

Eine Wirkung ist also genau dann effektiv, wenn der entsprechende Homomorphismus von in die Gruppe der Homöomorphismen von ein Monomorphismus ist.

Fixpunkte Bearbeiten

Die Fixpunkte eines Elementes sind die Elemente mit .

Ein Punkt heißt globaler Fixpunkt der Gruppenwirkung, wenn für alle gilt.

Eigentliche Wirkung Bearbeiten

Eine Wirkung heißt eigentlich, wenn die durch

gegebene Abbildung eine eigentliche Abbildung ist.

Wenn die Wirkung von auf eigentlich ist, dann ist Hausdorffsch und alle Orbiten sind abgeschlossen. Der Stabilisator jedes Punktes ist kompakt und die Abbildung ist ein Homöomorphismus.

Eigentlich diskontinuierliche Wirkung, Diskontinuitätsbereich Bearbeiten

Eine Wirkung heißt eigentlich diskontinuierlich, wenn es zu jedem eine Umgebung gibt, für die

Eine freie Wirkung ist eigentlich diskontinuierlich genau dann, wenn die Projektion eine Überlagerung ist.

Eine -invariante, offene Teilmenge heißt Diskontinuitätsbereich, wenn die Wirkung von auf eigentlich diskontinuierlich ist. Im Allgemeinen muss ein maximaler Diskontinuitätsbereich nicht eindeutig bestimmt sein.

Im Fall einer Kleinschen Gruppe und ihrer Wirkung auf der Sphäre im Unendlichen gibt es einen eindeutigen maximalen Diskontinuitätsbereich, dieser ist das Komplement der Limesmenge und wird häufig auch als der Diskontinuitätsbereich der Kleinschen Gruppe bezeichnet. (Dies gilt allgemeiner auch für diskrete Gruppen von Isometrien von Hadamard-Mannigfaltigkeiten und ihre Wirkung auf der Sphäre im Unendlichen.)

Kokompakte Wirkung Bearbeiten

Eine Wirkung heißt kokompakt, wenn der Orbitraum kompakt ist.

Eine Wirkung ist kokompakt, wenn es einen kompakten Fundamentalbereich gibt.

Geometrische Wirkung Bearbeiten

Eine Wirkung heißt geometrisch (engl.: geometric action), wenn sie eigentlich diskontinuierlich und kokompakt ist.

Einzelnachweise Bearbeiten

Tammo tom Dieck: Algebraic Topology. European Mathematical Society Publishing House, Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7, S. 17.
Properly discontinuous actions

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele

Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 05:24 am

Als G Raum bezeichnet man in der Geometrie einen mit einer stetigen Gruppenwirkung versehenen topologischen Raum Stetige Gruppenwirkungen und die in diesem Zusammenhang definierten allgemeinen Begriffe kommen in vielen mathematischen Problemstellungen auf naturliche Weise vor Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Weitere Begriffe 2 1 Transitive Wirkung 2 2 Freie Wirkung 2 3 Effektive Wirkung 2 4 Fixpunkte 2 5 Eigentliche Wirkung 2 6 Eigentlich diskontinuierliche Wirkung Diskontinuitatsbereich 2 7 Kokompakte Wirkung 2 8 Geometrische Wirkung 3 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei M displaystyle M nbsp ein topologischer Raum G displaystyle G nbsp eine topologische oder diskrete Gruppe und G M M displaystyle G times M rightarrow M nbsp g x g x displaystyle g x mapsto gx nbsp eine stetige Wirkung von G displaystyle G nbsp auf M displaystyle M nbsp das heisst eine stetige Abbildung mit g h x g h x displaystyle g hx gh x nbsp fur alle g h G x M displaystyle g h in G x in M nbsp sowie e x x displaystyle ex x nbsp fur das neutrale Element e G displaystyle e in G nbsp und alle x M displaystyle x in M nbsp dann wird M displaystyle M nbsp G Raum genannt 1 Man spricht auch von einer stetigen Wirkung Falls der zugrundeliegende topologische Raum ein metrischer Raum ist und fur jedes g displaystyle g nbsp die Abbildung x g x displaystyle x to gx nbsp eine Isometrie ist spricht man von einer isometrischen Wirkung Weitere Begriffe BearbeitenIm Folgenden sei M displaystyle M nbsp ein G Raum G M displaystyle G times M nbsp trage die Produkttopologie und der Bahnenraum G M displaystyle G backslash M nbsp die Quotiententopologie Transitive Wirkung Bearbeiten Eine Wirkung G M M displaystyle G times M rightarrow M nbsp heisst transitiv wenn es zu jedem Paar x y M M displaystyle x y in M times M nbsp ein g G displaystyle g in G nbsp mit g x y displaystyle gx y nbsp gibt Wenn G displaystyle G nbsp transitiv auf M displaystyle M nbsp wirkt dann ist M displaystyle M nbsp homoomorph zu G G x displaystyle G G x nbsp mit der Quotiententopologie wobei G x g G g x x displaystyle G x left g in G gx x right nbsp der Stabilisator eines beliebigen Elementes x M displaystyle x in M nbsp ist Freie Wirkung Bearbeiten Eine Wirkung G M M displaystyle G times M rightarrow M nbsp heisst frei wenn aus g x x displaystyle gx x nbsp mit g G displaystyle g in G nbsp und x M displaystyle x in M nbsp stets g e displaystyle g e nbsp folgt Eine Wirkung ist frei genau dann wenn fur alle x M displaystyle x in M nbsp der Stabilisator G x G displaystyle G x subset G nbsp nur aus dem neutralen Element besteht Effektive Wirkung Bearbeiten Eine Wirkung heisst effektiv oder treu wenn es zu jedem g e displaystyle g not e nbsp ein x M displaystyle x in M nbsp mit g x x displaystyle gx not x nbsp gibt Eine Wirkung ist also genau dann effektiv wenn der entsprechende Homomorphismus von G displaystyle G nbsp in die Gruppe der Homoomorphismen von X displaystyle X nbsp ein Monomorphismus ist Fixpunkte Bearbeiten Die Fixpunkte eines Elementes g G displaystyle g in G nbsp sind die Elemente x M displaystyle x in M nbsp mit g x x displaystyle gx x nbsp Ein Punkt x M displaystyle x in M nbsp heisst globaler Fixpunkt der Gruppenwirkung wenn g x x displaystyle gx x nbsp fur alle g G displaystyle g in G nbsp gilt Eigentliche Wirkung Bearbeiten Eine Wirkung G M M displaystyle G times M rightarrow M nbsp heisst eigentlich wenn die durch g x x g x displaystyle g x rightarrow x gx nbsp gegebene Abbildung r G M M M displaystyle rho G times M rightarrow M times M nbsp eine eigentliche Abbildung ist Wenn die Wirkung von G displaystyle G nbsp auf M displaystyle M nbsp eigentlich ist dann ist G M displaystyle G backslash M nbsp Hausdorffsch und alle Orbiten G x displaystyle Gx nbsp sind abgeschlossen Der Stabilisator jedes Punktes ist kompakt und die Abbildung G G x G x displaystyle G G x rightarrow Gx nbsp ist ein Homoomorphismus 2 Eigentlich diskontinuierliche Wirkung Diskontinuitatsbereich Bearbeiten Eine Wirkung G M M displaystyle G times M rightarrow M nbsp heisst eigentlich diskontinuierlich wenn es zu jedem x M displaystyle x in M nbsp eine Umgebung U displaystyle U nbsp gibt fur die g G g U U lt displaystyle sharp left g in G gU cap U not emptyset right lt infty nbsp Eine freie Wirkung ist eigentlich diskontinuierlich genau dann wenn die Projektion M G M displaystyle M rightarrow G backslash M nbsp eine Uberlagerung ist Eine G displaystyle G nbsp invariante offene Teilmenge W M displaystyle Omega subset M nbsp heisst Diskontinuitatsbereich wenn die Wirkung von G displaystyle G nbsp auf W displaystyle Omega nbsp eigentlich diskontinuierlich ist Im Allgemeinen muss ein maximaler Diskontinuitatsbereich nicht eindeutig bestimmt sein Im Fall einer Kleinschen Gruppe und ihrer Wirkung auf der Sphare im Unendlichen gibt es einen eindeutigen maximalen Diskontinuitatsbereich dieser ist das Komplement der Limesmenge und wird haufig auch als der Diskontinuitatsbereich der Kleinschen Gruppe bezeichnet Dies gilt allgemeiner auch fur diskrete Gruppen von Isometrien von Hadamard Mannigfaltigkeiten und ihre Wirkung auf der Sphare im Unendlichen Kokompakte Wirkung Bearbeiten Eine Wirkung G M M displaystyle G times M rightarrow M nbsp heisst kokompakt wenn der Orbitraum G M displaystyle G backslash M nbsp kompakt ist Eine Wirkung ist kokompakt wenn es einen kompakten Fundamentalbereich gibt Geometrische Wirkung Bearbeiten Eine Wirkung heisst geometrisch engl geometric action wenn sie eigentlich diskontinuierlich und kokompakt ist Einzelnachweise Bearbeiten Tammo tom Dieck Algebraic Topology European Mathematical Society Publishing House Zurich 2008 ISBN 978 3 03719 048 7 S 17 Properly discontinuous actions Abgerufen von https de wikipedia org w index php title G Raum amp oldid 229357978