Frobenius Methode Die nach Ferdinand Georg Frobenius ist eine Methode um Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

Frobenius-Methode

Die Frobenius-Methode, nach Ferdinand Georg Frobenius, ist eine Methode um Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

zu finden, wobei und als analytisch in einer Umgebung von vorausgesetzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe

anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Der zentrale Satz wurde zuerst von Lazarus Immanuel Fuchs basierend auf Arbeiten von Karl Weierstraß bewiesen und danach von Frobenius verallgemeinert.

Satz von Fuchs Bearbeiten

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir setzen. Gegeben sei die Differentialgleichung

wobei bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung hat. Sie können also in der Form

geschrieben werden, wobei die Reihen in einer Umgebung von 0 konvergieren.

Die charakteristischen Exponenten

sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung

welche sich durch Koeffizientenvergleich für in obiger Differentialgleichung ergibt,

und wir können sie gemäß ordnen.

Dann gilt folgende Fallunterscheidung:

Ist keine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

Ist eine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

Der Konvergenzradius entspricht dem Minimum des Konvergenzradius der Reihen für und .

Auch die Umkehrung gilt: Gibt es zwei Lösungen der obigen Form, so hat bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung.

Eine Differentialgleichung mit meromorphen Koeffizienten, für die alle Singularitäten (inklusive ) vom obigen Typ sind, wird als Fuchssche Differentialgleichung bezeichnet.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Der Satz von Fuchs kann auf Differentialgleichungen höherer Ordnung und auf Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung verallgemeinert werden.

Anwendungen Bearbeiten

Mit der Methode von Frobenius können folgende Differentialgleichungen gelöst werden:

Literatur Bearbeiten

Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).
Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2.

Einzelnachweise Bearbeiten

L. Fuchs: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 66 (1866) S. 121.
G. Frobenius: Ueber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 76 (1873), S. 214.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 19:55 pm

Die Frobenius Methode nach Ferdinand Georg Frobenius ist eine Methode um Losungen der gewohnlichen Differentialgleichung u p z u q z u 0 displaystyle u p z u q z u 0 zu finden wobei z z 0 p z displaystyle z z 0 p z und z z 0 2 q z displaystyle z z 0 2 q z als analytisch in einer Umgebung von z z 0 displaystyle z z 0 vorausgesetzt werden Die Idee ist es Losungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe u z z z 0 a n 0 u n z z 0 n displaystyle u z z z 0 alpha sum n 0 infty u n z z 0 n anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten a u n displaystyle alpha u n durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen Der zentrale Satz wurde zuerst von Lazarus Immanuel Fuchs basierend auf Arbeiten von Karl Weierstrass bewiesen 1 und danach von Frobenius verallgemeinert 2 Inhaltsverzeichnis 1 Satz von Fuchs 2 Verallgemeinerungen 3 Anwendungen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseSatz von Fuchs BearbeitenOhne Beschrankung der Allgemeinheit konnen wir z 0 0 displaystyle z 0 0 nbsp setzen Gegeben sei die Differentialgleichung u p z u q z u 0 displaystyle u p z u q z u 0 nbsp wobei p z displaystyle p z nbsp bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und q z displaystyle q z nbsp bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung hat Sie konnen also in der Form p z 1 z n 0 p n z n q z 1 z 2 n 0 q n z n displaystyle p z frac 1 z sum n 0 infty p n z n qquad q z frac 1 z 2 sum n 0 infty q n z n nbsp geschrieben werden wobei die Reihen in einer Umgebung von 0 konvergieren Die charakteristischen Exponenten a 1 2 1 2 1 p 0 p 0 1 2 4 q 0 displaystyle alpha 1 2 frac 1 2 left 1 p 0 pm sqrt p 0 1 2 4q 0 right nbsp sind die Losungen der charakteristischen Gleichung a 2 p 0 1 a q 0 0 displaystyle alpha 2 p 0 1 alpha q 0 0 nbsp welche sich durch Koeffizientenvergleich fur z a 2 displaystyle z alpha 2 nbsp in obiger Differentialgleichung ergibt und wir konnen sie gemass R e a 1 R e a 2 displaystyle mathrm Re alpha 1 geq mathrm Re alpha 2 nbsp ordnen Dann gilt folgende Fallunterscheidung Ist a 1 a 2 displaystyle alpha 1 alpha 2 nbsp keine ganze Zahl so existieren zwei Losungen der Formu j z z a j n 0 u j n z n u j 0 1 j 1 2 displaystyle u j z z alpha j sum n 0 infty u j n z n qquad u j 0 1 quad j 1 2 nbsp Ist a 1 a 2 displaystyle alpha 1 alpha 2 nbsp eine ganze Zahl so existieren zwei Losungen der Formu 1 z z a 1 n 0 u 1 n z n u 2 z z a 2 n 0 u 2 n z n c log z u 1 z u j 0 1 displaystyle u 1 z z alpha 1 sum n 0 infty u 1 n z n qquad u 2 z z alpha 2 sum n 0 infty u 2 n z n c log z u 1 z qquad u j 0 1 nbsp Der Konvergenzradius entspricht dem Minimum des Konvergenzradius der Reihen fur p z displaystyle p z nbsp und q z displaystyle q z nbsp Auch die Umkehrung gilt Gibt es zwei Losungen der obigen Form so hat p z displaystyle p z nbsp bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und q z displaystyle q z nbsp bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung Eine Differentialgleichung mit meromorphen Koeffizienten fur die alle Singularitaten inklusive displaystyle infty nbsp vom obigen Typ sind wird als Fuchssche Differentialgleichung bezeichnet Verallgemeinerungen BearbeitenDer Satz von Fuchs kann auf Differentialgleichungen hoherer Ordnung und auf Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung verallgemeinert werden Anwendungen BearbeitenMit der Methode von Frobenius konnen folgende Differentialgleichungen gelost werden Bessel sche Differentialgleichung Legendre sche Differentialgleichung Laguerre sche Differentialgleichung hypergeometrische DifferentialgleichungLiteratur BearbeitenGerald Teschl Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems American Mathematical Society Providence 2012 ISBN 978 0 8218 8328 0 freie Onlineversion Wolfgang Walter Gewohnliche Differentialgleichungen 7 Auflage Springer Berlin 2000 ISBN 3 540 67642 2 Einzelnachweise Bearbeiten L Fuchs Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coefficienten In Journal fur die reine und angewandte Mathematik 66 1866 S 121 G Frobenius Ueber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen In Journal fur die reine und angewandte Mathematik 76 1873 S 214 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Frobenius Methode amp oldid 227471527