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Eberlein kompakter Raum Eberlein kompakte Räume benannt nach William Frederick Eberlein werden im mathematischen Teilgeb

Eberlein-kompakter Raum

Eberlein-kompakte Räume, benannt nach William Frederick Eberlein, werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um diejenigen kompakten Räume, die als schwach kompakte Teilmengen eines Banachraums auftreten.

Definition Bearbeiten

Ein kompakter Hausdorffraum heißt Eberlein-kompakt, wenn er homöomorph zu einer schwach-kompakten Teilmenge eines Banachraums in der relativen schwachen Topologie ist.

Ein kompakter Hausdorffraum heißt gleichmäßig Eberlein-kompakt, wenn er homöomorph zu einer schwach-kompakten Teilmenge eines Hilbertraums in der relativen schwachen Topologie ist.

Da Hilberträume spezielle Banachräume sind, ist die gleichmäßige Eberlein-Kompaktheit eine stärkere Eigenschaft als die Eberlein-Kompaktheit.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Einheitskugel eines reflexiven Banachraums ist Eberlein-kompakt, denn die schwache Kompaktheit der Einheitskugel ist eine der äquivalenten Charakterisierungen der Reflexivität.
  • Norm-kompakte Teilmengen eines Banachraums sind Eberlein-kompakt, denn solche Mengen sind auch schwach kompakt.
  • Der Hilbertwürfel ist gleichmäßig Eberlein-kompakt, denn er ist homöomorph zu einer schwach kompakten Teilmenge des Hilbertraums .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Für Eberlein-kompakte Räume gelten die Folgerungen aus dem Satz von Eberlein–Šmulian, insbesondere sind solche Räume folgenkompakt und eine Teilmenge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie mit jeder konvergenten Folge auch deren Grenzwert enthält.
  • Für einen kompakten Hausdorffraum sei der Funktionenraum der stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
    • ist Eberlein-kompakt.
    • ist ein WCG-Raum.
    • Die Einheitskugel des Dualraums mit der schwach-*-Topologie ist Eberlein-kompakt.

Äquivalente Charakterisierungen Bearbeiten

Topologische Charakterisierung Bearbeiten

Die Definition des Eberlein-kompakten Raums verwendet einen Banachraum. Die folgende topologische Charakterisierung, die keinen Bezug auf Banachräume nimmt, geht auf Haskell Rosenthal zurück:

Ein kompakter Hausdorffraum ist genau dann Eberlein-kompakt, wenn es eine Folge gibt, so dass gilt

  • Jedes ist eine Familie offener Fσ-Mengen
  • Für jedes gibt es zu jedem höchstens endlich viele mit , kurz: jedes ist punktendlich.
  • Für alle mit gibt es ein und ein , so dass , wobei die charakteristische Funktion der Menge bezeichnet.

Ersetzt man die dritte Bedingung durch

  • Für alle mit gibt es ein und ein mit und

so erhält man eine Charakterisierung der metrisierbaren Eberlein-kompakten Räume.

Spezielle Banachräume Bearbeiten

Man erhält dieselbe Klasse kompakter Räume, wenn man in der Definition der Eberlein-Kompaktheit die verwendeten Banachräume einschränkt. Folgende Aussagen über einen topologischen Raum sind äquivalent:

  • ist Eberlein-kompakt.
  • ist homöomorph zu einer schwach kompakten Teilmenge eines reflexiven Banachraums in der relativen schwachen Topologie.
  • ist homöomorph zu einer schwach kompakten Teilmenge eines Banachraums in der relativen schwachen Topologie, wobei der Banachraum

Manche Autoren verwenden die zuletzt genannte Charakterisierung als Definition.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 5, §2: Definition auf Seite 146
  2. K. Kunen, J. Vaughan: Handbook of Set-Theoretic Topology, Elsevier-Verlag 2014, Kapitel 13, §6, Definition 6.2
  3. Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 5, §2, Theorem 4
  4. H. P. Rosenthal: The hereditary problem for weakly compactly generated Banach spaces, Composito Math. (1974), Band 28, Seiten 83–111
  5. Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 5, §3: Rosenthal's topological characterization of Eberlein compacts
  6. Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos, Václav Zizler: Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, Springer Science & Business Media 2011, Kapitel 14.1 Eberlein Compact Spaces
  7. Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos, Václav Zizler: Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, Springer Science & Business Media 2011, Definition 3.18
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Eberlein kompakte Raume benannt nach William Frederick Eberlein werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht Es handelt sich dabei um diejenigen kompakten Raume die als schwach kompakte Teilmengen eines Banachraums auftreten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Aquivalente Charakterisierungen 4 1 Topologische Charakterisierung 4 2 Spezielle Banachraume 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin kompakter Hausdorffraum heisst Eberlein kompakt wenn er homoomorph zu einer schwach kompakten Teilmenge eines Banachraums in der relativen schwachen Topologie ist 1 Ein kompakter Hausdorffraum heisst gleichmassig Eberlein kompakt wenn er homoomorph zu einer schwach kompakten Teilmenge eines Hilbertraums in der relativen schwachen Topologie ist 2 Da Hilbertraume spezielle Banachraume sind ist die gleichmassige Eberlein Kompaktheit eine starkere Eigenschaft als die Eberlein Kompaktheit Beispiele BearbeitenDie Einheitskugel eines reflexiven Banachraums ist Eberlein kompakt denn die schwache Kompaktheit der Einheitskugel ist eine der aquivalenten Charakterisierungen der Reflexivitat Norm kompakte Teilmengen eines Banachraums sind Eberlein kompakt denn solche Mengen sind auch schwach kompakt Der Hilbertwurfel 0 1 displaystyle 0 1 infty nbsp ist gleichmassig Eberlein kompakt denn er ist homoomorph zu einer schwach kompakten Teilmenge des Hilbertraums ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp f 0 1 3 n n ℓ 2 3 n 1 n fur alle n ℓ 2 f x n n N 2 x n 1 n n N displaystyle varphi 0 1 infty rightarrow xi n n in ell 2 xi n leq tfrac 1 n mbox fur alle n subset ell 2 quad varphi x n n in mathbb N tfrac 2x n 1 n n in mathbb N nbsp ist ein Homoomorphismus Jeder kompakte metrische Raum ist gleichmassig Eberlein kompakt denn solche Raume sind zu abgeschlossenen Unterraumen des Hilbertwurfels homoomorph Die Einheitskugel des Dualraums des Folgenraums ℓ displaystyle ell infty nbsp mit der schwach Topologie ist nach dem Satz von Banach Alaoglu ein kompakter Hausdorffraum Dieser Raum ist nicht Eberlein kompakt Eigenschaften BearbeitenFur Eberlein kompakte Raume gelten die Folgerungen aus dem Satz von Eberlein Smulian insbesondere sind solche Raume folgenkompakt und eine Teilmenge ist genau dann abgeschlossen wenn sie mit jeder konvergenten Folge auch deren Grenzwert enthalt Fur einen kompakten Hausdorffraum W displaystyle Omega nbsp sei C W displaystyle C Omega nbsp der Funktionenraum der stetigen Funktionen W R displaystyle Omega rightarrow mathbb R nbsp mit der Supremumsnorm Dann sind folgende Aussagen aquivalent 3 W displaystyle Omega nbsp ist Eberlein kompakt C W displaystyle C Omega nbsp ist ein WCG Raum Die Einheitskugel des Dualraums C W displaystyle C Omega nbsp mit der schwach Topologie ist Eberlein kompakt Aquivalente Charakterisierungen BearbeitenTopologische Charakterisierung Bearbeiten Die Definition des Eberlein kompakten Raums verwendet einen Banachraum Die folgende topologische Charakterisierung die keinen Bezug auf Banachraume nimmt geht auf Haskell Rosenthal zuruck 4 5 Ein kompakter Hausdorffraum W displaystyle Omega nbsp ist genau dann Eberlein kompakt wenn es eine Folge G n n N displaystyle mathcal G n n in mathbb N nbsp gibt so dass gilt Jedes G n displaystyle mathcal G n nbsp ist eine Familie offener Fs Mengen Fur jedes w W displaystyle omega in Omega nbsp gibt es zu jedem n displaystyle n nbsp hochstens endlich viele G G n displaystyle G in mathcal G n nbsp mit w G displaystyle omega in G nbsp kurz jedes G n displaystyle mathcal G n nbsp ist punktendlich Fur alle w 1 w 2 W displaystyle omega 1 omega 2 in Omega nbsp mit w 1 w 2 displaystyle omega 1 not omega 2 nbsp gibt es ein n N displaystyle n in mathbb N nbsp und ein G G n displaystyle G in mathcal G n nbsp so dass x G w 1 x G w 2 displaystyle chi G omega 1 not chi G omega 2 nbsp wobei x G displaystyle chi G nbsp die charakteristische Funktion der Menge G displaystyle G nbsp bezeichnet Ersetzt man die dritte Bedingung durch Fur alle w 1 w 2 W displaystyle omega 1 omega 2 in Omega nbsp mit w 1 w 2 displaystyle omega 1 not omega 2 nbsp gibt es ein n N displaystyle n in mathbb N nbsp und ein G G n displaystyle G in mathcal G n nbsp mit w 1 G displaystyle omega 1 in G nbsp und w 2 G displaystyle omega 2 notin G nbsp so erhalt man eine Charakterisierung der metrisierbaren Eberlein kompakten Raume Spezielle Banachraume Bearbeiten Man erhalt dieselbe Klasse kompakter Raume wenn man in der Definition der Eberlein Kompaktheit die verwendeten Banachraume einschrankt Folgende Aussagen uber einen topologischen Raum W displaystyle Omega nbsp sind aquivalent 6 W displaystyle Omega nbsp ist Eberlein kompakt W displaystyle Omega nbsp ist homoomorph zu einer schwach kompakten Teilmenge eines reflexiven Banachraums in der relativen schwachen Topologie W displaystyle Omega nbsp ist homoomorph zu einer schwach kompakten Teilmenge eines Banachraums c 0 G displaystyle c 0 Gamma nbsp in der relativen schwachen Topologie wobei c 0 G displaystyle c 0 Gamma nbsp der Banachraumc 0 G x g g G g G x g gt e ist endlich fur jedes e gt 0 displaystyle c 0 Gamma x gamma gamma in Gamma gamma in Gamma x gamma gt varepsilon text ist endlich fur jedes varepsilon gt 0 nbsp mit der Supremumsnorm ist Manche Autoren verwenden die zuletzt genannte Charakterisierung als Definition 7 Einzelnachweise Bearbeiten Joseph Diestel Geometry of Banach Spaces Selected Topics Springer Verlag 1975 ISBN 3 540 07402 3 Kapitel 5 2 Definition auf Seite 146 K Kunen J Vaughan Handbook of Set Theoretic Topology Elsevier Verlag 2014 Kapitel 13 6 Definition 6 2 Joseph Diestel Geometry of Banach Spaces Selected Topics Springer Verlag 1975 ISBN 3 540 07402 3 Kapitel 5 2 Theorem 4 H P Rosenthal The hereditary problem for weakly compactly generated Banach spaces Composito Math 1974 Band 28 Seiten 83 111 Joseph Diestel Geometry of Banach Spaces Selected Topics Springer Verlag 1975 ISBN 3 540 07402 3 Kapitel 5 3 Rosenthal s topological characterization of Eberlein compacts Marian Fabian Petr Habala Petr Hajek Vicente Montesinos Vaclav Zizler Banach Space Theory The Basis for Linear and Nonlinear Analysis Springer Science amp Business Media 2011 Kapitel 14 1 Eberlein Compact Spaces Marian Fabian Petr Habala Petr Hajek Vicente Montesinos Vaclav Zizler Banach Space Theory The Basis for Linear and Nonlinear Analysis Springer Science amp Business Media 2011 Definition 3 18 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Eberlein kompakter Raum amp oldid 178802887