Dysons brownsche Bewegung ist die Losung einer stochastischen Differentialgleichung die eine Verbindung zwischen der stochastischen Analysis und der Theorie der Zufallsmatrizen macht Sie beschreibt den Eigenwert Prozess einer hermiteschen Zufallsmatrix deren Eintrage Ornstein Uhlenbeck Prozesse sind Sie ist nach Freeman Dyson benannt der sie zuerst entdeckt hatte 1 Theorem BearbeitenSei S n x l 1 x l n x x 0 displaystyle Sigma n x lambda 1 x dots lambda n x x geq 0 nbsp ein stochastischer Prozess mit l 1 x l n x displaystyle lambda 1 x leq dots leq lambda n x nbsp Dann ist S n x displaystyle Sigma n x nbsp Dysons brownsche Bewegung falls sie die schwache Losung fur d S i n x 2 b n d B i x 1 n i i d x l i x l i x i 1 n displaystyle mathrm d Sigma i n x frac sqrt 2 sqrt beta n mathrm d B i x frac 1 n sum limits i neq i frac mathrm d x lambda i x lambda i x quad i 1 dots n nbsp ist wobei d B displaystyle mathrm d B nbsp eine n displaystyle n nbsp dimensionale brownsche Bewegung ist S n displaystyle Sigma n nbsp ist der Eigenwert Prozess der matrixwertigen Brownschen Bewegung mit b 1 2 displaystyle beta 1 2 nbsp X n b x X n b 0 H n b x x 0 displaystyle X n beta x X n beta 0 H n beta x quad x geq 0 nbsp wobei H n b displaystyle H n beta nbsp eine hermitesche Zufallsmatrix ist mit Eintragen h k l 1 b n B k l i b 1 B k l k lt l 2 b n B l l k l displaystyle h k l begin cases frac 1 sqrt beta n B k l i beta 1 B k l amp k lt l frac 2 sqrt beta n B l l amp k l end cases nbsp und B k l B k l displaystyle B k l B k l nbsp sind iid standard brownsche Bewegungen Einzelnachweise Bearbeiten Greg W Anderson Alice Guionnet Ofer Zeitouni An Introduction to Random Matrices Cambridge University Press Cambridge ISBN 978 0 521 19452 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dysons brownsche Bewegung amp oldid 225764604
