Choquet Integral Der französische Mathematiker Gustave Choquet ist der Schöpfer des nach ihm benannten s 1 Im Unterschie

Choquet-Integral

Der französische Mathematiker Gustave Choquet ist der Schöpfer des nach ihm benannten Choquet-Integrals. Im Unterschied zum Lebesgue-Integral, das die Integration auf beliebigen Maßräumen definiert, werden für das Choquet-Integral keine Maße, sondern lediglich Kapazitäten benutzt. Choquet-Integrale benötigt man z. B. in der Entscheidungstheorie, der kooperativen Spieltheorie, der Nutzenstheorie, der Datenverarbeitung (zur Konstruktion von Aggregationsfunktionen).

Idee Bearbeiten

Sei die Grundmenge, eine nichtnegative reellwertige Funktion und ein Maß. Das Lebesgue-Integral sei wohldefiniert. Dann hat das Lebesgue-Integral folgende Darstellung als Riemann-Integral:

Wenn man in dieser Darstellung das Maß durch eine Kapazität ersetzt, hat man bereits die Definition des Choquet-Integrals für nichtnegative Funktionen.

Definition Bearbeiten

Sei nun eine reellwertige Funktion, eine Menge von Teilmengen von und eine Kapazität. Die Funktion sei messbar, d. h.

Dann ist das Choquet-Integral von bzgl. folgendermaßen durch Riemann-Integrale definiert:

Für positive reduziert sich dies auf

Eigenschaften Bearbeiten

Siehe z. B. Für gilt (Monotonie). Für ist (positive Homogenität).

I.allg. ist das Choquet-Integral nicht additiv, d. h.

Wenn 2-monoton ist, dann ist das Choquet-Integral superadditiv, d. h.

Wenn 2-alternierend ist, dann ist das Choquet-Integral subadditiv, d. h. in der letzten Ungleichung gilt .

Diskretes Choquet-Integral Bearbeiten

Siehe z. B. Sei und eine nichtnegative Funktion mit den Werten . Bezeichne die der Größe nach geordneten Funktionswerte, d. h.

Da im diskreten Fall das definierende Riemann-Integral zu einer Summe entartet, ergibt sich

Anwendung Bearbeiten

Diskrete Choquet-Integrale sind ein flexibles Mittel zur Aggregation interagierender Kriterien, siehe . In diesem Fall ist eine Menge von Kriterien mit den Ausprägungen . Diese Kriterien sollen durch geeignete Mittelbildung zusammengefasst (aggregiert) werden zu einem (globalen) Kriterium . Das diskrete Choquet-Integral bildet ein solches Mittel:

Durch superadditive (subadditive) können Synergieeffekte (Redundanzeffekte) zwischen den Kriterien berücksichtigt werden.

Weblinks Bearbeiten

M. Grabisch: An introduction to the Choquet integral

Einzelnachweise Bearbeiten

Choquet, G. (1953). Theory of capacities. Ann.Inst.Fourier, Grenoble, 131-295 doi:10.5802/aif.53
Denneberg, D. (1994): Non-additive Measure and Integral. Kluwer, Dordrecht
Grabisch, M., Murofushi, T. and M. Sugeno (eds) (2000). Fuzzy Measures and Integrals - Theory and Applications. Physica Verlag
↑ Grabisch,M., Marichal,J.-L., Mesiar,R. and E. Pap (2009): Aggregation Functions. Cambridge University Press

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 04, 2023, 20:22 pm

Der franzosische Mathematiker Gustave Choquet ist der Schopfer des nach ihm benannten Choquet Integrals 1 Im Unterschied zum Lebesgue Integral das die Integration auf beliebigen Massraumen definiert werden fur das Choquet Integral keine Masse sondern lediglich Kapazitaten benutzt Choquet Integrale benotigt man z B in der Entscheidungstheorie der kooperativen Spieltheorie der Nutzenstheorie der Datenverarbeitung zur Konstruktion von Aggregationsfunktionen Inhaltsverzeichnis 1 Idee 2 Definition 3 Eigenschaften 4 Diskretes Choquet Integral 5 Anwendung 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseIdee BearbeitenSei U displaystyle U nbsp die Grundmenge f U 0 displaystyle f U to 0 infty nbsp eine nichtnegative reellwertige Funktion und l displaystyle lambda nbsp ein Mass Das Lebesgue Integral f d l displaystyle textstyle int fd lambda nbsp sei wohldefiniert Dann hat das Lebesgue Integral folgende Darstellung als Riemann Integral f d l 0 l y f y x d x displaystyle int fd lambda int limits 0 infty lambda y f y geq x dx nbsp Wenn man in dieser Darstellung das Mass l displaystyle lambda nbsp durch eine Kapazitat m displaystyle mu nbsp ersetzt hat man bereits die Definition des Choquet Integrals fur nichtnegative Funktionen Definition BearbeitenSei nun f U R displaystyle f U to mathbb R nbsp eine reellwertige Funktion F U displaystyle mathcal F U nbsp eine Menge von Teilmengen von U displaystyle U nbsp und m displaystyle mu nbsp eine Kapazitat Die Funktion f displaystyle f nbsp sei messbar d h x R y f y x F U displaystyle forall x in mathbb R quad y f y geq x in mathcal F U nbsp Dann ist das Choquet Integral von f displaystyle f nbsp bzgl m displaystyle mu nbsp folgendermassen durch Riemann Integrale definiert 2 f d m 0 m y f y x d x 0 m y f y x m U d x displaystyle int fd mu int limits 0 infty mu y f y geq x dx int limits infty 0 mu y f y geq x mu U dx nbsp Fur positive f displaystyle f nbsp reduziert sich dies auf f d m 0 m y f y x d x displaystyle int fd mu int limits 0 infty mu y f y geq x dx nbsp Eigenschaften BearbeitenSiehe z B 3 Fur f g displaystyle f leq g nbsp gilt f d m g d m displaystyle int fd mu leq int gd mu quad nbsp Monotonie Fur a 0 displaystyle alpha geq 0 nbsp ist a f d m a f d m displaystyle int alpha fd mu alpha int fd mu quad nbsp positive Homogenitat I allg ist das Choquet Integral nicht additiv d h f g d m f d m g d m displaystyle int f g d mu neq int fd mu int gd mu nbsp Wenn m displaystyle mu nbsp 2 monoton ist dann ist das Choquet Integral superadditiv d h f g d m f d m g d m displaystyle int f g d mu geq int fd mu int gd mu nbsp Wenn m displaystyle mu nbsp 2 alternierend ist dann ist das Choquet Integral subadditiv d h in der letzten Ungleichung gilt displaystyle leq nbsp Diskretes Choquet Integral BearbeitenSiehe z B 4 Sei U 1 n displaystyle U 1 dots n nbsp und f U 0 displaystyle f U to 0 infty nbsp eine nichtnegative Funktion mit den Werten f i y i i 1 n displaystyle f i y i i 1 dots n nbsp Bezeichne y 1 y n displaystyle y 1 dots y n nbsp die der Grosse nach geordneten Funktionswerte d h 0 y 1 y 2 y n displaystyle 0 leq y 1 leq y 2 leq dots leq y n nbsp Da im diskreten Fall das definierende Riemann Integral zu einer Summe entartet ergibt sich f d m i 1 n y i y i 1 m j f j y i i 1 n y i m A i m A i 1 displaystyle int fd mu sum i 1 n y i y i 1 mu j f j geq y i sum i 1 n y i mu A i mu A i 1 nbsp y 0 0 A i i i 1 n A 1 U A n 1 displaystyle y 0 0 quad A i i i 1 dots n quad A 1 U quad A n 1 emptyset nbsp Anwendung BearbeitenDiskrete Choquet Integrale sind ein flexibles Mittel zur Aggregation interagierender Kriterien siehe 4 In diesem Fall ist U 1 n displaystyle U 1 dots n nbsp eine Menge von n displaystyle n nbsp Kriterien mit den Auspragungen f i y i displaystyle f i y i nbsp Diese Kriterien sollen durch geeignete Mittelbildung zusammengefasst aggregiert werden zu einem globalen Kriterium y displaystyle y nbsp Das diskrete Choquet Integral bildet ein solches Mittel y i 1 n w i y i mit den Gewichten w i m A i m A i 1 displaystyle y sum i 1 n w i y i quad text mit den Gewichten quad w i mu A i mu A i 1 nbsp Durch superadditive subadditive m displaystyle mu nbsp konnen Synergieeffekte Redundanzeffekte zwischen den Kriterien berucksichtigt werden Weblinks BearbeitenM Grabisch An introduction to the Choquet integralEinzelnachweise Bearbeiten Choquet G 1953 Theory of capacities Ann Inst Fourier Grenoble 131 295 doi 10 5802 aif 53 Denneberg D 1994 Non additive Measure and Integral Kluwer Dordrecht Grabisch M Murofushi T and M Sugeno eds 2000 Fuzzy Measures and Integrals Theory and Applications Physica Verlag a b Grabisch M Marichal J L Mesiar R and E Pap 2009 Aggregation Functions Cambridge University Press Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Choquet Integral amp oldid 190205987