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Kapazität Mathematik Eine Kapazität engl capacity ist eine monotone Mengenfunktion und Ausgangspunkt vieler mathematisch

Kapazität (Mathematik)

Eine Kapazität (engl. capacity) ist eine monotone Mengenfunktion und Ausgangspunkt vieler mathematischer Untersuchungen, z. B. in der Maßtheorie, der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Evidenztheorie. Der Begriff Kapazität geht zurück auf den französischen Mathematiker Gustave Choquet, man spricht daher auch häufig von Choquet-Kapazitäten. Angelehnt an eine Arbeit von Sugeno hießen Kapazitäten früher auch Fuzzy-Maße, obwohl sie nichts mit Unschärfe zu tun haben.

Definition Bearbeiten

Sei die Grundmenge, deren Potenzmenge und eine Mengenfunktion. Die Mengenfunktion heißt Kapazität, wenn gilt:

Ein Maß ist eine spezielle Kapazität, denn aus der Additivität von (d. h. ) folgt die Monotonie. Falls gilt, dann heißt die Kapazität normiert.

Weitere Eigenschaften Bearbeiten

Eine Kapazität heißt superadditiv, wenn

sie heißt subadditiv bei umgekehrtem Ungleichheitszeichen. Durch superadditive Kapazitäten können Synergieeffekte und durch subadditive Kapazitäten Redundanzeffekte modelliert werden. Die zu duale (auch konjugierte) Kapazität ist definiert durch

Dabei ist das Komplement zu . Wenn superadditiv ist, dann ist subadditiv und umgekehrt. Seien und . Eine Kapazität heißt k-monoton, wenn

sie heißt vollständig monoton, wenn sie k-monoton ist für jedes . Eine Kapazität heißt k-alternierend, wenn

sie heißt vollständig alternierend, wenn sie k-alternierend ist für jedes . Eine k-monotone Kapazität ist superadditiv, eine k-alternierende Kapazität ist subadditiv. Eine Kapazität ist k-monoton (k-alternierend) genau dann, wenn die duale Kapazität k-alternierend (k-monoton) ist.

Beispiele Bearbeiten

Hit- und Miss-Wahrscheinlichkeiten bei zufälligen Mengen Bearbeiten

Sei eine zufällige (kompakte) Menge und eine fixe kompakte Menge. Sei

ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Menge „trifft“, und wird daher Hit-Wahrscheinlichkeit genannt. ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Menge „nicht trifft“, und heißt daher Miss-Wahrscheinlichkeit. Es ist . ist eine normierte vollständig alternierende Kapazität, ist eine normierte vollständig monotone Kapazität. Hit&Miss-Wahrscheinlichkeiten erzeugen auf eindeutige Weise die Verteilung der zufälligen Menge .

Belief und Plausibilität Bearbeiten

Belief und Plausibilität sind Grundbegriffe in Glenn Shafers Evidenztheorie. Eine Belieffunktion ist eine normierte vollständig monotone und eine Plausibilität eine normierte vollständig alternierende Kapazität. Die zur Belieffunktion duale Kapazität ist eine Plausibilität und umgekehrt. Die für die Possibilitätstheorie grundlegende possibility ist eine spezielle Plausibilität, die dazu duale necessity eine spezielle Belieffunktion.

Untere und obere Wahrscheinlichkeiten Bearbeiten

Dempsters untere und obere Wahrscheinlichkeiten werden ähnlich konstruiert wie obige Hit&Miss-Wahrscheinlichkeiten. Untere Wahrscheinlichkeiten sind daher normierte vollständig monotone und obere Wahrscheinlichkeiten normierte vollständig alternierende Kapazitäten. Belieffunktionen sind spezielle untere und Plausibilitäten spezielle obere Wahrscheinlichkeiten.

λ-Fuzzy-Maße von Sugeno Bearbeiten

Sie sind 1974 von Sugeno eingeführt worden. Eine Kapazität heißt -Fuzzy-Maß, wenn für mit gilt:

Für ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, für eine Belieffunktion und für eine Plausibilität. Der Parameter misst gewissermaßen die Abweichung vom Wahrscheinlichkeitsmaß.

⊥-dekomposable Maße Bearbeiten

Sie sind 1984 von Siegfried Weber eingeführt worden. Sei eine -conorm. Eine Kapazität heißt -dekomposabel, wenn gilt:

Beispielsweise ist eine Possibilität -dekomposabel bezüglich und das -Fuzzy-Maß ist dekomposabel bzgl.

Literaturhinweis Bearbeiten

  • M. Grabisch: Set Functions, Games and Capacities in Decision Theory. Springer, 2016, ISBN 978-3-319-30688-9.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. G. Choquet: Theory of capacities. In: Ann.Inst.Fourier. Grenoble, 1953, S. 131–295. doi:10.5802/aif.53.
  2. ↑ M. Sugeno: Theory of Fuzzy Integrals and its Application. PhD thesis, Tokyo Institute of Technology 1974.
  3. G. Matheron: Random Sets and Integral Geometry. J. Wiley & Sons, New York 1975.
  4. I. Molchanov: The Theory of Random Sets. Springer, New York 2005.
  5. G. Shafer: A Mathematical Theory of Evidence. Princeton, University Press 1976.
  6. D. Dubois, H. Prade: Possibility Theory: An Approach to Computerized Processing of Uncertainty. Plenum Press, New York 1988.
  7. A. P. Dempster: Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping. In: Annals of Mathematical Statistics. Band 38, 1967, S. 325–339. doi:10.1214/aoms/1177698950.
  8. S. Weber: -Decomposable Measures and Integrals for Archimedean -conorms . In: Journal of Mathematical Analysis and Application. Band 101, 1984, S. 114–138.
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Eine Kapazitat engl capacity ist eine monotone Mengenfunktion und Ausgangspunkt vieler mathematischer Untersuchungen z B in der Masstheorie der Wahrscheinlichkeitstheorie der Evidenztheorie Der Begriff Kapazitat geht zuruck auf den franzosischen Mathematiker Gustave Choquet 1 man spricht daher auch haufig von Choquet Kapazitaten Angelehnt an eine Arbeit von Sugeno 2 hiessen Kapazitaten fruher auch Fuzzy Masse obwohl sie nichts mit Unscharfe zu tun haben Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Weitere Eigenschaften 3 Beispiele 3 1 Hit und Miss Wahrscheinlichkeiten bei zufalligen Mengen 3 2 Belief und Plausibilitat 3 3 Untere und obere Wahrscheinlichkeiten 3 4 l Fuzzy Masse von Sugeno 3 5 dekomposable Masse 4 Literaturhinweis 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei U displaystyle U nbsp die Grundmenge P U displaystyle mathcal P U nbsp deren Potenzmenge und m P U 0 displaystyle mu colon mathcal P U to 0 infty nbsp eine Mengenfunktion Die Mengenfunktion m displaystyle mu nbsp heisst Kapazitat wenn gilt m 0 displaystyle mu emptyset 0 nbsp m A m B wenn A B displaystyle mu A leq mu B quad text wenn quad A subseteq B nbsp Monotonie Ein Mass ist eine spezielle Kapazitat denn aus der Additivitat von m displaystyle mu nbsp d h m A B m A m B A B displaystyle mu A cup B mu A mu B quad A cap B emptyset nbsp folgt die Monotonie Falls m U 1 displaystyle mu U 1 nbsp gilt dann heisst die Kapazitat normiert Weitere Eigenschaften BearbeitenEine Kapazitat m displaystyle mu nbsp heisst superadditiv wenn m A B m A m B A B A B P U displaystyle mu A cup B geq mu A mu B quad A cap B emptyset quad A B in mathcal P U nbsp sie heisst subadditiv bei umgekehrtem Ungleichheitszeichen Durch superadditive Kapazitaten konnen Synergieeffekte und durch subadditive Kapazitaten Redundanzeffekte modelliert werden Die zu m displaystyle mu nbsp duale auch konjugierte Kapazitat m displaystyle overline mu nbsp ist definiert durch m A 1 m A displaystyle overline mu A 1 mu overline A nbsp Dabei ist A displaystyle overline A nbsp das Komplement zu A P U displaystyle A in mathcal P U nbsp Wenn m displaystyle mu nbsp superadditiv ist dann ist m displaystyle overline mu nbsp subadditiv und umgekehrt Seien A 1 A k P U displaystyle A 1 dotsc A k in mathcal P U nbsp und k 2 displaystyle k geq 2 nbsp Eine Kapazitat m displaystyle mu nbsp heisst k monoton wenn m i 1 k A i I 1 k I 1 I 1 m i I A i displaystyle mu bigcup i 1 k A i geq sum I subseteq 1 dotsc k I neq emptyset 1 I 1 mu bigcap i in I A i nbsp sie heisst vollstandig monoton wenn sie k monoton ist fur jedes k 2 displaystyle k geq 2 nbsp Eine Kapazitat m displaystyle mu nbsp heisst k alternierend wenn m i 1 k A i I 1 k I 1 I 1 m i I A i displaystyle mu bigcap i 1 k A i leq sum I subseteq 1 dotsc k I neq emptyset 1 I 1 mu bigcup i in I A i nbsp sie heisst vollstandig alternierend wenn sie k alternierend ist fur jedes k 2 displaystyle k geq 2 nbsp Eine k monotone Kapazitat ist superadditiv eine k alternierende Kapazitat ist subadditiv Eine Kapazitat m displaystyle mu nbsp ist k monoton k alternierend genau dann wenn die duale Kapazitat m displaystyle overline mu nbsp k alternierend k monoton ist Beispiele BearbeitenHit und Miss Wahrscheinlichkeiten bei zufalligen Mengen Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp eine zufallige kompakte Menge und A P U displaystyle A in mathcal P U nbsp eine fixe kompakte Menge Sei P A P X A P A P X A P X A displaystyle P A P X cap A neq emptyset quad P A P X subset A P X cap overline A emptyset nbsp P displaystyle P nbsp ist die Wahrscheinlichkeit dass X displaystyle X nbsp die Menge A displaystyle A nbsp trifft und wird daher Hit Wahrscheinlichkeit genannt P displaystyle P nbsp ist die Wahrscheinlichkeit dass X displaystyle X nbsp die Menge A displaystyle overline A nbsp nicht trifft und heisst daher Miss Wahrscheinlichkeit Es ist P A gt P A displaystyle P A gt P A nbsp P displaystyle P nbsp ist eine normierte vollstandig alternierende Kapazitat P displaystyle P nbsp ist eine normierte vollstandig monotone Kapazitat 3 Hit amp Miss Wahrscheinlichkeiten erzeugen auf eindeutige Weise die Verteilung der zufalligen Menge X displaystyle X nbsp 4 Belief und Plausibilitat Bearbeiten Belief und Plausibilitat sind Grundbegriffe in Glenn Shafers Evidenztheorie 5 Eine Belieffunktion ist eine normierte vollstandig monotone und eine Plausibilitat eine normierte vollstandig alternierende Kapazitat Die zur Belieffunktion duale Kapazitat ist eine Plausibilitat und umgekehrt Die fur die Possibilitatstheorie grundlegende possibility ist eine spezielle Plausibilitat die dazu duale necessity eine spezielle Belieffunktion 6 Untere und obere Wahrscheinlichkeiten Bearbeiten Dempsters untere und obere Wahrscheinlichkeiten werden ahnlich konstruiert wie obige Hit amp Miss Wahrscheinlichkeiten 7 Untere Wahrscheinlichkeiten sind daher normierte vollstandig monotone und obere Wahrscheinlichkeiten normierte vollstandig alternierende Kapazitaten Belieffunktionen sind spezielle untere und Plausibilitaten spezielle obere Wahrscheinlichkeiten l Fuzzy Masse von Sugeno Bearbeiten Sie sind 1974 von Sugeno 2 eingefuhrt worden Eine Kapazitat m l displaystyle mu lambda nbsp heisst l displaystyle lambda nbsp Fuzzy Mass wenn fur A B P U displaystyle A B in mathcal P U nbsp mit A B displaystyle A cap B emptyset nbsp gilt m l A B min m l A m l B l m l A m l B 1 l gt 1 displaystyle mu lambda A cup B min mu lambda A mu lambda B lambda mu lambda A mu lambda B 1 quad lambda gt 1 nbsp Fur l 0 displaystyle lambda 0 nbsp ist m l displaystyle mu lambda nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass fur l gt 0 displaystyle lambda gt 0 nbsp eine Belieffunktion und fur 1 lt l lt 0 displaystyle 1 lt lambda lt 0 nbsp eine Plausibilitat Der Parameter l displaystyle lambda nbsp misst gewissermassen die Abweichung vom Wahrscheinlichkeitsmass dekomposable Masse Bearbeiten Sie sind 1984 von Siegfried Weber eingefuhrt worden 8 Sei displaystyle bot nbsp eine t displaystyle t nbsp conorm Eine Kapazitat m displaystyle mu nbsp heisst displaystyle bot nbsp dekomposabel wenn gilt m A B m A m B A B displaystyle mu A cup B bot mu A mu B quad A cap B emptyset nbsp Beispielsweise ist eine Possibilitat displaystyle bot nbsp dekomposabel bezuglich max displaystyle bot max nbsp und das l displaystyle lambda nbsp Fuzzy Mass ist dekomposabel bzgl u v min u v l u v 1 l gt 1 u v 0 1 displaystyle bot u v min u v lambda uv 1 quad lambda gt 1 quad u v in 0 1 nbsp Literaturhinweis BearbeitenM Grabisch Set Functions Games and Capacities in Decision Theory Springer 2016 ISBN 978 3 319 30688 9 Einzelnachweise Bearbeiten G Choquet Theory of capacities In Ann Inst Fourier Grenoble 1953 S 131 295 doi 10 5802 aif 53 a b M Sugeno Theory of Fuzzy Integrals and its Application PhD thesis Tokyo Institute of Technology 1974 G Matheron Random Sets and Integral Geometry J Wiley amp Sons New York 1975 I Molchanov The Theory of Random Sets Springer New York 2005 G Shafer A Mathematical Theory of Evidence Princeton University Press 1976 D Dubois H Prade Possibility Theory An Approach to Computerized Processing of Uncertainty Plenum Press New York 1988 A P Dempster Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping In Annals of Mathematical Statistics Band 38 1967 S 325 339 doi 10 1214 aoms 1177698950 S Weber displaystyle bot nbsp Decomposable Measures and Integrals for Archimedean t displaystyle t nbsp conorms displaystyle bot nbsp In Journal of Mathematical Analysis and Application Band 101 1984 S 114 138 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kapazitat Mathematik amp oldid 233962843