Die Chapman Robbins Ungleichung ist eine mathematische Aussage in der Schatztheorie einem Teilgebiet der mathematischen Statistik Sie liefert fur einen erwartungstreuen Schatzer eine untere Schranke fur die Varianz des Schatzers und damit auch eine Abschatzung fur seine Qualitat Unter zusatzlichen Regularitatsvoraussetzungen liefert die Chapman Robbins Ungleichung auch eine punktweise Version der Cramer Rao Ungleichung Die Ungleichung ist nach Douglas George Chapman und Herbert Robbins benannt Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 1 1 Rahmenbedingungen 1 2 Aussage 2 Ubergang zur Cramer Rao Ungleichung 3 LiteraturFormulierung BearbeitenRahmenbedingungen Bearbeiten Gegeben sei ein statistisches Modell X A P ϑ ϑ 8 displaystyle X mathcal A P vartheta vartheta in Theta nbsp Sei ϑ 0 8 displaystyle vartheta 0 in Theta nbsp fest und sei P ϑ ϑ 8 displaystyle P vartheta vartheta in Theta nbsp von P ϑ 0 displaystyle P vartheta 0 nbsp dominiert das heisst fur alle ϑ 8 displaystyle vartheta in Theta nbsp existiert eine Dichtefunktion f ϑ d P ϑ d P ϑ 0 displaystyle f vartheta frac mathrm d P vartheta mathrm d P vartheta 0 nbsp von P ϑ displaystyle P vartheta nbsp bezuglich P ϑ 0 displaystyle P vartheta 0 nbsp Des Weiteren sei L 2 P ϑ 0 L 2 X A P ϑ 0 displaystyle L 2 P vartheta 0 L 2 X mathcal A P vartheta 0 nbsp die Menge aller bezuglich P ϑ 0 displaystyle P vartheta 0 nbsp quadratintegrierbaren Funktionen siehe Lp Raum und D g displaystyle D g nbsp die Menge aller erwartungstreuen Schatzer fur die Parameterfunktion g displaystyle g nbsp Dann ist D g ϑ 0 D g L 2 P ϑ 0 displaystyle D g vartheta 0 D g cap L 2 P vartheta 0 nbsp die Menge aller erwartungstreuen Schatzer fur g displaystyle g nbsp mit endlicher Varianz bezuglich P ϑ 0 displaystyle P vartheta 0 nbsp und F ϑ 0 f ϑ f ϑ L 2 P ϑ 0 displaystyle mathcal F vartheta 0 f vartheta f vartheta in L 2 P vartheta 0 nbsp die Menge aller Dichtefunktionen mit endlicher Varianz bezuglich P ϑ 0 displaystyle P vartheta 0 nbsp Aussage Bearbeiten Es gilt fur alle T D g ϑ 0 displaystyle T in D g vartheta 0 nbsp Var ϑ 0 T sup f ϑ F ϑ 0 g ϑ g ϑ 0 2 Var ϑ 0 f ϑ displaystyle operatorname Var vartheta 0 T geq sup f vartheta in mathcal F vartheta 0 frac left g vartheta g vartheta 0 right 2 operatorname Var vartheta 0 f vartheta nbsp Ubergang zur Cramer Rao Ungleichung BearbeitenUnter den folgenden Bedingungen liefert die Chapman Robbins Ungleichung eine punktweise Version der Cramer Rao Ungleichung Fur alle x X displaystyle x in X nbsp existiert die Ableitung ϑ f ϑ x displaystyle frac partial partial vartheta f vartheta x nbsp in ϑ 0 displaystyle vartheta 0 nbsp Der Quotient f ϑ 1 ϑ ϑ 0 displaystyle frac f vartheta 1 vartheta vartheta 0 nbsp konvergiert fur ϑ ϑ 0 displaystyle vartheta to vartheta 0 nbsp in L 2 P ϑ 0 displaystyle L 2 P vartheta 0 nbsp gegen ϑ f ϑ ϑ ϑ 0 displaystyle frac partial partial vartheta f vartheta vartheta vartheta 0 nbsp Die Parameterfunktion g 8 R displaystyle g colon Theta rightarrow mathbb R nbsp ist in ϑ 0 displaystyle vartheta 0 nbsp differenzierbar Aus diesen Voraussetzungen folgt lim ϑ ϑ 0 g ϑ g ϑ 0 ϑ ϑ 0 g ϑ 0 displaystyle lim vartheta to vartheta 0 frac g vartheta g vartheta 0 vartheta vartheta 0 g vartheta 0 nbsp sowie lim ϑ ϑ 0 Var ϑ 0 f ϑ ϑ ϑ 0 2 I ϑ 0 displaystyle lim vartheta to vartheta 0 frac operatorname Var vartheta 0 f vartheta vartheta vartheta 0 2 I vartheta 0 nbsp wobei I ϑ 0 displaystyle I vartheta 0 nbsp die Fisher Information im Punkt ϑ 0 displaystyle vartheta 0 nbsp ist Aus der Chapman Robbins Ungleichung folgt dann Var ϑ 0 T g ϑ 0 2 I ϑ 0 displaystyle operatorname Var vartheta 0 T geq frac g vartheta 0 2 I vartheta 0 nbsp die Cramer Rao Ungleichung im Punkt ϑ 0 displaystyle vartheta 0 nbsp Literatur BearbeitenDouglas G Chapman amp Herbert Robbins Minimum Variance Estimation Without Regularity Assumptions In Annals of Mathematical Statistics Band 22 Nr 4 1951 S 581 586 doi 10 1214 aoms 1177729548 JSTOR 2236927 Ludger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Chapman Robbins Ungleichung amp oldid 197905499
