Die catalansche Vermutung ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie Sie geht von der Beobachtung aus dass man ausser den Potenzen 2 3 8 displaystyle 2 3 8 und 3 2 9 displaystyle 3 2 9 keine weiteren ganzzahligen Potenzen kennt die sich um genau 1 unterscheiden Eugene Charles Catalan stellte 1844 die nach ihm benannte catalansche Vermutung auf wonach es keine weiteren echten Potenzen mit dieser Eigenschaft gibt Die einzige ganzzahlige Losung der Gleichung x p y q 1 displaystyle x p y q 1 mit x p y q gt 1 displaystyle x p y q gt 1 lautet x 3 displaystyle x 3 p 2 displaystyle p 2 y 2 displaystyle y 2 und q 3 displaystyle q 3 Erst nach uber 150 Jahren wurde diese Vermutung 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Verallgemeinerung 3 Siehe auch 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenSchon vor Catalan beschaftigte man sich mit verwandten Problemen Um 1320 bewies Levi ben Gershon Wenn Potenzen von 2 und 3 sich um 1 unterscheiden dann sind 8 und 9 die einzigen Losungen Leonhard Euler 1707 1783 zeigte dass es fur a 2 b 3 1 displaystyle a 2 b 3 1 nbsp nur die Losung a 3 displaystyle a 3 nbsp und b 2 displaystyle b 2 nbsp gibt Catalans Vermutung verallgemeinert Eulers Gleichung auf allgemeine Potenzen Seine Vermutung wurde 1844 im Journal fur die reine und angewandte Mathematik als Leserbrief veroffentlicht 1 Spater fand man einige Teilergebnisse fur den Fall dass Catalans Behauptung nicht zutrifft d h dass es weitere nichttriviale Losungen der Gleichung gibt So bewies 1976 Robert Tijdeman den Satz von Tijdeman demzufolge hochstens endlich viele ganzzahlige Losungen der catalanschen Gleichung existieren konnen 1998 zeigte Ray Steiner folgende Eigenschaft fur eine mogliche Losung Entweder p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp erfullen gewisse Teilbarkeitsbedingungen class number condition oder p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp sind doppelte Wieferich Primzahlen d h sie genugen der Bedingung p q 1 1 m o d q 2 displaystyle p q 1 equiv 1 rm mod q 2 nbsp und q p 1 1 m o d p 2 displaystyle q p 1 equiv 1 rm mod p 2 nbsp Maurice Mignotte gab im Jahr 2000 eine obere Grenze fur Losungen q displaystyle q nbsp und p displaystyle p nbsp an q lt 7 15 10 11 p lt 7 78 10 16 displaystyle q lt 7 15 cdot 10 11 p lt 7 78 cdot 10 16 nbsp Im April 2002 gelang dem damals an der Universitat Paderborn beschaftigten Preda Mihăilescu schliesslich der Beweis der catalanschen Vermutung womit diese den Status eines mathematischen Satzes erhielt Verallgemeinerung BearbeitenMan kann die mittlerweile bewiesene catalansche Vermutung erweitern indem man die Gleichung x p y q n displaystyle x p y q n nbsp mit naturlichen x y gt 0 p q n gt 1 displaystyle x y gt 0 p q n gt 1 nbsp betrachtet Es wird vermutet dass auch diese Gleichung fur alle x y gt 0 p q n gt 1 displaystyle x y gt 0 p q n gt 1 nbsp nur endlich viele Losungen hat dass es also fur jede naturliche Zahl n N displaystyle n in mathbb N nbsp nur endlich viele Paare von ganzzahligen Potenzen gibt deren Differenz n displaystyle n nbsp ist Die folgende Liste gibt bis n 67 displaystyle n leq 67 nbsp alle Losungen dieser Gleichung an wobei x p y q lt 2 64 1 84 10 19 displaystyle x p y q lt 2 64 approx 1 84 cdot 10 19 nbsp ist Der grosste dabei auftretende Wert fur y q displaystyle y q nbsp ist 542 939 080 312 5 43 10 11 displaystyle 542 939 080 312 approx 5 43 cdot 10 11 nbsp in 736844 2 8158 3 24 displaystyle 736844 2 8158 3 24 nbsp im Bereich von 5 43 10 11 displaystyle 5 43 cdot 10 11 nbsp bis 2 64 1 1 84 10 19 displaystyle 2 64 1 approx 1 84 cdot 10 19 nbsp sind fur n 206 displaystyle n leq 206 nbsp keine weiteren Losungen zu finden Liste aller Losungen der Gleichung x p y q n displaystyle x p y q n nbsp fur 1 n 67 displaystyle 1 leq n leq 67 nbsp und n 100 displaystyle n 100 nbsp mit x p y q 2 64 displaystyle x p y q leq 2 64 nbsp p 2 displaystyle p geq 2 nbsp q 2 displaystyle q geq 2 nbsp oder q 0 displaystyle q 0 nbsp n Anzahl der Losungen Folge A076427 in OEIS Zahlen k displaystyle k nbsp sodass k n displaystyle k n nbsp und k displaystyle k nbsp beides Potenzen sind Folge A103953 in OEIS x p y q n displaystyle x p y q n nbsp 1 1 8 3 2 2 3 1 displaystyle 3 2 2 3 1 nbsp 2 1 25 3 3 5 2 2 displaystyle 3 3 5 2 2 nbsp 3 2 1 125 2 2 1 q 3 displaystyle 2 2 1 q 3 nbsp 2 7 5 3 3 displaystyle 2 7 5 3 3 nbsp 4 3 4 32 121 2 3 2 2 4 displaystyle 2 3 2 2 4 nbsp 6 2 2 5 4 displaystyle 6 2 2 5 4 nbsp 5 3 11 2 4 displaystyle 5 3 11 2 4 nbsp 5 2 4 27 3 2 2 2 5 displaystyle 3 2 2 2 5 nbsp 2 5 3 3 5 displaystyle 2 5 3 3 5 nbsp 6 0 es existiert keine Losung7 5 1 9 25 121 32761 2 3 1 q 7 displaystyle 2 3 1 q 7 nbsp 4 2 3 2 7 displaystyle 4 2 3 2 7 nbsp 2 5 5 2 7 displaystyle 2 5 5 2 7 nbsp 2 7 11 2 7 displaystyle 2 7 11 2 7 nbsp 32 3 181 2 7 displaystyle 32 3 181 2 7 nbsp 8 3 1 8 97336 3 2 1 q 8 displaystyle 3 2 1 q 8 nbsp 2 4 2 3 8 displaystyle 2 4 2 3 8 nbsp 312 2 46 3 8 displaystyle 312 2 46 3 8 nbsp 9 4 16 27 216 64000 5 2 2 4 9 displaystyle 5 2 2 4 9 nbsp 6 2 3 3 9 displaystyle 6 2 3 3 9 nbsp 15 2 6 3 9 displaystyle 15 2 6 3 9 nbsp 253 2 40 3 9 displaystyle 253 2 40 3 9 nbsp 10 1 2187 13 3 3 7 10 displaystyle 13 3 3 7 10 nbsp 11 4 16 25 3125 3364 3 3 2 4 11 displaystyle 3 3 2 4 11 nbsp 6 2 5 2 11 displaystyle 6 2 5 2 11 nbsp 56 2 5 5 11 displaystyle 56 2 5 5 11 nbsp 15 3 58 2 11 displaystyle 15 3 58 2 11 nbsp 12 2 4 2197 2 4 2 2 12 displaystyle 2 4 2 2 12 nbsp 47 2 13 3 12 displaystyle 47 2 13 3 12 nbsp 13 3 36 243 4900 7 2 6 2 13 displaystyle 7 2 6 2 13 nbsp 2 8 3 5 13 displaystyle 2 8 3 5 13 nbsp 17 3 70 2 13 displaystyle 17 3 70 2 13 nbsp 14 0 es existiert keine Losung15 3 1 49 1295029 2 4 1 q 15 displaystyle 2 4 1 q 15 nbsp 2 6 7 2 15 displaystyle 2 6 7 2 15 nbsp 1138 2 109 3 15 displaystyle 1138 2 109 3 15 nbsp 16 3 9 16 128 5 2 3 2 16 displaystyle 5 2 3 2 16 nbsp 2 5 2 4 16 displaystyle 2 5 2 4 16 nbsp 12 2 2 7 16 displaystyle 12 2 2 7 16 nbsp 17 7 8 32 64 512 79507 140608 143384152904 5 2 2 3 17 displaystyle 5 2 2 3 17 nbsp 7 2 2 5 17 displaystyle 7 2 2 5 17 nbsp 3 4 2 6 17 displaystyle 3 4 2 6 17 nbsp 23 2 2 9 17 displaystyle 23 2 2 9 17 nbsp 282 2 43 3 17 displaystyle 282 2 43 3 17 nbsp 375 2 52 3 17 displaystyle 375 2 52 3 17 nbsp 378661 2 5234 3 17 displaystyle 378661 2 5234 3 17 nbsp 18 3 9 225 343 3 3 3 2 18 displaystyle 3 3 3 2 18 nbsp 3 5 15 2 18 displaystyle 3 5 15 2 18 nbsp 19 2 7 3 18 displaystyle 19 2 7 3 18 nbsp 19 5 8 81 125 324 503284356 3 3 2 3 19 displaystyle 3 3 2 3 19 nbsp 10 2 3 4 19 displaystyle 10 2 3 4 19 nbsp 12 2 5 3 19 displaystyle 12 2 5 3 19 nbsp 7 3 18 2 19 displaystyle 7 3 18 2 19 nbsp 55 5 22434 2 19 displaystyle 55 5 22434 2 19 nbsp 20 2 16 196 6 2 2 4 20 displaystyle 6 2 2 4 20 nbsp 6 3 14 2 20 displaystyle 6 3 14 2 20 nbsp 21 2 4 100 5 2 2 2 21 displaystyle 5 2 2 2 21 nbsp 11 2 10 2 21 displaystyle 11 2 10 2 21 nbsp 22 2 27 2187 7 2 3 3 22 displaystyle 7 2 3 3 22 nbsp 47 2 3 7 22 displaystyle 47 2 3 7 22 nbsp 23 4 4 9 121 2025 3 3 2 2 23 displaystyle 3 3 2 2 23 nbsp 2 5 3 2 23 displaystyle 2 5 3 2 23 nbsp 12 2 11 2 23 displaystyle 12 2 11 2 23 nbsp 2 11 45 2 23 displaystyle 2 11 45 2 23 nbsp 24 5 1 8 25 1000 542939080312 5 2 1 q 24 displaystyle 5 2 1 q 24 nbsp 2 5 2 3 24 displaystyle 2 5 2 3 24 nbsp 7 2 5 2 24 displaystyle 7 2 5 2 24 nbsp 2 10 10 3 24 displaystyle 2 10 10 3 24 nbsp 736844 2 8158 3 24 displaystyle 736844 2 8158 3 24 nbsp 25 2 100 144 5 3 10 2 25 displaystyle 5 3 10 2 25 nbsp 13 2 12 2 25 displaystyle 13 2 12 2 25 nbsp 26 3 1 42849 6436343 3 3 1 q 26 displaystyle 3 3 1 q 26 nbsp 35 3 207 2 26 displaystyle 35 3 207 2 26 nbsp 2537 2 23 5 26 displaystyle 2537 2 23 5 26 nbsp 27 3 9 169 216 6 2 3 2 27 displaystyle 6 2 3 2 27 nbsp 14 2 13 2 27 displaystyle 14 2 13 2 27 nbsp 3 5 6 3 27 displaystyle 3 5 6 3 27 nbsp 28 7 4 8 36 100 484 50625 131044 2 5 2 2 28 displaystyle 2 5 2 2 28 nbsp 6 2 2 3 28 displaystyle 6 2 2 3 28 nbsp 2 6 6 2 28 displaystyle 2 6 6 2 28 nbsp 2 7 10 2 28 displaystyle 2 7 10 2 28 nbsp 2 9 22 2 28 displaystyle 2 9 22 2 28 nbsp 37 3 225 2 28 displaystyle 37 3 225 2 28 nbsp 2 17 362 2 28 displaystyle 2 17 362 2 28 nbsp 29 1 196 15 2 14 2 29 displaystyle 15 2 14 2 29 nbsp 30 1 6859 83 2 19 3 30 displaystyle 83 2 19 3 30 nbsp 31 2 1 225 2 5 1 q 31 displaystyle 2 5 1 q 31 nbsp 16 2 15 2 31 displaystyle 16 2 15 2 31 nbsp 32 4 4 32 49 7744 6 2 2 2 32 displaystyle 6 2 2 2 32 nbsp 2 6 2 5 32 displaystyle 2 6 2 5 32 nbsp 3 4 7 2 32 displaystyle 3 4 7 2 32 nbsp 6 5 88 2 32 displaystyle 6 5 88 2 32 nbsp n Anzahl der Losungen Folge A076427 in OEIS Zahlen k displaystyle k nbsp sodass k n displaystyle k n nbsp und k displaystyle k nbsp beides Potenzen sind Folge A103953 in OEIS x p y q n displaystyle x p y q n nbsp 33 2 16 256 7 2 2 4 33 displaystyle 7 2 2 4 33 nbsp 17 2 2 8 33 displaystyle 17 2 2 8 33 nbsp 34 0 es existiert keine Losung35 3 1 289 1296 6 2 1 q 35 displaystyle 6 2 1 q 35 nbsp 18 2 17 2 35 displaystyle 18 2 17 2 35 nbsp 11 3 36 2 35 displaystyle 11 3 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