Cannon-Thurston-Abbildungen werden in der Mathematik in der Theorie Kleinscher Gruppen verwendet. Sie erlauben es, komplizierte Limesmengen als stetige Bilder eines Kreises darzustellen.
Cannon-Thurston-Vermutung Bearbeiten
Der folgende Satz wurde von Cannon und Thurston vermutet und in dieser Allgemeinheit von Mahan Mj bewiesen.
Eine Flächengruppe wirke frei und eigentlich diskontinuierlich ohne parabolische Elemente auf dem 3-dimensionalen hyperbolischen Raum . Dann lässt sich die äquivariante Inklusion
der universellen Überlagerung stetig auf den idealen Rand zu einer stetigen Abbildung
fortsetzen.
Für ist dann und nur dann, wenn und Endpunkte im Unendlichen desselben Blattes oder desselben idealen Komplementärpolygons der Endelaminierung von sind.
Anwendungen Bearbeiten
- Wenn die Limesmenge einer endlich erzeugten Kleinschen Gruppe zusammenhängend ist, dann ist sie lokal zusammenhängend.
- Sei eine geometrisch endliche Kleinsche Gruppe. Wenn es für eine andere Kleinsche Gruppe einen Gruppenisomorphismus gibt, der parabolische Elemente auf parabolische Elemente abbildet, dann gibt es eine surjektive, stetige Abbildung der Limesmenge von auf die Limesmenge von , der die Fixpunkte jedes Elements auf die Fixpunkte des entsprechenden Elements in abbildet.
- Sei eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens, die über dem Kreis mit Faser fasert. Dann ist die Limesmenge von eine -invariante Peano-Kurve.
Verallgemeinerungen Bearbeiten
Eine hyperbolische Gruppe wirke frei und eigentlich diskontinuierlich auf einem Gromov-hyperbolischen Raum . Man kann fragen, ob sich die Orbitabbildungen
auf den Gromov-Rand zu einer stetigen Abbildung
fortsetzen lassen. Falls eine solche stetige Fortsetzung existiert, bezeichnet man
als Cannon-Thurston-Abbildung.
Es gibt zahlreiche Beispiele, in denen eine Cannon-Thurston-Abbildung nicht existiert, siehe Baker-Riley und Matsuda-Oguni.
Eine Cannon-Thurston-Abbildung existiert jedoch für
- die Inklusion eines Normalteilers in eine hyperbolische Gruppe,
oder für
- die Inklusion eines Eckenraumes in einen Baum Gromov-hyperbolischer Räume, in dem alle Inklusionen von Kantenräumen in Eckenräume quasi-isometrische Einbettungen sind.
Literatur Bearbeiten
- W. Abikoff. Two theorems on totally degenerate Kleinian groups. Amer. J. Math. 98, S. 109–118, 1976.
- W. J. Floyd. Group completions and limit sets of Kleinian groups. Invent. Math. 57, S. 205–218, 1980.
- J. Cannon und W. P. Thurston. Group Invariant Peano Curves. Geom. Topol. 11, S 1315–1355, 2007. (Preprint von 1985)
- Y. Minsky. On rigidity, limit sets, and end invariants of hyperbolic 3-manifolds. J. Amer. Math. Soc. 7, S. 539–588, 1994.
- R. C. Alperin, W. Dicks und J. Porti. The boundary of the Gieseking tree in hyperbolic three-space. Topology Appl. 93, S. 219–259, 1999.
- C. T. McMullen. Local connectivity, Kleinian groups and geodesics on the blowup of the torus. Invent. Math. 146, S. 35–91, 2001.
- B. H. Bowditch. The Cannon-Thurston map for punctured surface groups. Math. Z. 255, S. 35–76, 2007.
- O. Baker und T. Riley. Cannon-Thurston maps do not alway exist. Forum of Mathematics, Sigma, 1, e3, 2013.
- M. Mj. Cannon-Thurston Maps for Surface Groups. Ann. of Math. 179(1), S. 1–80, 2014.
- M. Mj. Ending Laminations and Cannon-Thurston Maps, with an appendix by S. Das and M. Mj. Geom. Funct. Anal. 24, S. 297–321, 2014.
- Y. Matsuda und S. Oguni. On Cannon–Thurston maps for relatively hyperbolic groups. Journal of Group Theory 17(1), S. 41–47, 2014.
- M. Mj. Cannon-Thurston Maps for Kleinian Groups. Forum Math. Pi 5, e1, 49 pp., 2017.
- M. Mj. Cannon-Thurston maps, Proceedings of International Congress of Mathematicians 2018.